Матанализ

>1 (n→∞) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Єˉ№

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…

sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄˉ№)/(2a+1)!+…

cos x=1-xІ/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿ*xІⁿ/(2n)!+…

ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)ⁿxⁿ⁺№/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.∫

∫dF(x)=F(x)+C

(∫f(x)dx)`=f(x)

∫αf(x)dx=α∫f(x)dx

∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)

∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

∫ U·dV=UV-∫VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой)

∫ xІ·sinx dx

xІ=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=-cos x

∫ = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -∫(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2∫x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

∫ = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ∫

1 Вычисление площадей (Н-Лейб)

Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)<0 то S=-∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)-g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=π∫fІ(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула Н-Лейб.

2 Метод прямоугольника

(B-A)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

n-чётное

∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ∫ бывают 2-х видов:

∫-ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx; ∫(-∞;b)f(x)dx; ∫(-∞;+∞)f(x)dx

называются несобственными ∫-и 1-го рода

Если сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то интеграл сходится и наоборот.

Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

Если lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то ∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ∫(a; b-δ)f(x)dx

δ→0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx

f(x)	f`(x)	f(x)	f`(x)
c	0	xЄ	axЄˉ№
x	1	xІ	2x
√x	2√x	arccos x	-1/√1-xІ |x|<1
1/x	-1/xІ	arctg x	1/1+xІ
eⁿ	eⁿ	arcctg x	-1/1+xІ
aⁿ	aⁿln a	sh x	ch x
ln x	1/x	ch x	sh x
LOGaX	1/x·ln a	th x	1/chІx
sin x	cos x	cth x	-1/shІx
cos x	-sinx	ln(x+√(xІ+1))	1/√(1+xІ)
tg x	1/cosІx	arcsin x	1/√(1-xІ)
ctg x	-1/sinІx

f(x)	F(x)+C
0	C
1	x+C
x	xІ/2+C
xЄ	xЄ⁺№/a+1+C a≠1
1/x	ln| x |+C
1/xІ	-1/x+C
1/xі	1/2xІ+C
1/(1+xІ)	arctg x+C
1/aІ+xІ	1/a·arctg x/a+C a≠0
1/1-xІ	1/2·ln| (1+x)/(1-x) |+C
1/aІ-xІ	1/2a·ln| (a+x)/(a-x) |+C a≠0
x/xІ+a	1/2·ln| xІ+a |+C
1/√(1-xІ)	arcsin x+C
1/√(aІ-xІ)	arcsin x/a+C
eⁿ	eⁿ
aⁿ	aⁿ/ln a
ln x	x ln x –x +C
sin x	-cos x+C
cos x	sin x+C
tg x	-ln | cos x |+C
ctg x	ln | sin x |+C
1/cosІx	tg x+C
1/sinІx	-ctg x+C

1. Понятие числа (от натур. до комплексного)

2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Возведение в степень комплексного числа

5. Извлечение Є из комплексного числа

6. Последовательность и её предел

7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)

8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ

9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)

10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)

11. Признаки Даламбера и Коши

12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)

13. Прямая и обратная функция (примеры)

14. Предел ф-ии в точке

15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий

16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий

17. Непрерывность ф-ий ВЄ и LOGaX

18. Непрерывность тригонометрической ф-ии

19. 1-ый замечательный предел

20. 2-ой замечательный предел и его применение для

начисления непрерывных %

21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий

23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий

24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ

25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)

26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.

27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)

28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл

29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.

30. Понятие асимптот и их нахождение

31. Степенной ряд и область его сходимости

32. Разложение ф-ий в степенные ряды

33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов

34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)

35. Интегрирование по частям

36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби

37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница

38. Применение опр. интегралов

39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов

40. Несобственные интегралы

41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала

42. Экстремум ф-ий нескольких переменных

43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44 Понятие ДУ и методы его решения.