Процесс и критерии проверки статистических гипотез
гипотезу.
Рисунок 4
б) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
Алгоритм решения задачи будет тот же, что и в первом случае. Однако наблюдаемое значение t набл рассчитывается по формуле
где X - выборочная средняя; а0 - числовое значение генеральной средней; выб - выборочное среднее квадратическое отклонение; n - объем выборки.
Найдем наблюдаемое значение (t набл)
Критическое значение (tкр) следует находить находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости а и числу степеней свободы k.
t набл < t кр, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, жалобы работниц - необоснованны.
Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, жалобы работниц - необоснованны.
2.3 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием функции Лапласа
Пример. Экономический анализ труда предприятий отрасли позволил выдвинуто гипотезу о наличии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующие результаты: средняя производительность труда X – 119 деталей. По данным выборочного обследования, на 35 предприятиях 2-й группы средняя производительность труда Y – 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(Х) = 126,91 (дет.2); D(Y) = 136,1 (дет.2).
Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y, на уровне значимости 0,05, проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых известны (большие независимые выборки). В данной задаче речь идет о больших выборках, так как nх = 42 и nу = 35 больше 30. Выборки – независимые, так как из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0: X = Y – генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями равны (применительно к условию данной задачи – предприятия 2 групп относятся к одному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах – одинакова).
Н1: X≠ Y- генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями неравны (применительно к условию данной задачи - предприятия 2 групп относятся к разному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах – неодинакова).
Выдвигаем двустороннюю конкурирующую гипотезу, так как из условия задачи не следует, что необходимо выяснить больше или меньше производительность труда в одной из групп предприятий по сравнению с другой.
Поскольку конкурирующая гипотеза – двусторонняя, то и критическая область – двусторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки), используется случайная величина Z.
Его наблюдаемое значение (Zнабл) рассчитывается по формуле
где X – выборочная средняя для X; Y – выборочная средняя для Y; 1>(Х) – генеральная дисперсия для X; D(Y) – генеральная дисперсия для Y; пх – объем выборки для X; пу – объем выборки для Y.
Найдем наблюдаемое значение (zнабл):
Так как конкурирующая гипотеза - двусторонняя, критическое значение (zкр) следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства
Ф(zкр)= (1)
По условию = 0,05.
Отсюда
Ф0(zкр)=(1-0,05) /2 = 0,475.
По таблице функции Лапласа (приложение 3) найдем, при каком (zкр) Ф0(zкр)=0,475.
Ф0(1,96) = 0,475.
Учитывая, что конкурирующая гипотеза - двусторонняя, находим две критические точки:
zкр(n) = 1,96; zкр(л) = -1,96
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X < Yzкр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф0(zкр) = (1 - 2)/2 и присваивать ему знак «минус».
При правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X > Yzкр находим по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф0(zкр) = (1 - 2)/2.
Zнабл > zкр, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область (рисунок 5), следовательно, нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей.
Рисунок 5
Ответ. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
2.4 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия Фишера-Снедекора
Пример. Предполагается, что применение нового типа резца сократит время обработки некоторой детали. Хронометраж времени обработки 9 деталей, обработанных старым типом резцов, дал следующие результаты: среднее время обработки детали X – 57 мин, исправленная выборочная дисперсия s2х = 186,2 (мин2). Среднее время обработки 15 деталей, обработанных новым типом резцов, - Y по данным хронометражных измерений - 52 мин, а исправленная выборочная дисперсия s2х = 166,4 (мин2). На уровне значимости = 0,01 ответьте на вопрос, позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали?
Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны, но предполагаются одинаковыми (малые независимые выборки). В этой задаче речь идет о малых выборках, так как nх = 9 и nу = 15 меньше 30. Выборки - независимые, поскольку из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:X = Y - генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию данной задачи -среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами нового и старого типа, - одинаково, т. е. использование нового типа резца не позволяет снизить время на обработку детали).
Н1: X > Y - генеральная средняя для X больше, чем генеральная средняя для Y (применительно к условию данной задачи - среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами старого типа, больше, чем - нового, т. е. использование нового типа резца позволяет снизить время на обработку детали).
Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.
Приступать к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних 2 нормально – распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, если генеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теории неразрешима.
Поэтому, прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи.
Н0: D(Х)=D(Y) - генеральные дисперсии 2 нормально распределенных совокупностей равны.
Н0: D(Х) >D(Y) - генеральная дисперсия для X больше генеральной дисперсии для У. Выдвигаем правостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочная дисперсия для X значительно больше, чем исправленная выборочная дисперсия для Y.
Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 дисперсий нормальных генеральных совокупностей используется случайная величина Р - критерий Фишера-Снедекора (приложение 4).
Его наблюдаемое значение (fнабл) рассчитывается по формуле
где s - большая (по величине) исправленная выборочная дисперсия; s2 - меньшая (по величине) исправленная выборочная дисперсия.
Найдем fнабл
Критическое значение (fкр) следует находить с помощью таблицы распределения Фишера-Снедекора (приложение 4) по уровню значимости и числу степеней свободы k и k2.
По условию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k1 = n1- 1; k 2 = n2 - 1,
где k1 - число степеней свободы большей (по величине) исправленной дисперсии; k 2 - число степеней свободы меньшей (по величине) исправленной дисперсии; n1 - объем выборки большей (по величине) исправленной дисперсии; n2- объем выборки меньшей (по величине) исправленной дисперсии.
Найдем k1 и k 2
k1 = 10 - 1 = 9;
k 2 = 15 - 1 = 14.
Определяем fкр по уровню значимости = 0,01 и числу степеней свободы k1=9 и k 2 =14:
fкр( = 0,01; k1=9; k 2 =14)
fнабл< fкр следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Следовательно, Можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей.
Найдем tнабл
Критическое значение (tкр) следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы k.
По условию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k = nх + ny - 2,
г
де k - число степеней свободы; nх - объем выборки для X; ny - объем выборки для Y.
k = 9 + 15 - 2 = 22.
Найдем tкр по уровню значимости = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 22
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе X < Y tкр следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = nх + ny – 2 и присваивать ему знак «минус».
При двусторонней конкурирующей гипотезе Х≠Y tкр находим по таблицам распределения Стьюдента (приложение 3) по уровню значимости (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k = nх + ny – 2.
tнабл < tкр следовательно, на этом уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что генеральные средние равны, т. е. среднее время, затрачиваемое на обработку детали старым и новым типом резцов, отличается незначимо, расхождения между средними - случайны, использование нового типа резцов не позволяет снизить время обработки детали.
Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рисунок 6), следовательно, нулевую гипотезу нельзя отклонить.
Рисунок 6
Ответ. На уровне значимости = 0,01 нельзя утверждать, что использование нового типа резцов позволило сократить время обработки детали.
Заключение
Проверка статистических гипотез – необходимая методика, используемая для получения данных в статистике.
Проведенная работа позволила сделать следующие выводы:
- Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.
- Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.
- Гипотезы классифицируются на: простые и сложные; параметрические и непараметрические; основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).
- Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими).
- Особенно часто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценки существенности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике.
- Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатов наблюдения.
- В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез.
- Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев.
- Для каждой проверки статистических гипотез существует определенный алгоритм.
Список литературы
Аллен Р. Статистика. – М., 2005.
Богородская, Н.А. Статистика финансов. - М., 2005.
Виноградова Н.М. Общая теория статистики. – М., 2000.
Гинзбург А.И. Статистика. – СПб., 2003.
Голуб Л.А. Социально-экономческая статистика – М., 2001.
Гусаров В.М. Теория статистики. – М., 2008.
Джессен Л.Статистические методы. – СПб., 2001.
Елисеева И.И,. Юзбашев М.М Общая теория статистики. - М., 1995.
Елисеева И.И. Обработка статистических данных. – М., 2001.
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики. - М., 1996.
Курс социально-экономической статистики / Под ред. М.Г. Назарова. – Киев, 2005.
Льюис К.Д. Методы прогнозирования статистических данных. – М., 2009.
Милс Ф. Статистические методы. – М., 1996.
Ниворожкина Л.И. Основы статистики. - М., 2000.
Общая теория статистики [Текст]: учебник / Под ред. П.Р. Куликова. - М., 2002.
Переяслова И.Г. Основы статистики. – Ростов н/Д, 2007.
Практикум по социально-экономической статистике/ Под ред..М.Южина. – СПб., 2001.
Рябушкин Т.В. Финансы и статистика. – М., 2002.
Салин В.М. Социально-экономическая статистика. – М., 2004.
Сиденко, А.В. Статистика. - М., 2000.
Статистика Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Ионин [и др.]; под ред. В.Г. Ионина. – М., 2001.
Статистика / Под ред. И.И. Егорова, С.В. Курышева. - М., 2005.
Статистика финансов /Под ред. М.В. Вахрамеева, - М., 2003.
Шабалин О.П. Социально-экономическая статистика. – М., 2003.
Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М., 2005.
Экономическая статистика / Под ред. Ю.Н. Иванова. – Мн., 1996.
Яковлев С.В. Статистика. – М., 2005.
Приложение 1
Таблица критерия Пирсона
|
Число степеней свободы k |
Уровень значимости | |||||
| 0,01 | 0,025 | 0,05 | 0,95 | 0,975 | 0,99 | |
| 1 | 6,6 | 5,0 | 3,8 | 0,0039 | 0,00098 | 0,00016 |
| 2 | 9,2 | 7,4 | 6,0 | 0,103 | 0,051 | 0,020 |
| 3 | 11,3 | 9,4 | 7,8 | 0,352 | 0,216 | 0,115 |
| 4 | 13,3 | ПД | 9,5 | 0,711 | 0,484 | 0,297 |
| 5 | 15,1 | 12,8 | ПД | 1,15 | 0,831 | 0,554 |
| 6 | 16,8 | 14,4 | 12,6 | 1,64 | 1,24 | 0,872 |
| 7 | 18,5 | 16,0 | 14,1 | 2,17 | 1,69 | 1,24 |
| 8 | 20,1 | 17,5 | 15,5 | 2,73 | 2,18 | 1,65 |
| 9 | 21,7 | 19,0 | 16,9 | 3,33 | 2,70 | 2,09 |
| 10 | 23,2 | 20,5 | 18,3 | 3,94 | 3,25 | 2,56 |
| 11 | 24,7 | 21,9 | 19,7 | 4,57 | 3,82 | 3,05 |
| 12 | 26,2 | 23,3 | 21,0 | 5,23 | 4,40 | 3,57 |
| 13 | 27,7 | 24,7 | 22,4 | 5,89 | 5,01 | 4,11 |
| 14 | 29,1 | 26,1 | 23,7 | 6,57 | 5,63 | 4,66 |
| 15 | 30,6 | 27,5 | 25,0 | 7,26 | 6,26 | 5,23 |
| 16 | 32,0 | 28,8 | 26,3 | 7,96 | 6,91 | 5,81 |
| 17 | 33,4 | 30,2 | 27,6 | 8,67 | 7,56 | 6,41 |
| 18 | 34,8 | 31,5 | 28,9 | 9,39 | 8,23 | 7,01 |
| 19 | 36,2 | 32,9 | 30,1 | 10,1 | 8,91 | 7,63 |
| 20 | 37,6 | 34,2 | 31,4 | 10,9 | 9,59 | 8,26 |
| 21 | 38,9 | 35,5 | 32,7 | 11,6 | 10,3 | 8,90 |
| 22 | 40,3 | 36,8 | 33,9 | 12,3 | 11,0 | 9,54 |
| 23 | 41,6 | 38,1 | 35,2 | 13,1 | 11,7 | 10,2 |
| 24 | 43,0 | 39,4 | 36,4 | 13,8 | 12,4 | 10,9 |
| 25 | 44,3 | 40,6 | 37,7 | 14,6 | 13,1 | 11,5 |
| 26 | 45,6 | 41,9 | 38,9 | 15,4 | 13,8 | 12,2 |
| 27 | 47,0 | 43,2 | 40,1 | 16,2 | 14,6 | 12,9 |
| 28 | 48,3 | 44,5 | 41,3 | 16,9 | 15,3 | 13,6 |
| 29 | 49,6 | 45,7 | 42,6 | 17,7 | 16,0 | 14,3 |
| 30 | 50,9 | 47,0 | 43,8 | 18,5 | 16,8 | 15,0 |
Приложение 2
Критические точки распределения Стьюдента
|
Число степеней свободы k |
Уровень значимости (двусторонняя критическая значимость) |
|||||
| 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,002 | 0,001 | |
| 1 | 6,31 | 12,7 | 31,82 | 63,7 | 318,3 | 637,0 |
| 2 | 2,92 | 4,30 | 6,97 | 9,92 | 22,33 | 31,6 |
| 3 | 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | 10,22 | 12,9 |
| 4 | 2ДЗ | 2,78 | 3,75 | 4,00 | 7,17 | 8,61 |
| 5 | 2,01 | 2,57 | 3,37 | 4,03 | 5,89 | 6,86 |
| 6 | 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | 5,21 | 5,96 |
| 7 | 1,89 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | 4,79 | 5,40 |
| 8 | 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | 4,50 | 5,04 |
| 9 | 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | 4,30 | 4,70 |
| 10 | 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | 4,14 | 4,59 |
| 11 | 1,80 | 2,28 | 2,72 | 3,11 | 4,03 | 4,44 |
| 12 | 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,05 | 3,93 | 4,32 |
| 13 | 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | 3,85 | 4,22 |
| 14 | 1,76 | 2,14 | 2,62 | 2,98 | 3,79 | 4,14 |
| 15 | 1,75 | 2,13 | 2,60 | 2,95 | 3,73 | 4,07 |
| 16 | 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | 3,69 | 4,01 |
| 17 | 1,74 | 2,11 | 2,57 | 2,90 | 3,65 | 3,96 |
| 18 | 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | 3,61 | 3,92 |
| 19 | 1,73 | 2,09 | 2,54 | 2,86 | 3,58 | 3,88 |
| 20 | 1,73 | 2,09 | 2,53 | 2,85 | 3,55 | 3,85 |
| 21 | 1,72 | 2,08 | 2,52 | 2,83 | 3,53 | 3,82 |
| 22 | 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | 3,51 | 3,79. |
| 23 | 1,71 | 2,07 | 2,50 | 2,81 | 3,49 | 3,77 |
| 24 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,80 | 3,47 | 3,74 |
| 25 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,79 | 3,45 | 3,72 |
| 26 | 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | 3,44 | 3,71 |
| 27 | 1,71 | 2,05 | 2,47 | 2,77 | 3,42 | 3,69 |
| 28 | 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | 3,40 | 3,66 |
| 29 | 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | 3,40 | 3,66 |
| 30 | 1,70 | 2,04 | 2,46 | 2,75 | 3,39 | 3,65 |
| 40 | 1,68 | 2,02 | 2,42 | 2,70 | 3,31 | 3,55 |
| 60 | 1,07 | 2,00 | 2,39 | 2,66 | 3,23 | 3,46 |
| 120 | 1,66 | 1,98 | 2,36 | 2,62 | 3,17 | 3,37 |
Приложение 3
Таблица функции Лапласа
| z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0,0 | 0,00000 | 0,00399 | 0,00798 | 0,01197 | 0,01595 | 0,01994 | 0,02392 | 0,02790 | 0,03188 | 0,03586 |
| 0,1. | 0,03983 | 0,04380 | 0,04776 | 0,05172 | 0,05567 | 0,05962 | 0,06356 | 0,06749 | 0,07142 | 0,07535 |
| 0,2 | 0,07926 | 0,08317 | 0,08706 | 0,09095 | 0,09483 | 0,09871 | 0,10257 | 0,10642 | 0,11026 | 0,11409 |
| 0,3 | 0,11791 | 0,12172 | 0,12552 | 0,12930 | 0,13307 | 0,13683 | 0,14058 | 0,14431 | 0,14803 | ОП5173 |
| 0,4 | 0,15542 | 0,15910 | 0,16276 | 0,16640 | 0,17003 | 0,17364 | 0,17724 | 0,18082 | 0,18439 | 0,18793 |
| 0,5 | 0,19146 | 0,19497 | 0,19847 | 0,20194 | 0,20540 | 0,20884 | 0,21226 | 0,21566 | 0,21904 | 0,22240 |
| 0,6 | 0,22575 | 0,22907 | 0,23237 | 0,23565 | 0,23891 | 0,24215 | 0,24537 | 0,24857 | 0,25175 | 0,25490 |
| 0,7 | 0,25804 | 0,26115 | 0,26424 | 0,26730 | 0,27035 | 0,27337 | 0,27637 | 0,27935 | 0,28230 | 0,28524 |
| 0,8 | 0,28814 | 0,29103 | 0,29389 | 0,29673 | 0,29955 | 0,30234 | 0,30511 | 0,30785 | 0,31057 | 0,31327 |
| 0,9 | 0,31594 | 0,31859 | 0,32121 | 0,32381 | 0,32639 | 0,32894 | 0,33147 | 0,33398 | 0,33646 | 0,33891 |
| 1,0 | 0,34134 | 0,34375 | 0,34614 | 0,34849 | 0,35083 | 0,35314 | 0,35543 | 0,35769 | 0,35993 | 0,36214 |
| 1,1 | 0,36433 | 0,36650 | 0,36864 | 0,37076 | 0,37286 | 0,37493 | 0,37698 | 0,37900 | 0,38100 | 0,38298 |
| 1,2 | 0,38493 | 0,38686 | 0,38877 | 0,39065 | 0,39251 | 0,39435 | 0,39617 | 0,39796 | 0,39973 | 0,40147 |
| 1,3 | 0,40320 | 0,40490 | 0,40658 | 0,40824 | 0,40988 | 0,41149 | 0,41308 | 0,41466 | 0,41621 | 0,41774 |
| 1,4 | 0,41924 | 0,42073 | 0,42220 | 0,42364 | 0,42507 | 0,42647 | 0,42785 | 0,42922 | 0,43056 | 0,43189 |
| 1,5 | 0,43319 | 0,43448 | 0,43574 | 0,43699 | 0,43822 | 0,43943 | 0,44062 | 0,44179 | 0,44295 | 0,44408 |
| 1,6 | 0,44520 | 0,44630 | 0,44738 | 0,44845 | 0,44950 | 0,45053 | 0,45154 | 0,45254 | 0,45352 | 0,45449 |
| 1,7 | 0,45543 | 0,45637 | 0,45728 | 0,45818 | 0,45907 | 0,45994 | 0,46080 | 0,46164 | 0,46246 | 0,46327 |
| 1,8 | 0,46407 | 0,46485 | 0,46562 | 0,46638 | 0,46712 | 0,46784 | 0,46856 | 0,46926 | 0,46995 | 0,47062 |
| 1,9 | 0,47128 | 0,47193 | 0,47257 | 0,47320 | 0,47381 | 0,47441 | 0,47500 | 0,47558 | 0,47615 | 0,47670 |
| 2,0 | 0,47725 | 0,47778 | 0,47831 | 0,47882 | 0,47932 | 0,47982 | 0,48030 | 0,48077 | 0,48124 | 0,48169 |
| 2,1 | 0,48214 | 0,48257 | 0,48300 | 0,48341 | 0,48382 | 0,48422 | 0,48461 | 0,48500 | 0,48537 | 0,48574 |
| 2,2 | 0,48610 | 0,48645 | 0,48679 | 0,48713 | 0,48745 | 0,48778 | 0,48809 | 0,48840 | 0,48870 | 0,48899 |
| 2,3 | 0,48928 | 0,48956 | 0,48983 | 0,49010 | 0,49036 | 0,49061 | 0,49086 | 0,49111 | 0,49134 | 0,49158 |
| 2,4 | 0,49180 | 0,49202 | 0,49224 | 0,49245 | 0,49266 | 0,49286 | 0,49305 | 0,49324 | 0,49343 | 0,49361 |
| 2,5 | 0,49379 | 0,49396 | 0,49413 | 0,49430 | 0,49446 | 0,49461 | 0,49477 | 0,49492 | 0,49506 | 0,49520 |
| 2,6 | 0,49534 | 0,49547 | 0,49560 | 0,49573 | 0,49585 | 0,49598 | 0,49609 | 0,49621 | 0,49632 | 0,49643 |
| 2,7 | 0,49653 | 0,49664 | 0,49674 | 0,49683 | 0,49693 | 0,49702 | 0,49711 | 0,49720 | 0,49728 | 0,49736 |
| 2,8 | 0,49744 | 0,49752 | 0,49760 | 0,49767 | 0,49774 | 0,49781 | 0,49788 | 0,49795 | 0,49801 | 0,49807 |
| 2,9 | 0,49813 | 0,49819 | 0,49825 | 0,49831 | 0,49836 | 0,49841 | 0,49846 | 0,49851 | 0,49856 | 0,49861 |
| 3,0 | 0,49865 | 0,49869 | 0,49874 | 0,49878 | 0,49882 | 0,49886 | 0,49889 | 0,49893 | 0,49896 | 0,49900 |
| 3,1 | 0,49903 | 0,49906 | 0,49910 | 0,49913 | 0,49916 | 0,49918 | 0,49921 | 0,49924 | 0,49926 | 0,49929 |
| 3,2 | 0,49931 | 0,49934 | 0,49936 | 0,49938 | 0,49940 | 0,49942 | 0,49944 | 0,49946 | 0,49948 | 0,49950 |
| 3,3 | 0,49952 | 0,49953 | 0,49955 | 0,49957 | 0,49958 | 0,49960 | 0,49961 | 0,49962 | 0,49964 | 0,49965 |
| 3,4 | 0,49966 | 0,49968 | 0,49969 | 0,49970 | 0,49971 | 0,49972 | 0,49973 | 0,49974 | 0,49975 | 0,49976 |
| 3,5 | 0,49977 | 0,49978 | 0,49978 | 0,49979 | 0,49980 | 0,49981 | 0,49981 | 0,49982 | 0,49983 | 0,49983 |
| 3,6 | 0,49984 | 0,49985 | 0,49985 | 0,49986 | 0,49986 | 0,49987 | 0,49987 | 0,49988 | 0,49988 | 0,49989 |
| 3,7 | 0,49989 | 0,49990 | 0,49990 | 0,49990 | 0,49991 | 0,49991 | 0,49992 | 0,49992 | 0,49992 | 0,49992 |
| 3,8 | 0,49993 | 0,49993 | 0,49993 | 0,49994 | 0,49994 | 0,49994 | 0,49994 | 0,49995 | 0,49995 | 0,49995 |
| 3,9 | 0,49995 | 0,49995 | 0,49996 | 0,49996 | 0,49996 | 0,49996 | 0,49996 | 0,49996 | 0,49997 | 0,49997 |
| 4,0 | 0,499968 | |||||||||
| 4,5 | 0,49997 | |||||||||
| 5,0 | 0,4999997 |
Приложение 4
Критические точки распределения Фишера-Снедекора
| Уровень значимости а = 0,01 | ||||||||||||
| 1 | 161 | 200 | 216 | 225 | 230 | 234 | 237 | 239 | 241 | 242 | 243 | 244 |
| 2 | 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,36 | 19,37 | 19,38 | 19,39 | 19,40 | 19,41 |
| 3 | 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,88 | 8,84 | 8,81 | 8,78 | 8,76 | 8,74 |
| 4 | 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,09 | 6,04 | 6,00 | 5,96 | 5,93 | 5,91 |
| 5 | 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,88 | 4,82 | 4,78 | 4,74 | 4,70 | 4,68 |
| 6 | 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,21 | 4,15 | 4,10 | 4,06 | 4,03 | 4,00 |
| 7 | 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,79 | 3,73 | 3,68 | 3,63 | 3,60 | 3,57 |
| 8 | 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,50 | 3,44 | 3,39 | 3,34 | 3,31 | 3,28 |
| 9 | 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,29 | 3,23 | 3,18 | 3,13 | 3,10 | 3,07 |
| 10 | 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,14 | 3,07 | 3,02 | 2,97 | 2,94 | 2,91 |
| 11 | 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,20 | 3,09 | 3,01 | 2,95 | 2,90 | 2,86 | 2,82 | 2,79 |
| 12 | 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,92 | 2,85 | 2,80 | 2,76 | 2,72 | 2,69 |
| 13 | 4,67 | 3,80 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,84 | 2,77 | 2,72 | 2,67 | 2,63 | 2,60 |
| 14 | 4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,77 | 2,70 | 2,65 | 2,60 | 2,56 | 2,53 |
| 15 | 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,90 | 2,79 | 2,70 | 2,64 | 2,59 | 2,55 | 2,51 | 2,48 |
| 16 | 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,66 | 2,59 | 2,54 | 2,49 | 2,45 | 2,42 |
| 17 | 4,45 | 3,59 | 3,20 | 2,96 | 2,81 | 2,70 | 2,62 | 2,55 | 2,50 | 2,45 | 2,41 | 2,38 |
Размещено на