Способы решения систем линейных уравнений

1 2 3 4 5

С = 0 –3 –5 –5 –5 .

0 0 0 –3 2

0 0 0 –3 2

Оставив три строки матрицы С без изменения и сложив четвертую строку с третьей, умноженной на –1, получим

1 2 3 4 5

D = 0 –3 –5 –5 –5 .

0 0 0 –3 2

0 0 0 0 0

-21-

Очевидно, что ранг матрицы D равен трем, так как минор третьего порядка

1 2 5

М = 0 –3 –5 = –6 ≠ 0,

0 0 2

а все миноры четвертого порядка, окаймляющие минор М, равны нулю. На основании теоремы 1.3. заключаем, что rang А = 3.

-22-

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ; (13)

……………………………………

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n = b_m ;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (2.1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, … , а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, … , b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij

(i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . .,n) и свободные члены b_i (i=1, 2, . . .,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (13) называется всякая совокупность чисел α₁, α₂, α_n, которая будучи поставлена в систему (13) на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

-23-

2.2. Система n линейных уравнений с n

неизвестными. Правило Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ; (14)

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n ;

Определителем системы (14) называется определитель, составленный из коэффициентов а_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆ = a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (14) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А_ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (14) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе – на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (15)

Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный

-24-

член уравнения (15) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами

b₁, b₂, …, b_n уравнения (14). Следовательно, выражение

b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆x_i, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n .

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Таким образом, уравнение (15) можно записать в виде

∆х =∆x_i, (16)

откуда при ∆ ≠ 0

х = ——

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х₁ = —— ;

х₂ = —— ;