Способы решения систем линейных уравнений

(17)

………………

х_n = —— .

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (17) – формулами Крамера.

-25-

Пример 1. Решить систему уравнений

x₂ + 2x₂ + x₂ – x₂ = 1;

2x₂ + x₂ – ­­­x₂ – 3x₂ = 1;

x₂ – 3x₂ + 2x₂ + 2x₂ = –2;

3x₂ + x₂ + 3x₂ – 4x₂ = –3.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы:

1 2 1 -1 1 0 0 0 -3 -3 -1

∆ = 2 1 -1 -3 = 2 -3 -3 -1 = -5 1 3 =

1 -3 2 2 1 -5 1 3 -5 0 -1

3 1 3 -4 3 -5 0 -1

-18 0 8

= -5 1 3 = -18 8 _{= 18 + 40 = 58.}

-5 0 -1 -5 -1

Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x₁ – ∆x₄:

1 2 1 –1 1 0 0 0 –1 –2 –2

_{∆х1 =} 1 1 –1 –3 ₌ 1 –1 –2 –2 = 1 4 0 =

–2 –3 2 2 2 1 4 0 7 6 –7

–3 1 3 –4 –3 7 6 –7

–1 2 –2 2 –2

= 1 0 0 = – –22 –7 = – (–14 – 48) =58;

7 22 –7

1 1 1 –1 1 0 0 0 –1 –3 –1

∆х₂ = 2 1 –1 –3 = 2 –1 –3 –1 = –3 1 3 =

1 –2 2 2 1 –3 1 3 –6 0 –1

3 –3 3 –4 3 –6 0 –1

–10 0 8 –10 8

= –3 1 3 = –6 –1 = 19 + 48 = 58;

–6 0 –1

-26-

1 2 1 –1 1 0 0 0 –3 –1 –1

∆х₃ = 2 1 1 –3 = 2 –3 –1 –1 = –5 –3 3 =

1 –3 –2 2 1 –5 –3 3 –5 –6 –1

3 1 –3 –4 3 –5 –6 –1

= – (70 – 12) = –58.

Таким же образом высчитываем ∆х₄ и получаем: ∆х₁ = ∆х₂ = –∆х₃ = ∆х₄, и, следовательно, х₁ = х₂ = –х₃ = х₄ = 1.

-27-

2.3. Однородная система п линейных уравнений , с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (18)

…………………………………