Статистический анализ и оптимизация САР. Привод сопла ракеты носителя (RTF)
7Московский Государственный Авиационный Институт
(Технический университет)
Кафедра 704
Информационно-управляющие комплексы
Курсовая работа
Тема: Статистический анализ САР
Выполнил: ст. гр. 07-403
Корнилов Д.М.
Руководитель: Кудряшов С. В.
Москва 1998г.
1. Задание
Привод гибкого сопла ракеты-носителя :
Данные:
Параметры воздействий на входах системы заданы в виде корреляционных
функций:
где:
=1.2
Усилительное звено:
Kp=13 1/c
Параметры первой нелинейности:
S=0.5;
K1=2.5
K2=1.9
Параметры второй нелинейности:
S=27 /c
Параметры третьей нелинейности:
S=3
1. Промоделировать состояние системы в нелинейном виде.
2. Линеаризовать нелинейные элементы и промоделировать состояние
системы в линеаризованном виде.
3. Построить эволюцию матрицы ковариаций
Содержание
1. Задание
2. Теоретическая часть
2.1 Случайные процессы и их математическое описание
2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую
систему
2.3 Формирующий фильтр
2.4 Априорный статистический анализ
2.5 Статистическая линеаризация
3. Реализация
3.1 Система дифференциальных уравнений
3.2 Расчет системы в нелинейной форме
3.3 Расчет линеаризованной системы
4. Заключение
5. Список литературы
2. Теоретическая часть
2.1 Случайные процессы и их математическое описание
Пусть t принадлежит T (допустимому множеству). Если t пробегает
непрерывные значения на множестве T, то x( t) принято называть
случайным процессом.
При каждом фиксированном t=t * возникает случайная величина x( t * )
которую принято называть значением случайного процесса.
Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения
вероятностей с возрастающей размерностью k=1,2,...,n.
Действительно величина
равна вероятности того, что
Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении x(t) в
интересующем нас интервале времени мы располагаем. Практически
ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей
распределения либо иных характеристик случайных процессов (главным
образом моментов первого и второго порядков), которые определяются
данными плотностями.
Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и
двумерной плотностями, является марковский случайный процесс.
Зависимость между значениям x(t i ) является простейшей, так как
распространяется лишь на соседние значения x(t i-1 ) и x(t i ).
Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения
x(t i ) в интервале [x i , x i +dx i ] в момент времени t=t i
является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий
момент времени t i -1.Зависимость x(t i ) от более ранних моментов
времени t 1 , t 2 , t i-2 , (т. е. от более глубокой предыстории
процесса) отсутствует. Это означает, что для марковского процесса
условная (или переходная) плотность :
Отсюда:
Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность
условных (переходных) плотностей полностью описывают марковский
случайный процесс.
Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два
значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае
плотность вероятности имеет следующий вид :
Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности
вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е.
инвариантны к временному сдвигу :
Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного
процесса вообще не зависит от времени.
Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная
плотность вероятности которого гауссовская.
n-размерность вектора X,
Kx-матрица ковариации
m x -математическое ожилание.
Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским.
К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного
процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная
функция.
Математическое ожидание
характеризует среднее течение процесса x(t) по времени.
Дисперсия случайного процесса
Корреляционная функция
где , ;эта функция представляет собой среднее произведение
центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t+.
Корреляционная функция характеризует степень линейной связи (корреляции)
между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время . При =0,
корреляционная функция равна дисперсии.
Понятие корреляционной функции может быть использовано и для
характеристики степени связи двух случайных процессов x(t) и y(t). В
этом случае она называется взаимной корреляционной функцией :
В теории автоматического управления широко используются описания
случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное
представление случайных процессов.
Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции :
Полученная функция есть четная вещественная функция называемая
спектральной плотностью стационарного случайного процесса.
Справедливо обратное:
Для стационарного случайного процесса (t) (с нулевым математическим
ожиданием) типа белого шума, корреляционная функция имеет вид:
где ()-дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума.
Спектральная плотность этого процесса будет :
что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение
означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса (t)
для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее
интенсивным видом помехи.
2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую
систему
Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами.
На ее вход поступает стационарный случайный процесс x(t), на выходе
имеет место процесс y(t). Теоретически выходной случайный процесс y(t)
является стационарным только после затухания свободных колебаний в
системе, то есть при t . Однако, в инженерных приложениях мы
будем считать, что переходный процесс в системе заканчивается за время,
определяемое в соответствие с правилами теории управления.
Иными словами мы будем считать процесс y(t) стационарным по истечении
времени затухания.
Спектральная плотность выходного процесса имеет вид :
Дисперсия выходного процесса:
Корреляционная функция выходного процесса :
2.3 Формирующий фильтр
Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотность
во всем диапазоне частот.
Спектральная плотность всех физически существующих стационарных
случайных процессов представляют собой дробно-рациональную функцию
частоты :
Причем степень полинома в знаменателе выше степени полинома в числителе.
Такие функции допускают факторизацию:
,
где квадрат модуля амплитудной характеристики некоей фиктивной
минимально-фазовой динамической системы, которую в дальнейшем мы будем
называть формирующем фильтром соответствующим спектральной плотности
некоего случайного процесса.
2.4 Априорный статистический анализ
Под априорным статистическим анализом (или анализом точности) понимается
определение статистических характеристик (математических ожиданий,
дисперсий, спектральных плотностей, распределение вероятностей и т. п.)
координат управляемого динамического объекта по известному его
дифференциальному уравнению движения и статистическим характеристикам
случайных факторов.
Пусть линеаризованные уравнения возмущенного движения управляемого
объекта имеют вид :
где (t)-вектор состояния (фазовый вектор), размерности nx1,
A(t)-матрица коэффициентов, размерности nxn.
B(t)- матрица коэффициентов ,белых шумов, размерности nxm.
-вектор белых шумов, размерности mx1.
Тогда дифференциальные уравнения для вектора математических ожиданий и
матрицы ковариаций имеют следующий вид :
Размерность матрицы ковариации nxn.
N-диагональная матрица интенсивностей белых шумов.
Дифференциальные уравнения (1)-(3) решаются одним из численных методов
интегрирования. Таким образом, мы определяем вектор состояния и
статистические характеристики системы в любой момент времени. Перед
началом интегрирования, должны быть известны априорные значения вектора
состояния, вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций в
начальный момент времени.
2.5 Статистическая линеаризация
Легко видеть, что для решения уравнений из пункта 2.4 необходимы
линейные системы уравнений. Однако на практике системы управления могут
содержать (и чаще всего содержат) нелинейные элементы, и уравнение для
вектора состояний принимает вид :
В этом случае применяется метод статистической линеаризации, когда
нелинейный элемент заменяется линейным в некотором смысле эквивалентным.
Пусть нелинейный элемент имеет следующий вид :
Введем
линейный элемент следующего вида :
,
где
Необходимо чтобы величина на выходе линейного элемента была
эквивалентна, в некотором смысле, величине на выходе нелинейного
элемента.
Существуют два подхода:
1. Критерий вида:
M=M
D=D
Формулы для коэффициентов статистической линеаризации:
2. Второй способ заключается в выполнении критерия вида:
M=M
D-min
Коэффициент b вычисляется по формуле
3. Реализация
Для решения поставленной задачи было написано программное обеспечение с
помощью среды Microsoft Visual C++ 4.0 для матричных операций,
численных методов интегрирования. Основная задача решается в двух
программах, для расчета нелинейной системы и линеаризованной.
3.1 Система дифференциальных уравнений
Для того чтобы ввести в систему случайные возмущения с требуемыми
корреляционными функциями воспользуемся понятием формирующего фильтра,
динамического звена на вход которого поступает белый шум, а на выходе
процесс с требуемыми параметрами.
Итак, спектральная плотность требуемого процесса имеет вид :
Согласно формуле передаточная функция формирующего фильтра имеет вид:
После несложных преобрахований получаем дифференциальные уравнения для
формирующих фильтров двух входов.
Третьей фазовой координатой будет x, значение на входе в третью
нелинейность. Его уравнение имеет вид:
Эти уравнения и составят систему дифференциальных уравнений:
3.2 Расчет системы в нелинейной форме
Для расчета данной системы в нелинейном виде была разработана
соответствующая программа которая интегрировала систему уравнения
методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Для решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо
знать начальные условия, то есть значения вектора состояний в нулевой
момент времени, в данном случае они нулевые.
После осуществления интегрирования результаты были записаны в файл, и
затем построены. Графики имеют следующий вид :
Рисунок 1.
3.3 Расчет линеаризованной системы
Для расчета системы в линеаризованным виде по формулам, необходимо
линеаризовать систему дифференциальных уравнений, т. е. заменить три
нелинейных элемента линейными как это показано в 2.5. Для того чтобы
получить коэффициенты статистической линеаризации нам необходимо знать
параметры случайного процесса на входе в нелинейность (математическое
ожидание и дисперсию). Параметр входа в третью нелинейность имеется в
векторе состояний. Поэтому его дисперсия присутствует в матрице
ковариации. Для нахождения дисперсий на входе в первую и вторую
нелинейности произведем следующие действия. Преобразуем систему таким
образом чтобы входом системы оставался один из входов в нашу систему, а
выходом вход в нелинейность (два входа рассматриваются отдельно, а затем
их дисперсии складываются).
Итак, посчитаем дисперсии от воздействий и , на входах первой и второй
нелинейности:
Назовем сигнал на входе в первую нелинейность х, во вторую y тогда
уравнение связывающие x и будут иметь вид:
Здесь коэффициенты статистической линеаризации соответственно первой и
второй нелинейностей, далее:
Следовательно передаточная функция будет иметь вид:
Спектральная плотность случайного процесса на входе имеет вид:
Тогда дисперсия на входе первой нелинейности будет иметь вид:
В теории известно, что интегралы вида :
где:
В аналитической форме имеют вид:
, где
Рассмотрим отдельно знаменатель нашего интеграла, приведенный к виду:
Тогда :
Отсюда следует:
Откуда :
Рассуждая аналогичным образом получим остальные дисперсии:
Отсюда следует, что дисперсия на входе в первую нелинейность имеет вид:
На входе второй нелинейности:
Далее необходимо получить выражения для самих коэффициентов
статистической линеаризации, воспользовавшись выведенными раньше
соотношениями. Легко видеть, что все интегралы в этих формулах будут
иметь один из трех, ниже перечисленных, видов :
Эти интегралы, считаются в численном виде и получаются с помощью функции
ошибок и гауссовской плотности вероятности. Они реализованы в программе
в виде функций, тогда коэффициенты статистической линеаризации для
первого нелинейного элемента будут иметь вид:
K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+
k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);
K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+
k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;
Для второго:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Для третьего:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Линеаризованная система должна иметь вид :
Воспользовавшись уравнениями для нелинейной системы матрицы можно
записать:
Легко видеть, что матрица A на каждом шаге интегрирования будет
изменяться, в зависимости от коэффициентов линеаризации, которые в свою
очередь зависят от дисперсий на входе нелинейных элементов, которые
зависят от дисперсий на входе. Следовательно на каждом шаге
интегрирования нашей системы мы должны интегрировать дифференциальное
уравнение для матрицы ковариаций K:
Реализуя все вышесказанное получим график изменения вектора состояний
линеаризованной системы :
Рисунок 2.
Эволюция матрицы ковариации по входным воздействиям имеет вид:
Рисунок 3
Дисперсия выходной координаты :
Рисунок 4
4. Заключение
Как видно из рисунков 1 и 2 статистическая линеаризация проведена
правильно. Поведение системы в нелинейной и линеаризованной форме
примерно одинаково. Из рисунков 3 и 4 следует, что дисперсии сходятся,
т. е. через некоторый промежуток времени переходные процессы в системе
заканчиваются и на выходе системы имеется стационарный случайный
процесс.
5. Список литературы
1. Конспект лекций
2. Лебедев и др. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА.
3. Корн Г. и Т. Справочник по математике
4. Поляков Ю. В, Круглов И. Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль
5.5
5. Бабак С. В., Васильев В. И. и др. Основы теории многосвязных систем
автоматического управления ЛА.