Реферат: Производная и ее применение
Реферат.
на тему “Производная, и ее применение ”.
Успенского
Сергея
Определение производной
Пусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0
(окрестность точки Х0 - это интервал (а; б), x0((а; 6)).
Разность х-Х° называется приращением аргумента:
?x = х-x0. Отсюда x = x0 + ?x.
Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции:
?f = f(x) - f(x0) или
? f = f(x0+?x) – f(x0).
Отсюда f (x0+?x) = f (x0) + ? f.
Геометрический смысл приращений ?х и ? f показан на рисунке .
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения
приращения функции ?f к приращению аргумента ?x, стремящегося к "нулю."
Обозначается f ' (x0). Читается: "эф штрих в точке x0. Итак,
f ' (x0) = lim (? f / ?x)
?x? 0
Если функция у = f (х) имеет производную в точке x0 , то
говорят, что она дифференцируема в точке x0.
Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.
Правила дифференцирования.
1. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их сумма также
дифференцируема в точке x0, причем производная суммы равна сумме
производных, т.е.
(( + ()'=(' + ('.
2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение
также дифференцируемо в точке x0 причем
(( - ()' = ('( + (('.
3. Если функции ( и ( дифференцируемы в точке х0 и
('(x0) ? 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, причем
((/()' = (('( - ((') / (?
4. Если функция и дифференцируема в точке x0 и с = const. то их
произведение также дифференцируемо в точке x0 причем (сu)' = си'.
5. Если f (g(х)) - сложная функция, то ее производная равна произведению
производных внешней и внутренней функций, т.е.
[f(g(x))]'= f '(g) ? g'(x).
Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя
скорость за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния,
пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t ? 0.
lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t ? 0.
а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, ((t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная
функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в
точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости
от времени.
((t) = x'(t) - скорость,
a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x ( [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и
гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических
колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением
таких уравнений является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
? 0 - начальная фаза.
Элементы исследования функции с помощью пределов и производной.
С помощью производной функции устанавливают промежутки монотонности,
точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
При этом используются следующие теоремы:
1. Если f ' (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на
I. Если f ' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.
2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если x0- точка
экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.
Определение. Внутренняя точка области определения, в которой производная
равна нулю или ее не существует, называется критической.
3. Достаточное условие экстремума: если функция f (x) непрерывна в точке
x0, а f '(х) > 0 на интервале (а; x0)
f '(х) < 0 на интервале (x0; b), то точка x° является точкой максимума.
Обозначается Xmax.
Или проще: если в окрестности точки x0 производная меняет знак с "+" на
"-", то х0- точка максимума. Если функция f(x) непрерывна в точке x0, a
f '(x) < 0 на (а; x0) и f '(х) > 0 на
(x0; b), то точка x0 является точкой минимума.
Или проще: если в окрестности точки x0 производная функции меняет знак с
"-" на "+", то x0 - точка минимума.
Обозначается “Xmin”.
Заметим, что необходимое условие не является достаточным. Например, для
функции у = х3, у' = Зх2, у'(х) = 0, если 3x2 = 0; х = 0 - критическая
точка. Но она не является точкой экстремума (см. график функции)
Достаточное условие экстремума также не является необходимым.
4. Теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; b] функция достигает
на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на
[а; b]:
а) убедиться, что функция у =f(x) непрерывна на [а; b];
б) найти критические точки, принадлежащие [а; b];
в) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;
г) сравнением установить наибольшее и наименьшее значение,
обозначается max f(X) = f(X1), min f(X) = f(X2)
[а; b ]
[а; b]
Примечания
1. Если рассматривают функцию не на отрезке, а на интервале (а; b), то
вычисляют вместо значений функции на концах пределы lim f(x) и lim f(x).
x?а
х?b
2. Не следует путать наименьшее и наибольшее значение функции с
минимумом и максимумом функции.
С помощью пределов исследуют "поведение" функции на бесконечности, а
также вблизи точек разрывами устанавливают наличие асимптот.
Асимптотой называется воображаемая линия, которую график функции не
может пересекать, но как угодно близко к ней приближается при
неограниченном изменении ее аргумента.
Если lim f(x) = а, то
x? ?
у = а - уравнение горизонтальной асимптоты.
Если lim f(x)= ± ?, то
x? x°± 0
х = x° - уравнение вертикальной асимптоты.
Если lim f (x) / x = k, тo k ? 0 и lim (f(x) - kx) = b, то
x? ?
x? ?
у = kx + b - уравнение наклонной асимптоты.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях
точки x0 (рис 2).
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке 'B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС:
АС = ?x; ВС = ?у; tg?=?y/?x .
Так как АС || Ox, то ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х? 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х? 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х ? 0 в равенстве
tg? =?x/?y, то получим lim tg? = lim (?y/?x) или
tg( =f'(x0), так как lim tg? = tg(, (-угол наклона касательной к
положительному направлению оси Ох, lim ?x/?y =f '(x0)
?х ? 0
?х ? 0
по определению производной. Но tg( = k - угловой коэффициент
касательной, значит, k = tg( f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Литература:
“Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.(стр. 309)
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
(стр. 42-48, 82)
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 95-97)
 |