Курсовая: Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре


Рассмотрим систему

.

, удовлетворяющую неравенству

.

– некоторые числа.

Введём также обозначение

.

Теорема. Пусть выполнено неравенство

.

положительно определена и выполнено неравенство

орбитально асимптотически устойчива.

не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены
неравенства

будет орбитально неустойчивой.

– некоторое достаточно малое число.

таким образом, чтобы

такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что

.

является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2)
достаточно, чтобы выполнялось равенство

, может быть определён следующим образом:

,

где

,

.

Заметим, что

.

Поэтому

.

Отсюда и из соотношения (3) получим, что

.

соотношению

, и проходит через точку

.

, где

.

, следует соотношение (5).

– некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

.

Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную
ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы.

, получим широко известный признак Пуанкаре.

Список использованных источников

Демидович Б. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

Леонов Г. А. Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости
Пуанкаре.// Дифференциальные уравнения, 1988 №9

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

Читать версию документа без форматирования