Реферат: Доказательства теоремы Ферма
К решению теоремы Ферма
Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде
(см. Энциклопедический справочник Введенского Т2, стр.574)
Теорема Ферма гласит, что уравнение yn + xn =zn
(1)
при показателе степени n > 2 не имеет целых положительных
решений.
Справедливость теоремы Ферма доказана для ряда n, в том числе
для всех n<100, но в общем виде остается недоказанной. Ферма не
оставил доказательства, хотя утверждал, что таким доказательством
обладает.
Математики утверждают, что решение проблемы Ферма в настоящее время -
задача безнадежная (Ю.А. Шрейдер, 1971г.).
Ниже предлагается простой способ доказательства, доступный для понимания
лицам со средним образованием.
Доказательство
Представим выражение (1) в виде: (x - a)n + xn - (x+b)n = 0
(2)
где y = x - a; z = x + b; a < x –целое число, а x и b – целые или
нецелые числа, в зависимости от соотношения x , a и n .
Имея в виду, что в теореме Ферма для показателя степени n = 2,
выражение y2+x2=z2 представляет собой не что иное, как решение
прямоугольного треугольника, требуется доказать, что для n>2 нет
решений аналогичных треугольников в целых числах x,y,z.
Из-за ограниченности информации следует считать, что теорема Ферма
имеет смысл при решении ее в плоскостных координатах ( x , y ) ,
так как ось z = 0.
Разобьем плоскость ( x , y ) на участки, как показано на рисунке. В
первом квадранте выделим треугольник OAC , относительно которого
будем проводить исследования. Так как треугольниками OAC и им
подобными треугольниками можно заполнить всю плоскость (x,y ),
результаты исследования треугольника OAC можно распространить на
всю плоскость ( x , y ), определив тем самым область распространения
условий теоремы Ферма.
Запишем выражение (2) с учетом разложения по биному Ньютона:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3
xn-3 a3...... +an
(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3
b3.......+bn
(x+a)n + xn - (x+b)n = xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3
(a3+b3)..+(an+bn) =0
(3)
Из приведенного выше неравенства можно определить также следующую
зависимость для величины b: b(x(n(2-1) ( 2n(n(2-1) (см. ниже формулу 6).
*)
Принятие b=1 обусловлено тем, что 1 является единственным целым числом
в исходных треугольниках, при котором возможно получение целых значений
x, y, z.
Это позволяет при проведении расчетов использовать единые
коэффициенты a и b, равные 1 для всех показателей степени n. В
принципе величина b может изменяться в больших пределах, но нас будут
интересовать только целые значения b , так как при нецелых b
нет целых x , y , z .
Однако, если при расчетах при a=1 положить b=2 или 3 то при этом в
треугольнике OBC нарушится пропорциональная зависимость между x , a и
b, а гипотенуза z станет больше требуемой. Для восстановления
пропорциональности потребуется соответственно увеличить в 2 или 3 раза
x и a. Отсюда следует заключить, что расчеты по поиску целых решений x ,
y , z могут производиться только при соотношениях a = b = 1 , 2 ,
3 и т. д.
Учитывая изложенное, проведем анализ формулы (3) с целью определения
общих условий получения целых x , y , z при решении Теоремы Ферма.
Для этого преобразуем формулу (3). Положив в ней a = b , получим :
xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 -
... (an + an )=0 (4)
Обозначим через P(a) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) -
добавок после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4)
примет вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a) = 0
Разделив все члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
x=2na+P(a)/xn-1 , где 0 < P(a)/xn-1 <1
(5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P(1)/xn-1
(6)
Определим значения P(1)/ xn-1 для уравнения (6) для степеней
2 , 3 , 4 , 5 , раскрыв числовые значения коэффициентов cnk : P2 =
0 ; P3 = 2/62 = 0.055 ; P4 = 64/83 = 0.125; P5 = 2002/104 =
0.200.
Отсюда для n = 2 , 3 , 4 , 5 соответственно получим: x =4,000 ; 6,055
; 8,125 ; 10,200.
При a=b= 2,3… будут получены значения соответственно в 2 , 3 ….. раза
больше по сравнению с расчетами при a = b = 1.
Примечания
1. С возрастанием показателя степени n может расти добавок P(a)/xn-1
.Если предположить, что для какого-то n он станет равным 1 или 2, тогда
x и n примут значения:
x1= 2n+1 или x2= 2n+2 – целые числа
n1=x/2=(2n+1)/2 – нецелое число
n2=(2n+2)/2 –целое число
В первом случае результат будет относиться к степени n+1/2, а во втором
– к степени n+1. То и другое не соответствует разложению по биному
Ньютона по коэффициентам cnk. Следовательно, остается справедливым
P(a)/xn-1<1, т.е. добавок всегда является нецелым числом.
Для нецелых чисел всегда должно удовлетворяться условие:
x=2na+P(a)/xn-1 <2na+1
2. Расчеты по формуле (6) проведены в первом приближении, т.е. с
ограниченной, но достаточной точностью.
Анализируя выражения (5) и (6) и вышеизложенное , следует заключить,
что:
a) искомые x для степеней n > 2 состоят из двух частей : целой 2na
и нецелой добавки P(a)/xn-1 , которая и определяет невозможность
получения целых x , y , z теоремы Ферма для n > 2 .
б) Результаты решения уравнения (5) при a = b = 2 , 3...
пропорциональны полученным при a = b = 1 для исходного
треугольника OBC , что позволяет изобразить в 1-м квадранте плоскости
(x,y) бесконечное множество треугольников, содержащих сведения о наличии
(для n=2) или отсутствии (для n>2) решений теоремы Ферма в целых числах
при x((, т.е. за пределами исходных треугольников.
в) Для всех степеней n в пределах сектора 450 1-го квадранта плоскости
(x , y) для исходного треугольника OAC величина b изменяется от 1,65
при n=2 до 0 при n = (. (см. выше *)
В этих пределах единственным целым числом является 1 , при котором
получено положительное решение теоремы Ферма только для n=2: x = 4 ; y
= 4 - 1 = 3 ; z = 4 + 1 = 5.
При a = b = 2 для первого подобного треугольника соответственно
получено:
x = 4x2 =8 ; y = 3x2 = 6 ; z = 5x2 = 10. Проверка : 82 + 62 =
102 .
Во всех остальных случаях, в том числе и при решении уравнения (6) для
n>2 положительных решений теоремы Ферма нет. Убедиться в этом можно
также доказав, что величина P(a)/xn-1, а значит и x, являются
иррациональными числами, т. е. Имеющими неограниченное количество знаков
после запятой.
Для этого выражение P(a)/xn-1, проведя сокращение, преобразуем к виду:
P(a)/ xn-1= 2cn3 a3/x2 + 2cn5 a5/x4+ 2cn7 a7/x6+…( an + an )/xn-1
(7)
Определим величину K= A/x , где : A= Const, x=2na+P(a)/x.
Подставляя в K значения x, будем иметь:
Мы получили выражение с бесконечным повторением члена 2na +P(a)/x.
Подобное выражение входит во все составляющие уравнения (7), а
следовательно и в выражение (5), что и доказывает иррациональность P(a)/
xn-1 и числа x, а значит и достоверность теоремы Ферма за пределами
исходных треугольников.
г) Настоящее исследование проведено при условии, что x, y= x-a и z =
x+b – нецелые числа. Однако, если нецелые x и y заменить целыми числами,
результат исследования не изменится т.к. для доказательства
справедливости теоремы Ферма при n>2 достаточно хотя бы одного нецелого
параметра, в данном случае параметра z.
д) Изложенные выше доказательства отсутствия для n>2 решения
уравнений yn + xn = z n в целых числах справедливы для всех
натуральных корней этих уравнений в силу того, что каждый корень должен
удовлетворять выражению (5), т.е. иметь нецелый добавок к целому числу
2na
е) Анализируя возможное расположение исходных треугольников типа OAC
(см.рис.) и им подобных треугольников на плоскости (x,y) и, учитывая,
что нечетные функции xn и yn в совокупности могут принимать
положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему
расположения этих функций по всей плоскости (x,y) т.е. в области
распространения теоремы Ферма :
- вся плоскость (x,y) –для четных показателей степеней n
- квадрант 1- для положительных x и y
- квадрант III - для отрицательных x и y
В квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа
xn-yn или yn-xn , рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.
Выводы
1. Разработан способ доказательства теоремы Ферма в общем виде.
Определены основное уравнение – формула (3) и рабочие формулы (2), (5) и
(6) для проведения расчетов в процессе доказательства.
2.Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV
квадрантов для нечетных n
________________________________________________________________________
_______
ПОСЛЕСЛОВИЕ_
В процессе настоящего исследования попутно установлено, что трехчлены
третьей степени вида (x-2a)3 +(x-a)3 +x3 =(x+ b)3 (1) , как и двучлены
второй степени вида (x-a)2 +x2 =(x+ b)2 (2),
обеспечивают равенство левых частей правым при целых значениях x.
Для трехчленов (1) основным уравнением при a = b является выражение
x3 – 6x2 a +6x a2
- 5 a3 =0
Решением его при a = b = 1 является целое число x = 5.
Во всех других случаях (n ( 3) решение будет получено при нецелых x.
При x = 5 другими параметрами уравнения (1) являются числа : 5 – 2 = 3;
5 – 1 = 4; 5 + 1 =6.
Справедливость изложенного подтверждается равенством: 33 +43+53=63.
Заметим, что числа 3, 4, и 5 являются элементами прямоугольного
треугольника, на катетах и гипотенузе которого построены квадраты
(площади), удовлетворяющие уравнению (2). На тех же элементах
треугольника можно построить кубы (объемы), удовлетворяющие уравнению
(1).
При a = b = 1; 2; 3 и т.д. таких построений может быть бесконечное
множество.
Изложенное можно трактовать как вариант теоремы Ферма для трехчленов
типа (1)
Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС,
Москва 2001 – 2002 год
II
I
III
IV
0
C
C1
B
B1
A
A1
x
2x
Y
- X
X
-Y
I
Зеркальное отображение построений сектора 450 при Y >X
 |