Существование решения дифференциального равнения и последовательные приближения

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное чреждение

высшего профессионального образования

Самарский государственный ниверситет

механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории правления

специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального равнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

работ защищена

л200_г.

Оценка

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения равнения

Пусть дано равнение

с начальным словием

Пусть в замкнутой области R

Последовательные приближения определяются формулами:

аа

Задание №9

Перейти от равнения

к системе нормального вида и при начальных словиях

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

и перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения ак решению задачи

Построим последовательные приближения

Задание №11

) Задачу

свести к интегральному равнению и построить последовательные приближения

б) казать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное равнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке

а

Если график функции апроходит в области Г, то функция аопределена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция апроходил в области Г. Этого дается достичь, выбрав отрезок авыполнялись неравенства:

, i = 1, 2, Е,

где 0 <

,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим

что и является словием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется асходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

1.     Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные равнения, М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2.     А.Ф. Филиппов Сборник задач по дифференциальным равнениям, М.: Интеграл-Пресс, 1998

3.     О.П. Филатов Лекции по обыкновенным дифференциальным равнениям,Самара: Издательство Самарский университет, 1

4.     А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева Дифференциальные равнения, М.: Наука. Физматлит, 1998