Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные равнения. Степень с рациональными показателем
Л[+]
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Корень n-й степени и его свойства 0. │
│ Пример 1. 0 │
│ 1 Решим неравенство 0 х 56 0>20 │
│ 1 Это неравенство равносильно неравенству 0 х 56 0-20>0. Так как функция 0 │
│f(x)=х 56 0-20 1непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. 0 │
│ 16 7|\\ 16 7|\ 0 │
│ Уравнение 0 х 56 0-20=0 1имеет два корня 0 : 7а ? 1 20 и - 0 7? 1 20 0. Эти числа разби- 0 │
│ 1вают числовую 0 1прямую на три промежутка. 0а Решение данного неравенства - 0 │
│ 16 7|\\ 0 16 7|\\ 0 │
│ 1объединение двух из них 0 : (- 74 0; - 7? 1 20 0 7 0) 7 0( 7? 1 20 0а 7 0; 74 0) │
│ 1 0 │
│ Пример 2. 7 03 7|\ 0 5 7|\ 0 │
│ 1 Сравним числа 7 ? 0 2 7 0 и 7 ? 0 3 │
│ 3 7|\ 0 5 7|\ 0 │
│ Представим 0 7? 0 2 7 0и 7? 0 3 1в виде корней с одним и тем же показателем: 0 │
│ │
│ 13 7|\ 0а 115 7|\ 0 1 15 7|\ 0 15 7|\ 0а 115 7|\ 0а 15 7|\ 0 │
│ 7? 0 12 7 0 = 7 ? 0 12 55 1= 0 7? 132 7 0 1а 0 7 ? 0 13 = 0 7? 0 13 53 0 = 7 ? 0 27а 1из неравенства 0 │
│ 15 7|\ 0а 15 7|\ 0 3 7|\ 0 5 7|\ 0 │
│ 32 > 27 1следует, что 0а 7? 032 7 0 и 7 ? 0 27 1,и значит, 0 7? 0 2 7 0 > 7 ? 0 3 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 1 Иррациональные равнения. 0 │
│ 1 0 │
│ 1 Пример 1. 7а |\\\ 0 │
│ 1 Решим равнение 7 ? 1 x 52 1 - 5а = 2 0 │
│ Возведем в квадрат обе части равнения и получим х 52 1 - 5 =а 4, отсюда 0 │
│ 1следует, что х 52 1=9 х=3 или -3. 0 │
│ Проверим, что полученные части являются решениями равнения. 0 │
│ Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные 0 │
│ 1равенства 7а |\\ |\\\ 0 │
│ 7? 1 3 52 1-5 = 2 аи 0 7? 1 (-3) 52 1-5 = 2 0 │
│ │
│ Пример 2. 7 |\ 0 │
│ Решим равнение 7 ? 1 х а=а х - 2 0 │
│ Возведя в квадрат обе части равнения, получима х = х 52 1 - 4х + 4 0 │
│ После преобразований приходим к квадратному уравнению х 52 1 - 5х + 4 = 0 0 │
│ 1корни которого х=1 и х=4. Проверим являются ли найденные числа реше- 0 │
│ 1ниями данного у _ра .внения. При подстановке в него числа 4 получаем вер- 0 │
│ 1ное равенство 7 ? 14 0 = 4-2 1т 0. 1е. 4 - решение данного равнения. При подста- 0 │
│ 1новке же числа 1 получаем в правой части -1, в левой 1. Следователь- 0 │
│ 1но, 1 не является решением равнения ;а говорят, что это посторонний 0 │
│ 1корень, полученный в результате принятого способа решения. 0 │
│ О Т В Е Т : Х=4 0 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ Степень с рациональным показателем 0. │
│ Пример 1. 0 │
│ 13 7|\ 1 7 14 7|\\ 14 7|\ 0 │
│ Найдем значение выражения 8 51/3 1 = 7 ? 1 8 = 2 ; 81 53/4 = 7 ? 1 81 53 = 1 ( 7? 181) 53 1= 3 53 1= 0 │
│ 1=27 0 │
│ │
│ Пример 2. 0 │
Сравним числа 2 5300 1 и 3 5200 1. Запишем эти числа в виде степени с ра- 0 │
│ 1циональным показателем : 0 │
│ 12 5300 1 = (2 53 1) 5100 1 = 8 5100 1 ; 3 5200 1 = (3 52 1) 5100 1 = 9 5100 0 │
│ Так как 8<9 получаем : 0 │
│ 18 5100 1 < 9 5100 1 т.е. 5 12 5300 1 < 3 5200 1. 0 │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘