Методы статистического моделирования в радиотехнике
Метод используется для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с сеченными законами
w(x)
распределения), также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать сеченными (рис 1.2.1).
Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:
из датчика равномерно 0 a b x 
1.3 Метод кусочной аппроксимации
Пусть требуется получить случайную величину y с функцией плотности W (y ). Предположим, что область возможных значений величин y ограничена интервалом (b a , ), т.е. неограниченное распределение заменим ограниченным (усеченным).
Стр. 5 Разобьем интервал ( ba , ) на n достаточно малых интервалов (a , a ), где
mm + 1 ; 0 ,
m = 0 ,..., n − a1 = aa = b ; таким образом, чтобы распределение заданной случайной величины
n
можно было аппроксимировать каким-нибудь более простым распределением, например, равномерным (рис. 1.3.1).
id="LinkTarget_42195">2. Моделирование случайных векторов
Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на
,конечном интервале времени (T 0 ), в принципе не отличаются, т.к. дискретные реализации
случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N -мерных случайных векторов (N = T / t ). Существуют три основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением.
2.1 Метод словных распределений
Этот метод позволяет моделировать многомерные случайные величины с произвольно заданной многомерной функцией плотности.
(
Пусть случайный вектор задан своей N -мерной функцией плотности x w 1 ...x2 )
Одномерная функция плотности случайной величины имеет вид:
∞
W (x1 ) =∫ x w 1 , x )dx (2.1.1)
(
22
∞ −
Рассмотрим сначала двумерный случай, когда вектор имеет две координаты x1и x2 . Используя рассмотренные ранее способы моделирования случайных величин с заданными законами распределения, сформируем реализацию x1k случайной величины x1с функцией плотности (2.1.1).
Найдём словное распределение случайной величины x2 :
k
x w 2 / xk )=x w 1 , x ) / x w 1 ) (2.1.2)
( 1 ( k2 ( k ( k
И произведём выборку x2 случайной величины x2 с функцией плотности x w 2 / x1 ).
k
Полученная таким образом последовательность пар чисел x1k и x2 будет иметь
(совместную плотность x w 1 , x ).
2
налогично получаем и для N -мерного случая. Например, для N =3 , будет:
∞
(
W (x ) = x w 1 , x2 , x ) dx dx3 (2.1.3)
32
1 ∫∫
∞ −
k
W ( x /xk )= ∞∫ x w 1 , x2 , x ) dx (2.1.4)
21 ( 33
∞ −
k kk ( k ( 2k
x w 3 / x x k )=x w 1 , x2 , x ) / x w ) / x w / xk ) (2.1.5)
( 12 (
31 1
Однако, практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех случаев, когда интегралы берутся в конечном виде. При больших значениях N способ практически не применяется.
2.2 Многомерный метод Неймана
Идея метода такая же, как и в одномерном случае с той разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределённые не на плоскости под кривой, в (N + 1 ) -мерном объёме под N -мерной поверхностью.
(,
Пусть x w 1 ...x ) -N -мерная функция плотности случайного вектора y ; k =2 1 ...N c
n
областью определения ( ak ,b ) случайных координат y ; k = 2 1 ...N .
k , По аналогии с одномерным случаем вырабатывается (N + 1 ) случайных чисел x1 ...x ,
n + 1
равномерно распределённых в интервалах ( a ,b )...( a ,b ), ( w 0 , ) соответственно, где w -
11nnmm
(максимальное значение функции y w 1 ...y ).
n
В качестве реализации случайного вектора y берутся реализации случайного вектора x, довлетворяющие словию:
(
id="LinkTarget_43090">3. Моделирование случайных процессов
Рассмотренные ранее методы моделирования случайных векторов можно использовать и для моделирования случайных процессов.
Однако, при формировании реализации большой длины эти методы требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование.
К сожалению, других более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с заданным многомерным законом распределения или заданной корреляционной функцией до настоящего времени неизвестно.
Однако, на практике столь широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко, чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более зкому классу случайных процессов. Например, стационарный нормальный случайный процесс; стационарные процессы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах и т.п.
3.1 Моделирование нормальных случайных процессов
Для стационарных нормальных случайных процессов найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В их основу положено линейное преобразование стационарной последовательности n x []независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум) в последовательность n y [], коррелированную по заданному закону.
При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего
[суммирования с некоторым весом ck =k c ]:
n
n y[
[]=∑n x c −k ] (3.1.1)
k k =1
либо как рекуррентное равнение вида:
1m
n y [[ [[
[]=∑n x a −k ]−∑n x b −k ], где ak =k a ];b =k b ] (3.1.2)
kk k k =0k =1
Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью этих алгоритмов, определяется набором значений ak , bk, ck и их количеством, которое обычно невелико.
лгоритмы отличаются простотой и позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь годно большой длины. Параметры ak , bk, ckопределяются на этапе предварительной подготовки к моделированию.
Задачу цифрового моделирования с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных равнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует белый шум на его входе в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками на его выходе (рис. 3.1.1).
id="LinkTarget_47288">4. Моделирование случайных потоков
Потоки случайных событий, происходящих в случайные моменты времени tt
,,…t
1 2 n
