Скачайте в формате документа WORD

Элементарные конформные отображения

ЕЛЕЦ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.







КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ


Тема: Элементарные конфортные отображения





Выполнила: студентка группы М-31

физико-математического факультета

Е.Г. Петренко


Научный руководитель:

О.А. Саввина





1998 г.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек аточку (или точки) со значениями в множестве

Задание функции аэквивалентно заданию двух действительных функций аи тогда а, где

1. аа<- линейная функция. Определена при всех а. Функция сжимает) ее в араз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину

2.

3. а<- показательная функция. По определению

;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. аа,

4. натуральный логарифм). По определению: называется главным значением а<- бесконечно-значная функция, обратная к

5. а

6. Тригонометрические функции а По определению,

а;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, именно:

а,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.


Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: а

Решение. По определению,

а а

Найти суммы:

1)

2)

Решение. Пусть:

; Преобразуя, получим:

3. Доказать, что: 1) 2)

3) 4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3) а;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, также модули следующих функций: 1)

Решение: аи, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

Напомним, что

2)

а

3)

а , ,

а, а.

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

а;а а;а а;

а;

Вычислить: 1) 3) ; 5)

2) 4) а; 6) а;

Решение. По определению,

1)

2)

3)

4)

5)а

6)

Найти все значения следующих степеней:

1) 2) а; 3)а; 4)

Решение. Выражение адля любых комплексных аи

1)

2)

3)а

4)

8. Доказать следующие равенства:

1)

2)а

3)

Доказательство: 1) а, откуд

Решив это равнение, получим аи

2) а

3)

Отсюд