Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического равнения

В.Кинетические Свойства

з 6. Кинетическое равнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы - нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим лобычные кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом равнении, или равнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию k(r) Ч локальную концентрацию носителей заряда в состоянии

Посмотрим теперь, какими способами функция k(r)а может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и ходят из нее. Пусть k Ч скорость носителя в состоянии k. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени k в момент времени 0:

f_k(r, t) <= f_k(r - tv_k, 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

kdiff = - k×<kk×Ñk. (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора

(37)

Величину аможно рассматривать как скорость носителя заряда в

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение <kk).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном пругим рассеянием. При этом функция k меняется со скоростью

kscatt = ∫{ f_k' (1 - k) - k (l - k')}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k. Вероятность этого процесса зависит от величины k - числа носителей в состоянии k_') Ч числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k; он пропорционален величине k_'(1 Ц k). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям

Кинетическое равнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k(r) равна нулю, т. е.

kscatt + <kfield + <kdiff = 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через 0_k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

g_k = k - 0_k. (42)

где

f⁰_k = 1/{exp[(E _k -

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию 0_k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=f_k(r) Ц 0_k{3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение довлетворяло какому-либо дополнительному словию, например

òk(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое равнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

Ц k×<k /ħ(E + 1/c[k ´ H]) ×<k k scatt, (46)

или

Ц k×<k /<T ÑT - /ħ(E + 1/k ´ H<]) ×< 0_k /<k /<scatt + k×<k /<r + /ħ(E + 1/k ´ H<]) ×<k /<

С помощью формулы (43) это равнение можно переписать в виде

(<0 k×<{( E (k) - / T×ÑT + e (E - 1/e×Ñk scatt + k×<k /<r + /ħc[k ´ H] ×<k

Это Ч линеаризованное равнение Больцмана. В нем опущен член (E×<k /<2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член k [k ´ H<], тождественно равный нулю; в левую часть равнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в равнение (48), можно бедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное равнение относительно добавки k(r) к функции распределения. Функция k(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического равнения для различных случаев в порядке величения сложности.

з 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в бесконечной среде поддерживается постоянная температура. С четом выражения (40) получаем

(Ц <0 k×0 scatt = ò(f_kЦ f_k¢)Q(k,k¢)dk¢<= ò(g_kЦ g_k¢)Q(k,k¢)dk¢ (49)

Это есть простое интегральное равнение для неизвестной функции k.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

Ц <k scatt = k

Тем самым мы вводим время релаксации k от равновесного распределения будет затухать по закону

Ц <k /<k

или

g_k(t) = g_k(0)e ^{- t / t}. (52)

Подставляя определение (50)а ва уравнение (49), находим

g_k = (Ц <0 k×

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

ò0_kev_k(r)dk º 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в

В металле функция (Ц <0 /<E) ведет себя как d<-функция от (E -

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J =

где

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(v_k v_k × E) = v²_xE, (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, 2E. Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

L =

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения k, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция k велика только вблизи поверхности Ферми.

Фиг.97. - смещенная поверхность Ферми; б - смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где k×

Фактически по теореме Тейлора можно написать

(61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

f_k = 0(E_k + kE), (62)

как будто к энергии электрона в состоянии

dE_k = ekE. (63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью k двигался в поле E в течение интервала времени

d

или для классической частицы массы

d

Пусть концентрация частиц есть

J = ned

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

s = 2t

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на ровне Ферми, не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми меньшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) добна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

s =

где

m = <|e|

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

s = h |е<| h + n_e |е<| e. (70)

Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве (71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

e= |e|e /m_e (7.38)

где т_е Ч эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение F).