Математика. Интегралы

1.

*1. Говорят, что функция 1<2 из (1)£2) (1)³2)).

*2. Говорят, что функция 1<2 из (1)<2) (1)>2)). В этом случае функцию называют монотонной на (

Т1. Дифференцируемая на (

Док-во: 1) Достаточность. Пусть 1<2 из (1,2]. По теореме Лагранжа: 2)-1)=(2-1)1<2. Т.к. (2-1)>0, 2)-1)³0 (£0), значит,

Т2. Для возрастания (убывания)

Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если

*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций аили аравно +¥ или Ц¥.

Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.

*4. Прямая

Т3. Прямая

Замечание3. При

2.

*1. Точку х₀ назовем стандартной для функции 0 и 0)=0.

*2. Необходимое словие экстремума. Если функция 0 локальный экстремум, то либо 0 Ц стационарная точка, либо 0.

Замечание 1. Необходимое словие экстремума не является достаточным.

Т1. (Первое достаточное словие экстремума). Пусть 0, кроме, быть может, самой точки 0, в которой она является непрерывной. Если при переходе 0 слева направо 0 является точкой максимума, при перемене знака с - на + точка 0 является точкой минимума. Док-во: Пусть 0, (0. И пусть, например, производная меняет знак с + на Ц. Покажем что 0)>0] или [0,0)=(0)0 или 0Þ0<0, 0)<0Þ0)>0Þ0>0, 0)<0Þ0)>

Замечание 2. Если 0, то х₀ не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное словие экстремума). Пусть 0 - стационарная точка функции 0 вторую производную. Тогда: 1) 0)>0Þ0 локальный минимум. 2) 0)<0Þ0 локальный максимум.

3.

*1. График функции

*2. График функции

Т1. Пусть

*3. Точка (

Т2. (Необходимое словие перегиба). Если кривая

Замечание1. Необходимое словие перегиба не является достаточным.

Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Т3. (Первое достаточное словие перегиба). Пусть

Т4. (Второе словие перегиба). Если

4.

*1. Первообразная от функции

T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(

*2. Неопределенным интегралом от данной функции F¢(

5.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению:
2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
3. НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:

Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть ò

6.

Метод замены переменных.

1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция F(t=F¢(x_=j(t)=òx_=j(t).

Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде

2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(

1. dx=d(x+b), где b=const;
2. dx=1/ad(ax), a¹0;
3. dx=1/ad(ax+b), a¹0;
4. ф¢(х)dx<=dф(
5. xdx=1/2 d(x²+b);
6. sinxdx=d(-cosx);
7. cosxdx=d(sinx);

Интегрирование по частям: ò

7.

Интегрирование по частям: ò

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

Первый интеграл табличного вида: òduk:

Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где 2/4>0

Ц рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(i, B_i, C_i - постоянные, именно: каждому множителю (k в представлении знаменателя Q( каждому множителю (2+

t соответствует сумма Q(

Правила интегрирования рациональных дробей:

1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

I.                    1 Интеграл вида:

2           R(

3           R(

4           R(

II.                  1

2           Оба показателя степени 2x<=1/2(1-2x<=1/2(1+

.               òmxdx и òmxdx, где 2x<=2x<-1 или 2x<=2x Ц1.

IV.                òmxsecⁿxdx и òmxcosecⁿxdx, где 2x<=1+2x или 2x<=1+2x.

V.                  ò

9.

Интегрирование иррациональных функций:

I.                    1 òR(, ,Е)dx, k, dx=kt^kЦ1dt

2           òR(x,

II.                  1 Вынести 1/Ö

2          

3           Разбить на два интеграла.

4          

.               1

2          

3          

а 1)

S, где n<=S; 3)

-ⁿ+S и где

10.

Определенный интеграл:

1)       интервал [0<1<Е<n_Ц1<n<=

2)       Значение функции I) в какой нибудь точке iÎ[iЦi_Ц1] множается на длину этого интервала iЦi_Ц1, т.е. составляется произведение i)(iЦi_Ц1);

3)       , где iЦi_Ц1=Di;

I<=Ц этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы апри стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое словие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция