Скачайте в формате документа WORD

Гамма функции

1. Бэта-функции 6

Бэта - функции определяются интегралом Эйлера первого рода:


(1.1)


сходятся при


а<=


т.e. аргумент аи авходят в асиметрично. Принимая во внимание тождество



по формуле интегрирования почестям имеем


Откуда


(1.2)


7

При целом

Получим


(1.3)


при целых <= <=

но B(1,1) = 1,следовательно:


Положим в (1.1) а.Так как график функции



8

и в результате подстановки


полагая в(1.1) ,откуда


(1.4)


разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до аи применение ко второму интегралу подстановки








2. Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода


G( (2.1)


сходящийся при а0.Положим

G(


и после замены аи


Умножая это равенство и интегрируя по , имеем:



или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования,получаем:



10

откуд

(2.2)


заменяя в (2,1) ,на аи интегрируем по частям



получаем рекурентною формулу


(2.3)

так как



но при целом аимеем


(2.4)


то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При


3. Производная гамма функции 11

Интеграл


а

сходится при каждом апри

В области аи можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях аявляется и весь интеграл атак как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любомагде апроизвольно.Действительно для всех казаных значений аходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при функцияанепрерывна при аи

12

сходится равномерно на каждом сегменте а, а. Выберем числоатак, чтобы апри атакое, что аи анаасправедливо неравенство


и так как интеграл асходится, то интеграл асходится равномерно относительно ана асуществует такое число авыполняется неравенство аи всех аполучим а в силу признака сравнения следует, что интеграл асходится равномерно относительно ана



в котором подынтегральная функция непрерывна в области

а аинтеграл



13

сходится равномерно, а, следовательно, г функция бесконечно дифференцируема при любом аи справедливо равенство


Относительно интеграла



По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при



Изучим теперь поведение

Из выражения для второй производной адля всех авозрастает. Поскольку [1,2]производная апри аиапри а Монотонно убывает на а аиз формулы а апри


14

Равенство

Положим дляаиз (-1,0). Получаем, что так продолженная функция апринимает на (-1,0) отрицательные значения и при функция

Определив таким образом а той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением аокажется функция, принимающая положительные значения и такая, что аи

Отметим еще раз, что интеграл



определяет Г-функцию только при положительных значениях





15

(рис.1)








4. Вычисление некоторых интегралов. 16

Формула Стирлинга

а Применим гамма функцию к вычислению интеграла:


где



и на основании (2.2) имеем


(3.1)


В интеграле



Где



17

Интеграл

Где


=


где

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)



связанные неравенством


Разлагая,ав ряд имеем


18


Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение

(3.2)


Непрерывна на интервале (-1,адоапри изменении от доаи обращаются в 0а при


то


И так производная непрерывна и положительна во всем интервале


19


Из предыдущего следует, что существует обратная функция, аопределенная на интервале анепрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при

(3.3)


Формулу Стирлинга выведем из равенства



полагая



Положим далее апри а.Замечая что(см.3.2)



20

имеем


,

полагая на конец,



или



в пределе при



откуда вытекает формула Стирлинга



которую можно взять в виде


21

(3.4)


где а,при

для достаточно больших аполагают


(3.5)


вычисление же производится при помощи логарифмов



если ацелое положительное число, то аи (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях


приведем без вывода более точную формулу



где в скобках стоит не сходящийся ряд.




5. Примеры вычисления интегралов 22

Для вычисления необходимы формулы:


Г(


Вычислить интегралы


а




23













Мнстерство освти науки крани

Запорзький державний нверситет


ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ

Зав. каф. Математичного аналзу

д. т. н. проф. С.Ф. Шишканова

2002р.


ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ


ГАМА ФУНКЦ

п


Розробив

Ст..гр.. 8221-2

Садигов Р.А.


Кервник

Ст. викладач

Кудря В.

.


Запоржжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу..............................................................2

Реферат................................................................................................4

введение...............................................................................................5

1.     Бета функции..............6

2.     Гамма функции..........................................................................9

3.     Производная гамм функции.................................................11

4.     Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16

5.     Примеры вычеслений...............................................................22

вывод..................................................................................................24

Список литературы..............25










Реферат


Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова:

ГАММ И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.











Введение


Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралома Эйлера первого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:








Вывод

Гамма функции являются добным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.












Список литературы

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,Московский ниверситет,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,Высшая школа,1965