Скачайте в формате документа WORD

Комплексные числа

Средняя общеобразовательная школа №1а 11 класс


















Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их потребления, они получают более и более широкое распространение Ф. Клейн.






Учитель: Моторина Дина Юрьевна


Дубна, 2002

План:


1. Введение 2

2. История возникновения комплексных чисел 3

) Развитие понятия о числе 3

б) На пути к комплексным числам 4

в) тверждение комплексных чисел в математике 5-6

3. Комплексные числа и их свойств 7

) Понятие комплексного числ 7

б) Геометрическое изображение комплексных чисел 8-9

в) Тригонометрическая форма комплексного числ 9

4. Действия с комплексными числами 10

) сложение 11

б) вычитание 11

в) множение 10-11

г) деление 11

5. Решение равнений с комплексными переменными 12-13

6. Приложение 14

7. Заключение 15

8. Список литературы 15









Введение


Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным равнениям с отрицательныма дискриминантом. Эти равнения не имеюта решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения казанных равнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 - 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами, действиями над ними, также с решением уравнений с комплексным переменным.











История возникновения комплексных чисел

1. Развитие понятия о числе


Древнегреческие математики считали настоящими только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В < веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в < веке древнегреческий математик Диофант, знавший же правила действия над ними, в VII веке эти числа же подробно изучили индийские ченые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. же в V веке было становлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .


2. На пути к комплексным числам


В XVI веке в связи с изучением кубических равнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических равнений вида акубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда равнение имеет один действительный корень (аа1=1 2,3 =XV и XIX веков доказал, что буквенное равнение пятой степени анельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее равнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. а Тем не менее, всякое равнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа)

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида ,

3. тверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными, считал их бесполезными и старался их не потреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но же в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были становлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, в 1 году один из крупнейших математиков XV века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова а(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее потребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числ так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XV веков была построена общая теория корней (подробнее смотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : а которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число . Можно находить

В конце XV века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных равнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XV века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ченый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств Л. Карно.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими Умнимыми единицами. Такую систему вида а (переместительности): например,

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ченые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к пругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.


Комплексные числа и их свойства

1. О комплексных числах


В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действительные числа, i - число нового рода, называемое мнимой единицей. Мнимые числа составляют частный вид комплексных чисел (когда = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число

a +

2= -1. (1)

Долгое время не давалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: мнимая единица, мнимое число и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, становлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, совместно с ними.

Действительное число а записывается также в виде

Примеры. Запись 3 + 0

Комплексное число вида 0 +

2 + 5

2. Геометрическое изображение комплексных чисел


а Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рис.2, где точка K изображает число 5. Это число можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но и направление.

Каждая точка С числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на Учисловой прямой. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число

Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид

Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L - чисто мнимое число 3

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и АТ на рис. 2 изображают сопряжённые числ 3 +5

Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число

Замечание. Давая какому - либо отрезку наименование вектор, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.


бсцисса и ордината

r - длина вектора (

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.


















Действия с комплексными числами

Определение:а Суммой комплексных чисел

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, они являются действительными числами, для которыха справедливы казанные законы.


2. Вычитание комплексных чисел.


Определение. Разностью комплексных чисел

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

3. множение комплексных чисел.

Определение. Произведением комплексных чисел

(aaТ - bbТ) + (abТ + baТ)i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, затем положить, что 2/sup> = -1.

Пример 1. (1 - 2i)(3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i 2 /sup> = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.

Пример 2. (a + bi)(a - bi) = a2 <+ b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для множения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, также распределительный закона множения по отношению к сложению.

4. Деление комплексных чисел.

В соответствии с определением деления действительных чисел станавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и множив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (


Пример 1. Найти частное (7 - 4

Записав дробь (7 - 4

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 Ц4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)( -3 + 4i)) = (-14 Ц23i)/25 = -0,56 - 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на














Решение уравнений с комплексными переменными


Рассмотрим сначала простейшее квадратное равнение 2 =

1) имеет один корень

2) имеет два действительных корня 1,2 =  , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это равнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения 2 =

1) = -1;а 2) а = -25;а 3) = -3.

1) 2 = -1. Так как 2 = -1, то это равнение можно записать в виде 2 = 2, или 2 - 2  = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (1 = 2 = -1,2 =

2) 2 = -25. учитывая, что 2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = (-1)25, а

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ:

z 1,2 =  

3) z2 = -3, z2 = i2(2, z2 - (2i2 = 0, (z -  

Ответ: 1,2 =  .

/p>

Вообще уравнение 2 = 1,2= i.

Используя равенство 2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так:

Итак, аопределен для любого действительного числа (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное равнение 2 + а  0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2  а.

Задача 2. Решить равнение 2-41,2 = а<= 2

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: 1=2+32=2-31+2=(2+31z2=(2+3

Число 4 - это 2-й коэффициент равнения 2-41 и 2а <- корни равнения  2+1+2 = а 1z2 =

Задача 3. Составить приведенное квадратное равнение с действительными коэффициентами, имеющие корень 1=-1-2

Второй корень 2 равнения является числом, сопряженным с данным корнем 1, ато есть 2=-1+2

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ 2-2


Приложение.


В качестве приложения я хочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы глов (

Формула:

где 2 = -1

Пример:

cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq)3 = cos3 q + 3i cos2 q * sinq + 3i2 * cosq * sin2 q + i3 sin3 q = 3 q - 3cosq * sin2 q + i*(3cos2 q * sinq - sin3 q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q = cos3 q - 3cosq * sin2 q

sin3q = 3cos2 q * sinq - sin3 q

Таким же образом можно значительно простить




















Заключение *


Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Основные элементы чения о комплексных числах рассмотрены мною в данном реферате.


* примечание:

комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.


Список литературы.

.П. Савин Энциклопедический словарь юного математика

М.Я. Выгодский Справочник по элементарной математике

И.С. Петраков Математические кружки в 8-10 классах

М.И. Сканави Сборник задач по математике (геометрия)Ф