Лемма 3.1. Пусть а<- вещественное решение равненния (2.1) при , где аи авещественны и непренрывны. Пусть функция и (t) имеет в точности анулей апри . Предположим, что а<- непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и а. Тогда и апри а.

Доказательство. Заметим, что в той точке , производная ав силу (2.43). Следовательно, функция авозрастает в окрестности точек, где адля некоторого целого аи , то апри , а также что если , то апри . Тем самым лемма доканзана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два равннения

а

где функции авещественны и непрерывны на интервале J. и

. (3.2)

В этом случае равнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а равнение (3.1)<-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3₂)

или

аи (3.3₁)

выполняются в некоторой точке , то равнение (3.3₂) назынвается строгой мажорантой Штурма для (3.3₁) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты равнения анепрерывны на интервале J: , и пусть равнение (3.3₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁). Предположим, что функция аявляется решением равнения (3.1₁) и имеет точно анулей апри а, функция аудовлетворяет равненнию (3.1₂) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неранвенства (3.4) при аполагается равным , если а(соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда аимеет при апаимеет по крайней мере , если при ав (3.4) имеет место строгое неравенство или если равнение (3.1 г) является стронгой мажорантой Штурма для (3.1₁) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при апару непрерывных функций ас помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

а (3.6_j)

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными словиями. Из (3.2) следует, что апри аи всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие.4.2 означают, что

адля В частности, из аследует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим внанчале, что при ав (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через арешение равнения (3.6₂), довлетворяющее начальному словию , так что . Поскольку решение равнения (3.6₂) однозначно определяется начальными условиями, апри . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что апотому . Следовательно, аимеет .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равеннство, но в некоторой точке из авыполняется либо (3.3₁), либо (3.3₂). Запишем (3.6₂) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из же рассмотреого случая следует, что апри .Поэтому аи при . Так как атолько в нулях функции , то отсюда следует, что апри аи .

Следовательно, если апри некотором , т. е. . Если (3.3₁) не выполняется ни при каком , то при некотором 2), и потому (3.3₂) справедливо на неконтором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть равннение (3.1₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁) на интервале J, и пусть а<- вещественные решения равнений, (3.3_j). Пусть аобращается в нуль в двух точкаха аинтернвала J. Тогда аимеет по крайней мере один нуль на . В частности, если аи вещественные линейно независимые решения равнения а(3.1₁) (3.1₂). То нули функции аразделяют нули функции аи разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций аи ане имеют на J предельных точек. Кроме того, , ане могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения равннения (3.1₁) единственны, , где а(так что аи ане являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда

1(t)º

2(t)>0, q₂(t)³1(t).)

Предположим, что 1(t)>0 при 1<t₂<t₃ и утверждение неверно: например, 2(t)>0 при 1£ t£2. множая (

1(t)u¢)¢<+q₁(t)u=0, где 1, на 2, (

2(t)u¢)¢<+q₂(t)u=0, где 2, на 1, вычитая и интегрируя по [t_1,t₂], получаем:

p(t)(u₁¢2-u₁u₂¢)³0, при 1£2, где

1=p₂. Это означает, что (1/u₂)¢³0; поэтому 1/u₂>0 при t₁<t£2, т.е. получается, что 1(t₂)>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁(t)u¢)¢<+q₁(t)u=0, u=u₁

(p₁(t)u₁¢)¢<+q₁(t)u₁=0.

Умножим левую часть равенства на 2, получим:

u₂(p₁(t)u₁¢)¢<+q₁(t)u₁u₂=0.

Во втором равнении проделаем соответствующие операции:

(p₂(t)u¢)¢<+q₂(t)u=0, u₂=u

(p₂(t)u₂¢)¢<+q₂(t)u₂=0.

Умножим левую часть равенства на 1, получим:

u₁(p₂(t)u₂¢)¢<+q₂(t)u₁u₂=0.

Вычитаем из первого равнения второе, получим:

u₂(p₁u₁¢)¢<+q₁u₁u₂-u₁(p₂u₂¢)¢<-q₂u₁u₂=0,

1=p₂

u₂(pu₁¢)¢<+q₁u₁u₂-u₁(pu₂¢)¢<-q₂u₁u₂=0

(u₂(pu₁¢)¢<-u₁(pu₂¢)¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Упростим это равнение,

u₂(p¢1¢<+pu₁¢¢)-u₁(p¢2¢<+pu₂¢¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Раскроем скобки, получим:

p¢1¢2+ pu₁¢¢2- p¢1u₂¢<-pu₁u₂¢¢<+u₁u₂(q₁-q₂)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁¢2-u₁u₂¢))¢<+u₁u₂(q₁-q₂)=0

(p(u₁¢2-u₁u₂¢))¢<-u₁u₂(q₂-q₁)=0

(p(u₁¢2-u₁u₂¢))¢<=u₁u₂(q₂-q₁)=0.

Проинтегрируем это равнение по [t₁,t], получим:

[p(u₁¢2-u₂¢1)]¢dt = 1u₂(q₂-q₁)dt, где

u₁u₂>0, q₂-q₁³0. Значит

1¢2-u₁u₂¢)³0.

Т.о. (1/u₂)¢³0 Þ u₁/u₂>0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения 2u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при и эти решения имеют бесконечно много нулей при В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки

Решение: в з1 было рассмотрено пражнение 1.1 с), где показали, что функция l является решением равнения 2u=0 тогда и только тогда, когда <

Если 1 и 2 - комплексные, т.е.

u=t^1/2[cos (1+c₂sin(

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁=sinu,c₂=cosu,

то получим:

u= t^1/2[sin u cos (

t^1/2 [sin (u+

Если

u<=с₁t^1/2+ <+c₂t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если

u=c₁t^1/2+c₂t^1/2ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим равнение Бесселя:

v¢¢<+v¢2/t²)v=0, (3.10)

где 1/2/v переводит уравнение (3.10) в равнение:

u¢¢<+(1-2)u=0, где 2-1/4 (3.11)

Проверим истинность этого тверждения 1/2v, следовательно:

v=u/t^1/2=ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v¢<=(ut^-1/2) ¢<=u¢-1/2+u(t^-1/2)¢<=u¢-1/2-1/2ut^-3/2.

Теперь вторую производную:

v¢¢<=(u¢1/2) ¢<-1/2(ut^-3/2) ¢<=u¢¢-1/2 +u¢(t^-1/2) ¢<-1/2(u¢-3/2+u(t^-3/2) ¢)=

=u¢¢-1/2 Ц1/2u¢-3/2-1/2u¢-3/2+3/4uut^-5/2=

=u¢¢-1/2-u¢-3/2+3/4ut^-5/2.

Подставляя в равнение (3.10), получим:

v¢¢<+v¢2/t²)v=0.

u¢¢-1/2-u¢-3/2+3/4ut^-5/2+1/t(u¢-1/2-1/2ut^-3/2)+(1-2/t²)ut^-1/2=0

t^-1/2(u¢¢<-u¢-1+3/4ut^-2+u¢-1-1/2ut^-2+u(1-2/t²))=0

u¢¢<+1/4ut^-2+u(1-2/t²)=0

u¢¢<+u-2u/t²+1/4ut^-2=0

u¢¢<+u-(2u-1/4u)/t²=0

u¢¢<+u-((2-1/4)u)/t²=0

u¢¢<+u-2=0

u¢¢<+(1-2)u=0, где 2-1/4.

Покажем, что нули вещественного решения 1<t₂<Е, что n-t_n-1о

Так как в равнении

u¢¢<+(1-2)u=0, т.е. равнение

u¢¢<+(1-(2-1/4)/t²)u=0

m - постоянное число, то при

1-(2-1/4)/t²о1, т.е. если равнение

u¢¢<+(1-(2-1/4)/t²)u=0

сравнить с равнением n-t_n-1о

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполннены словия первой части теоремы 3.1 и функция аимеет точно . Тогда соотношение (3.4) выполняется при а[где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при аполагается равным , если (соответственно,)]. Кроме того, при ав (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены словия последней части теоремы 3.1.

Доказательство этого тверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции авытекает последнее неравенство в слендующей цепочке: 3.1 дает неравенство

Использованная литература:

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные равнения: учебн. пособие.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных равнений. Гос.изд. Технико-теор. литер.Ф<-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия.

4. Г.Вилейтнер. История математики от Декарта до середины 19-го столетия.Ф М., изд. Наука.Ф, 1966г. - 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия.