(b-a)/n = R
x0 = a; y0 =
f(x0)
x1=a+h; y1=f(x1)
--------; ---------
xi=a+ih
xn=b=a+nh; yn=f(xn)
Si = (yi-1
+ yi)/2 ∙h
S=S1+S2+ЕSn
= h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2Е+yn-1]
a∫b f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2
+ y1+y2Е+yn-1]
№15
y=αx2+βx+γ
yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ
= α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ
yi=αxi2+βxi+γ;
yi-1 = αxi2- 2αhxi + 2h2
+βxi - βh +γ
yi+1 = α(xi+h)2+
β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi
+2h2 + βxi + βh +γ
yi+1+ yi-1
= 2 αx2i + 2αh2 +
2βxi + 2γ
yi+1+ yi-1
= 2yi = 2αh2
α = (yi+1+ yi-1
Ц 2yi)/ 2h2
Si = xi-1∫xi+1(αx2+βx+γ)dx
= (αx3/3 + βx2/2 + γx) | xi+1xi-1
= α∙[(xi+h)3 - (xi-h)3]/3
+ β∙[(xi+h)2 - (xi-h)2]/2
+ γ∙[(xi+h) - (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih
+ 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2
+ 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi
+ 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1Ц 2yi)/
2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3
Si = ( i+1+ 4i + i-1)/3∙
№16
S=a∫b
(f1(x) - f2(x))dx
S2
= - a∫b f2(x)dx
S = a∫b(f1(x)
Ц f2(x))dx
№17
y = f(x)
{x=φ(t)
{y=Ψ(t)
α ≤ t ≤ β
cos2φ + sin2φ
= 1
{x=a∙cosφ
{y=a∙sinφ
0 ≤ φ ≤
2π
S = 0∫a
ydx = н - π/2∫0 sin2φdφ =
a2 0∫π/2 sin2φdφ
= a2 0∫π/2 (1-cos2φ)/2 dφ
= a2π/4
S = α ∫β
№18
l - вектор, ρ - длина вектора ОМ
{
{
ρ
= √(2 +2)
tgφ =
ρ
= ρ(φ) - в полярн. сис. коорд.
ρ(φ) ρ(φ +dφ)
ds = ρ2/2 dφ
α ∫β ds = S = ½ α ∫βρ2dφ
S = ½ α ∫βρ2dφ
№19
В дугу АВ вписали ломаную.
Mi (i, i)
yi =
i)
(если р-е кривой
| Mi-1а Mi | = √[(xi - xi-1)2
+ (yi - yi-1)2]
l лом = Σn i=1 √[(i - i-1)2
+ (i - i-1)2]
Ц длина ломаной линии.
Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать
При оч. мал. ∆х: dl = √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(x)2 + (dx)2] =√ [1+(x)2] dx
l дуги ab = a∫b √ [1+(x)2] dx - формула д/вычисл. длины дуги.
№20
{
{
dx = φТ(
dy = ΨТ(
l дуги ab = α ∫β √ [ (φТ(2
+ (ΨТ(2] dt
№21
{
{
dx = (ρТ
dy = (ρТ
(dx)2 = (ρТ22φ Ц
2ρТρ22φ)
(dy)2 = (ρТ22φ +
2ρТρ22φ)
dl =
√[(ρТ)2 + ρ2] dφ
l = α ∫β √[(ρТ)2 + ρ2]
dφ
№22
I Вокруг х
a) {
<{x = a, x = b
<{y = 0
Vx = π a∫b 2(
б) Час. случай
Vx = π a∫b 2(a∫b 2(a∫b [2(2(
II Вокруг
a)
Vy
= π c∫d g2(y)dy
б) Час. Случай
Vy = π c∫d 2(c∫d 2(c∫d [2(2(
№23
Опред-е: числ. ряд - сумма беск. числа слаг-ыха 1+2+Е+n =
Σ∞n=1 n (1), каж. из кот. - опред.
число.
un = 2+1)
Последов-ть частичных сумм:
S1 = u1
S2 = u1+u2
S3 = u1+u2+u3
----------------
Sn = u1+u2+Е+un
Σ∞n=1
un = Sn + Σ∞k=n+1 uk =
Sn + rn, rn - n-й остаток ряда
Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен
S = n
Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет
Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о,
чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы n = 0
Теорема (необх. сл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то n = 0.
Следствие из теор.2: если
№24
Основ. св-ва сход. рядов:
1)
Если члены сход-ся ряда множ. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход.
ряда, т.е. Σ∞n=1 n = S; Σ∞n=1
λ∙n = λ∙S
2)
Если ряд 1
сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него брать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.
3)
Если ряд с членами n сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 n = S и ряд с членами
n сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 n = σ, то ряд с чл. (n + n)
сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 (n + n) = S<+ σ
Σ∞n=11/
№25
Признак Даламбера: Пусть дан ряд Σ∞n=1 n, если n+1/n =
{
{
{
Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. n = 1∫∞
Σ∞n=11/ ∞n=11/ α - обобщ. гарм. ряд.
f(α
1∫∞ dxα = 1∫A dxα = -α+1] |A1 = -α+1] = -α+1]
Если
α>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, ряд сход-ся.
Если
α≤1, А-
№26
Σ∞n=1 (-1)n+1un = 1-2+3- 4+Е, причем n ≥0
Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я
n+1< n
и
n = 0, то дан. ряд сход-ся.
Док-во:
Найдем
2n частичную сумму ряда:
S2n = (1Ц2) + (3-4) +Е+(2n-1-2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм - возраст-я = 1Ц(2Ц 3) + (4Ц 5)-Е-( 2n-2-2n-1) - 2n< 1
имеем послед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет
Рассмотрим нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + 2n+1
lim (n→∞) S2n+1
= lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1
= S
Чтд.
Σ∞n=1 (-1)n/
un = 1/n, un+1
= 1/(n+1)
un > un+1
lim (n→∞) un
= lim (n→∞) 1/n = 0
№27
(1) Σ∞n=1 n - числа
(2) Σ∞n=1 |n<| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1)
Обозначим ч/з Sn n - 2-го ряда.
|Sn<| = | Σnk=1 k<| ≤ Σnk=1|k<| = σn
|Sn<|≤ σn
Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют.
знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2), то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом.
Если же ряд 1 сход-ся, ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся словно сход-ся рядрм.
№28
Ряды можно составлять и из ф-ий - функц-е ряды: Σ∞k=1 k(
Выберем нек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.
f1(0)+ 2(0)+Е+ n(0)+Е= S(х0)
Ч/з
S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти,
кот. наз-ся суммой эт. ряда.
Степенным рядом наз-ся Σ∞n=0 Сn(х-х0)n (1)
Числа Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0
наз-ся центром степ. ряда.
В
(∙)х=х0 степ. ряд сход-ся.
Теорема Абеля: твержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, то он сход-ся в люб. (∙)х, довл-ей нерав-ву |х-х0|<|х1-х0|.
утвержд.2:
если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб.
(∙)х, довл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|.
Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х0 (х0
Ц R, х0 + R), число R<-0 до (∙), где ряд сх-ся - радиус сход-ти степ. ряда.
R = n<|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти.
№29
Св-ва степ. рядов:
1)
В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.
2)
В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.
3)
Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии, кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.
Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(
Σ∞n=0 Cn 0)n-1 = SТ(
4)
Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.
Σ∞n=0 ∫Cn (х-х0)n dx = ∫S(
Σ∞n=0 Cn0)n+1 = ∫S(
№30
R может = люб. числу от 0 до +∞.
Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(
(х0
Ц R, х0 + R) - интерв.
S(х0) = С0
С1
+ С2 (х-х0) +С3(х-х0)2
+Е= SТ(1=
SТ(х0)
С2
+ 3∙С3 (х-х0) +4∙С4(х-х0)2
+Е= SФ(x);
С2= SФ(х0)/2
Сn
= S(n)(х0)/n!
S(х) = Σ∞n=0 S(n)(х0)/0)n - ряд Тейлора д/ф-ии S(х)
№31
Опред-е: диф-м р-м наз-ся р-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии.
Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => р-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => р-е в частных производных.
FТ(
G((n))=0 - общая запись обык. диф. р-я
Опред-е: решением диф-го р-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в р-е превращ. его в тождество.
у+
y<=
Задача о нахождении реш-я диф. р-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. р-я. График реш-я диф. р-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных
№32
Опред-е: диф. р-е 1-го порядка наз-ся диф. р-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след.
видов:
(*) dy/dx = f(x)g(y);
dy/g(y) = f(x)dx
(**) M(x)N(y)dx +
P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y)
(*)а ∫dy/g(y) = ∫f(x)dy
(**) а∫M(x)dx/P(x) = -∫Q(y)dy/N(y)
№33
Опред-е: диф. р-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде:
Ф-ия
k
Пример:
yТ = (
yТ = 1+2
Пусть
y =
