Общая характеристика аксиоматики Гильберта

В самом деле, если допустить противное, то проходящая через них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через точки В и С. Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит словию. Итак, точки А, В и С не лежат на одной прямой, потому через них проходит единственная плоскость (аксиома 1₄ и 1₅). Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит через прямую (аксиома 1₆). Итак, плоскость пронходит через прямую и точку А.

Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, прохондит одна и только одна плоскость.

Доказательство:

Пусть и Ь - две прямые с общей точкой С. На прямой Ь сунществует по меньшей мере ещё одна точка В, отличная от С (аксиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае прямые и Ь, имея общие точки В и С, совпадали бы в силу аксиом Ii<_2. На основании теоремы 3.4 через прямую и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Эта плоскость проходит через точки С и В, следовательно, и через прямую Ь (аксиома 1_6/).

По аксиоме I₄ на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости трёх точек.

Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство:

Пусть дана плоскость M. По аксиоме I₄ на плоскости существует точка А. По аксиоме I₃ существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат на плоскости M, то теорема доказана. Если С не лежит, В лежит на плоскости M, то найдена вторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости V (аксиомы I₄_₅). Плоскость, имея с плоскостью общую точку A, имеет с ней ещё одну общую точку D (аксиома 1₇). Остаётся доканзать существование ещё одной точки на плоскости а.

По аксиоме I₈ существует точка М, не лежащая в плоскости V.

Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежит в плоскости аV (6), точка М не лежит в этой плоснкости. Если точка М лежит на плоскости M, то теорема доказана. Если точка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, B и М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоснкость I (аксиомы 1₄-₈), имеющая с плоскостью одну общую точку А. По аксиоме 1₇ плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, D и F плоскости M не лежат на одной прянмой. Действительно, если бы A, D и F принадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки A и D плоскости I.3, эта прямая по аксиоме I₆ лежала бы в плоскости V, проходя через точки A и F, ока принадлежала бы плоскости у, т. е. эта прямая была бы общей прямой плоскостей V и M. Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и адол

Как впоследствии будет доказано, при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами порядка, то это окажется возможным.

з 4. ГРУППА II АКСИОМЫ ПОРЯДКА

В аксиомах второй группы описываются основные свойства неопределяемого понятия лежать м е ж д у, выражающего некоторое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного содержания и наглядного представления мы с термином ллежать между не связываем.

II₁. Если точка В лежит между точкой A и точкой С, то A,В,С Ч различные точки одной прямой и В лежит также между С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, даётся условно (лесли...). В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.

II ₂. Если A и В - две точки, то на прямой в всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.

II ₃. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

Эта аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между A и С, A лежала между В и С и С лежала между A и В. Может иметь место не более одного из казанных положений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не говорится и будет впоследствии доказано.

Заметим, что аксиома II₃ означает незамкнутость прямой. Если точки A, В и С лежат, например, на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.

Определение. Система двух точек прямой A и В называется отрезком AB или ВA; точки A и В называются концами отрезка; точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют), называются точками отрезка АВ или внутренними точками отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются в н е шн нимии точками к отрезку АВ.

Заметим, что аксиомы II.1-3 не тверждаюта существования

внутренних точек отрезка, но из аксиомы П₂ вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.

ксиомы <.1-3 называются линейными аксиомами порядка;

следующая аксиом является плоскостной.

П₄. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С - т р и т о ч к и, не лежащие на одной прямой, и - прянмая в плоскости ABC, н е п р о х о д я щ я ни ченрез одну из то ч е к А, В, С. Тогда если прямая проход и через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку одного и только одного из двух других отрезков, АС или ВС).

Напомним, что в Началах Евклида совершенно отсутствуют аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта. Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся становлением существования бесконечного множества точек на отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт принимается без доказательства.

Теорема 4. 2. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит "между двумя другими.

Доказательство:

Пусть A, В, С Ч точки одной прямой, причём А не лежит между В и С и С не лежит между A и В. Докажем, что обязательно В лежит между A и С. По аксиоме I₃ существует точка D, не ленжащая на прямой АС (черт 102). По аксиноме П₂ на прямой BD существует такая точка G, что D лежит между В.и G. По аксиоме Паша П₄, применённой к точкам В, С, G и прямой AD, последняя перенсекает отрезок GC в точке Е, лежащей мгжду G и С. Аналогично докажем, что прямая "CD пересекает отрезок AG в точнке F. Применяя аксиому П₄ к точкам Л, G, Е и прямой CF, убедимся, что точка D лежит между А и Е. Наконец, применяя аксиому П₄ к А, Е, С и прямой BG, докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы П₃ теорема 4.2 полностью доказана.

Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два полупространства

Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений, которые в школьном преподавании всегда считаются само собой разумеющимися,Ч предложений о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости и пространства на два полупространства. Введём следующую терминологию.

Определение. Пусть А, В, О - три точки прямой. Если О ленжит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой по разные стороны от О, если О не лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой с одной стороны от точки О.

Теорема 4.6. Каждая точка О прямой делит все остальные точнки этой прямой на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О, любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.

Доказательство этой теоремы является простым, но громозднким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной прямой произвольную точку A, отличную от О, и разобьём все точки прямой на два класса: к первому классу отнесём точку A и все те точки, каждая из которых лежит вместе с A по одну сторону от О, ко второму классу - все те точки, из которых каждая ленжит с точкой A по разные стороны от О. Далее доказываем, что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3 и 4.4, доказываем, что если В и Са точки одного и того же класса, то точка О не лежит между В и С, если же точки В и С принадлежат разным классам, то О лежит между В и С.

Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.

Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по одну и ту же сторону от точки О, т. е, принадлежащих к одному классу, называется лучом или полупрямой, исходящей из точки О, называемой началом или вершиной луча.

Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая точнка прямой делит её на два луча.

Определение. Пусть в плоскости к дана прямая и две точки А и В, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от а; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4. 7. Каждая прямая в плоскости делит все точки этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным класнсам,, лежат по разные стороны от а.

Доказательство:

Пусть А точка плоскости а, не лежащая на прямой а. Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на два класса. К первому, классу отнесём точку А и все те точки,

которые вместе с А лежат по одну сторону от а. Ко второму классу отнесём все те точки, которые с точкой А лежат по разные стороны от а.

Каждая точка плоскости а, не принадлежащая а, попадает в один и тольнко один из указанных классов, ибо какова бы ни была точка В плоскости а, возможны лишь два случая: либо отрезок АВ пересечёт прямую а, либо не пересечёт.

Покажем, что любые две точки одного класса лежат с одной стороны от а.

Пусть В и В'Чдве произвольные точки первого класса (черт. 104), т. е. отрезки А В и АВ' не пересекают а. Если точки А, В, В' не лежат на одной прямой, то отрезок ВВ' не пересекает а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по аксиоме П₄, что прямая пересекает один из отрезков: АВ или АВ', что противоречит словию.

Если точки А, В, В' лежат на одной прямой /, то возможны лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если / пересекает в некоторой точке S, то точки А и В, также А и В' лежат с одной стороны от 5, потому и точки В и В' лежат с одной стороны от S, т. е. отрезок ВВ' не пересекает а, значит, В и В' лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то и отрезок ВВ' не пересекает а, и снова точки В и В' лежат с одной стороны от а.

Пусть теперь С и С' - точки второго класса. Докажем, что они также лежат с одной стороны от а.

Если A, С, С' не лежат на одной прямой, то прямая а, пересекая отрезки АС и АС', по аксиоме П₄ не может пересечь отрезок СС'.

Если А, С, С' лежат на одной прямой /, то эта прямая пересенкает в некоторой точке S, причём S лежит между A и С, также между А и С', т. е. А и С, также Л и С' лежат на / по разнные стороны от S, поэтому по теореме 4.6 точки С и С' лежат по одну сторону от S и, следовательно, отрезок СС' не пересекает а.

Пусть, наконец, В - точка первого класса, С - второго класса, Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, отрезок АС пересекает а. Докажем, что В и С лежат по разные стороны от а.

Если А, В, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П₄ прямая пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС, но не пересекает отрезка АВ.

Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, точки A и С - по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С ленжат по разные стороны от S, т. е. отрезок ВС пересекает а, это значит, что В и С лежат по разные стороны от а.

, Каждый из двух рассмотренных классов точек называется

п о луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Сформулируем ещё аналогичную теорему для пространства.

Определение. Пусть - некоторая плоскость и точки Л и В не лежат в плоскости а. Если отрезок AВ не пересекает а, то говорят, что точки A и В лежат по одну сторону от плоскости а, если отрезок AВ пересекает а, говорят, что точки A и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4.8. Каждая плоскость а. разделяет все точки пронстранства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две точки А и В одного и того же класса лежат по одну сторону от а, любые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.

Таким образом, каждая плоскость разделяет пространство на две области, называемые полупространствами.

Определение. П p л у ч е й

Точк О аназывается вершиной гла, лучи

Определение. Пусть дан гол (

называются внутренними точками гла (

парно не имеющие общих точек, это внутренние области глов (

(

Сформулируем без доказательства следующую теорему. Теорема 4. 9. Если А и В - внутренние точки гла, то отрензок А В не пересекает сторон гла и не проходит через вершину гла; если А Ч точка луча

Определение. Пусть

Теорема 4.10. Всякий луч I, проходящий внутри гла КВа ченрез его вершину О, пересекает отрезок KB; обратно, всякий луч, проходящий через вершину гла и точку отрезка KB, соединяюнщего две точки К и В, лежащие на сторонах гла, есть внутренний' луч гла КОВ.

Теорема 4. 11. Из трёх лучей

Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.

Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС, CD,..., KL с общими концами В, С,..., К называется л о м н о й, составляющие отрезки называются звеньями ломаной, начальная точка А и конечная L называются концами

ломаной. Если А и L совпадают, то ломаная называется многоугольником, причём А, В,..., L называются вершиннами многоугольника, звенья ломаной - сторонами многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в одной плоскости, то многоугольник называется плоским. Плоский многоугольник называется просты м, если: 1) все его вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри канкой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не пенресекаются.

Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107, не являются простыми.

Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.

Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области: любые две точки первой области (внутренней) всегда можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует прямой, целиком лежащей внутри этой области; любые две точки второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и существует пряная, целикои лежащая в этой области; если две точки принадлежат разньм областям, то всякая ломаная, их соединяюш₁ая, пересекает многоугольник.

з 5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ

В Началах Евклида в чении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с представлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, также предполагает рассмотрение всех промежуточных положений фигуры.

В первой главе мы же говорили о неприменимости такого понимания движения к геометрическим фигурам.

В чении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное положение фигуры.

Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.

В современном научном изложении чение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является производным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.

Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гильнберта понятие движения является производным и может быть сонвершенно исключено из геометрии, так каково используется в геонметрии только для становления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает никакого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и глами, довлетворяющее аксиомам третьей группы.

Что касается терминов лравенство или конгруэнтность, то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматриваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при рассмотрении плоских или пространственных фигур мы не можем тверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут конгруэнтны и целые фигуры*).

Итак, вводим неопределяемое понятие лконгруэнтный в принменении к отрезкам и глам, свойства которого выражаются в следующих аксиомах:

Ш.1 Если А и В - две точки прямой и А' - точка н той же или другой прямой а' , то существует на прямой а' по данную сторону от точки A<' такая точка В', что отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', что обозначается знаком АВ=А'В'. Всегда АВ <=ВА.

Короче говоря: Каждый отрезок может быть лотложен на любой прямой в ту или другую сторону от любой её точки.

Заметим, что в аксиоме П^ тверждается лишь существование точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.

Ш₂. Если АВ = А'В'а и АВ^А"В", то А'В' = А"В".

Ш₃. Пусть АВ и BC - Два отрезка прямой без общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С' Ч два отрезка прямой а' (отлично и от а' или с ней совпадающей) также без общих внутренних точек. Если

В=А'В', ВС^В'С', то АС = А'С'.

Короче: суммы соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.

Ш₄. Пусть дан гол (

Короче говоря: Каждый гол может быть однозначно отложен в' данной плоскости по данную сторону при данном луче.

Ш_.5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют место конгруэнции: АВ=А'В', AC<=A<'C<', ^ ВАС <== ^ В^Т А'С', т о ^ ABC <= ^ А'В'С',

Теоремы о конгруэнтности отрезков, глов и треугольников

Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме Ш.1, также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.

Теорема 5. 1. Точка В', о существовании которой говорится е аксиоме <₁Чединственная.

Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
AB<=BA (свойство рефлективности).
Доказательство:

По аксиоме <.3 AB<^ВA и ВA<=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ', где В'Чточка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш₂ из AВ=ВA и АВ=АВ' следует, что ВA<=AВ'. Но так как ВA<=АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.

Теорема 5.3. Если АВ=А'В', то и А'В'^АВ (свойство симнметричности).

Доказательство:

Пусть AВ=A<'В'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,

т.о аксиоме <₂ A<'В'=AВ.

Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и Д'В' конгруэнтны друг другу.

Теорема 5. 4. Если AВ=A<'В' и A<'В'=A<"В", то ДВ=A<"В". (свойство транзитивности в другой форме).

Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треугольнников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 109) AВ=A<'В', AС=A<'С', гол A<=углуA<', то AВС=A<'В'С'

Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольнников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 110)

AВ=A<'В', ^А=^А', ^В=^В', то AВС= A<'В'С'.

Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике глы при оснонвании конгруэнтны.

Доказательство:

Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и A<'В'С', причём вершины последнего соответственно совпадают с вершинами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=A<'С', ВС=В'С', ^AСВ=^А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=A<'В'С', а поэтому ^ВAС=^В'A<'С', т. е. ^ВAС=^AВС.

Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся наложением или вращением, т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгруэнтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использования понятия движения характерно и для всех прочих доказательств.

Прежде чем получить доказательство третьего признака конгруэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других теорем.

Определение. Два гла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два гла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.

Теорема 5. 9. Если гол ^ (

Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9

Теорема 5. 11, Пусть

Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треугольнников.) Если у треугольников ABC и А'В'С'

B = А'B<', АС = А'С', ВС=В'С', то

треуг.ABC <=треуг. A<'B<'C<'

Теорема 5.13. Если ^(

Теорема 5. 16. Прямой гол существует. Доказательство:

Возьмём произвольный гол (A, 4 по друнгую сторону от луча А, нежели луч

= ОВ (аксиома Ш^. По теореме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, которой принадлежит луч А. При этом возможны 3 слунчая: либо точка пересечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу

Теорема 5. 17.

Теоремы о делении отрезка и гла пополам и другие

Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:

Теорема 5. 19. Каждый гол можно разделить пополам и принтом единственным образом.

Вводя далее обычные определения биссектрисы гла, также медианы и высоты треугольника, мы можем доказать следующие теоремы:

Теорема 5.20. В равнобедренном треугольнике биссектриса гла при вершине есть медиана и высота.

Теорема 5.21. Через всякую точку плоскости проходит единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой плоскости.

Далее можно доказать теоремы.

Теорема 5.22. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются между собой.

Теорема 5.23. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответственные или внутренние накрест лежащие глы, то они не пересекаются.

Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая и не ленжащая на ней точка А, то в плоскости через точку А проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.

Сравнение отрезков и глов

Для отрезков и углов можно ввести соотношения больше и лменьше при помощи следующих определений.

Определение. Пусть даны два отрезка AВ и A<'В'. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=A<'В', то говорят, что отрезок А' В' меньше отрезка в или что отрезок AВ больше отрезка A<'В', что записывается так: A<'В'<AВ, AВ>A<'В'.

Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB<=CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ<A<'В' и А'В'<А"В", то AВ<A<"В" (свойство транзитивности).

Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:

в)а Если AВ = A<'В', CD<<C<'D<', то АВ + CD << А' B<' <+C<'D<';

г)а Если AВ>СО, то аAВ> CD.

Такими же свойствами обладают понятия большие, лменьше в применении к глам. Затем вводим понятия лострый и тупой глы.

Теорема о внешнем угле треугольника и другие

Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.

Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соотнветственно конгруэнтны двум сторонам другого, глы, заключённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то против большего из этих глов лежит и большая сторона (и обратная теорема).

Движение

Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определение.

Определение. Движением называется такое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок преобразуется в конгруэнтный отрезок.

Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь различный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.

.1 Каждую т о ч к" у пространства движенние преобразует в точку того же пространства,

.₂. Если прямая и л еж щ а я на ней точка А движением преобразуются ава прямую и точку A<', то точка А' лежит на прямой а'.

Заметим, что последовательное применение двух преобразований называется произведением этих преобразований.

₃. Совокупность всех движений образует группу, т. е.:

) Произведение двух движений есть такbr> же движение.

б) Существует движение, при котором
каждая точк преобразуется сам ва себя.
Такое движение называется тождествеым и играет роль единицы группы движений.

в) Для каждого движения существует обbr> ратное движение, произведение которого
сданным движениема адаёт тождественное
движение.

г) Про из в еден и е движений ассоциативно, т. е. довлетворяет сочетательному закону.

<₄ Если три точки A,_B, С, и з акоторых В лежит между А и С, п р и движении преобразуются в точки А', В', С', то В' л е ж и т между А' и С.

<.5 Существует одно и только одно движенние, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определённую полуплоскость относительно этого луча соответственно в другую данную точку у А', в определённый луч с вершиной в А' и в определённую полуплоскость относительно этого луча

Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок В А.

<.7 С у щ е с т в у е т движение, при котором (

.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самих себя, то каждая точка этого луча преобразуется сама в себя.

При помощи предложений Ш',-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем_£_движениях. Сформулируем некоторые из них:

1)  Каждое движ е н и е преобразует прямую
в прямую, луч в луч, гол в гол, плоскость
в плоскость, полуплоскость в полупл<-br> скость, полупространство в полупространство.

2)  Любое движение можно свести к после-br> довательному осуществлению двух част-br> ных случаев движения: сдвига и вращения
около точки, т. е. любое движение можно
рассматривать как произведение сдвига
и вращения.

3)  Задание двух конгруэнтныха тетраэдн-
ров вполне определяет движение, преоб
разующее первый тетраэдра во второй, т. е.
положение пространственной фигуры
вполне определяется четырьмя её точкаbr> ми, не лежащими в одной плоскости.

4)Заданием двух конгруэнтных треугольнника.

Определение. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует такое движение, которое преобразует первую ф и гуру во вторую.

Таким образом, мы можем резюмировать связь между понятиями конгруэнтности и движения следующим образом: при наличии аксиом Гильберта IЧII аксиомы к о нн груэнтности Гильберта <_1-5 и аксиомы движения Ш₁-₈ являются эквивалентными.

з 6. ГРУППА IV (Оа ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИМы НЕПРЕРЫВНОСТИ

Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них просветов. или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в течение всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие ненпрерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в вонпросах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизменно прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём же подробно говорилось в первой главе.

Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог понлучить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся же нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую проблему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, площадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, не на логических основаниях. В связи с последним обстоятельством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ<-

ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-

ставлениям, не получившим точной математической формулировки

в аксиомах.

Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непренрывность функции была в логическом отношении построена на песке.

Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (183Ч1916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших мозаключений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым освонбодил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геометрическим представлениям, ибо теперь свойства системы действительных чисел становились логическими следствиями общего определения действительного числа.

С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание аналитической геометрии и математического анализа (теория пределов).

Вскоре после Дедекинд понятие непрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих Основаниях геометрии выразил непрерывность прямой в виде, отличном от казанныха теорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда, /а вместо неё вводит две.аксиомы - аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности эквивалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом IЧ< групп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:

IV. Если все точки отрез к АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:

1)           каждая точк отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов,
точка Ла принадлежита первому классу,
а точка В - второму классу;

каждая точк первого класса, отличная от А, л е ж и т между A и

л ю б о й т о ч к о и в т о рого класса, т о на отрезке АВ

су щеотвует одна и только одна такая точка С, что в с я-
кая точка, лежащая между A и С, ап р и я д л е ж и т первому классу, авсякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сам точк С принадлежит либо
первому, либо второму класс у.

(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)

Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка). \

Замечания: 1) Строго говоря, требование единственности точки С является лишним, ибо может быть доказано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С_1; производящая сечение отрезка,В, и для определённости предположим, что С лежит между А и С₁ Так как Q лежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В. Пусть, теперь M - любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По теонреме 4-4 эта точка М лежит между А и С _х,

т. е. попадает в пернвый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, значит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.

2)а В словии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого
класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждая точка

второго класса, отличная от В, лежит между В
и любой точкойа первого класса.

В самом деле, пусть Y есть некоторая точка второго класса и X - любая точка первого класса. По условию аксиомы точка X ленжит между и Y, в то же время Y лежит между A и В; слендовательно, по теореме 4.4 точка Y лежит между X и В.

3) Далее, можно доказать, что ни одна
точк одного из классова не лежит между
к к о й - л ибо парой точек другого класса. Действительно, допустим, что точка Y второго класса лежит между точками Х₁ и X₂ первого класса. Тогда по словию аксионмы Х₁ лежит между A и К, К по допущению лежит между X₁ и.₂, отсюда по теореме 4.3 Y лежит между А и Х_а, т. е Х₂ не лежит между А и Y (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х₂ по условию аксиомы лежит между А и У. Полученное противоречие и доказывает требуемое.

4) Заметим, наконец, что аксиому Дедекинд можно
высказать для всей прямой, для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежащие относительно А по другую сторону, нежели Б, ко второму
классу - все точки прямой, лежащие относительно Ва по другую
сторону, нежели A.

Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения - постулат Архимеда и принцип Кантора.

IV.1. (Постулата Архимеда.)а Пусть АВ и CD Ч д в произвольных отрезка и апусть на алуче AВ ас авершиной в A взяты точки A1,A₂, A₃,..., р с п оложенные<- так, что A₁ лежит между A и A₂, т очка A2 алежит между A₁иA₃ и т. д., причём о т-езкиа AA₁, АА2, A₂A₃, ... конгруэнтны отрезу аCD. Тогд существуета такой номер п, что точк С лежит между A и A1

Если воспользоваться понятиями лменьше и больше, то постулат Архимеда можно высказать следующим образом. Каковы бы ни были отрезки аA В и CD, в с е г д м о ж н о н прямой последовательно отловить отрезока CD толькоа раз. чтобы полунденный отрезок была больше отрезк A В. Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произвендения CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:

Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что

IV.2. (Принцип вложенных отрезков Каннтора.)

Пусть на произвольной прямой дана бесконечная последовательность отрезнков A_v В_г, A₂В₂, A₃В₃,..., и з акоторых каждый понследующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой существует одна я только одна точка Z, ленжащая внутри всех отрезков А₁В_1> A₂B₂, A₃В₃,...

Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V₂ достаточно тверждать сунществование по крайней мере одной точки Z, ибо единственность этой точки может быть доказана

В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Z_l и Z₂, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В танком случае легко доказать, что все точки отрезка Z_lZ._i лежат внунтри всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок Z_XZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит словию принципа Кантора

Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта IЧ/// ц аксиомы Дедекинда
вытекает постулат Архимеда.

Теорем а6. 2. Из аксиом Гильберта IЧ/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.

Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта IЧ/// и предложения Архимеда IV.1а и Кантора IV.2 авытекаета предложение Дедекинда IV

Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом IЧ/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и аксиомы Кантора

Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для глов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(

1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч

2) каждый луч первого класса, отличный от

Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для глов.

Доказательство:

>, Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах

точек отрезка АВ на два класса, довлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единственная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.

Формулировку предложений Архимеда и Кантора для глов предоставляем читателю.

Как же говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами IЧ< дают возможность реншить проблему измерения отрезков и глов, также становить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет становить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, останновимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой.

Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окруж
ностью и проходящая через внутреннюю точку ресекает эту окружность в двух точках.

Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскосmu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках

Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что

n*AD=AB или AD*1/n *AB

з 7. ГРУППА V (ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в группы I - IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой геонметрии, необходима ещё аксиома параллельности.

Все те предложения геометрии, которые могут быть доказаны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.

К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не пенресекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя сущестнвование такси прямой, эта теорема, однако, не предрешает, бундет ли казанная прямая единственной.

В зависимости от того, примем ли мы в качестве дополнительного требования, чтобы казанная прямая была единственной или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида, либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия, основанная лишь на аксиомах групп IЧIV, является общей частью этих геометрий,

ксиому параллельности евклидовой геометрии можно сфорнмулировать так:

V. Пусть а-произвольная прямая и А - точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не бонлее одной прямой, не пересекающей а*).

На основании теоремы 5. 24 и аксиомы V немедленно заклюнчаем, что через точку А проходит одна и только одна прямая, не пересекающая а; эта прямая называется апара л л е л ь н о и к прямой а.

Теперь, опираясь на аксиомы IЧV, мы имеем возможность доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную теореме 5. 23, теорему о том, что SA = 2d; что внешний гол треугольника равен сумме двух внутренних глов, с ним на смежных. Можно также доказать, что через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, что вписанные в окружность глы, опирающиеся на равные хорды, равны; можно, далее, развить всю теорию подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову аналитическую геометрию и тем самым арифметизировать евклидову геометрию.

Лобачевского, в зависимости от присоединения той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей геометрической системы при наличии аксиом IЧIV построить нельзя.

Возможность геометрии Лобачевского одновременно свидетельствует о том, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й понстулат Евклида не зависят от аксиом IЧIV. В связи с этим напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата было характерно отсутствие правильной постановки этой проблемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый характер, ибо не было известно полного перечня аксиом абсолютной геометрии, лишь на основе которых и следовало пытаться доказывать 5-й постулат.

Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная система аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта заключается в следующем: можно ли на основе аксиом _Гру_ПП IЧIV доказать аксиому V (или равносильнны и е и 5-й ап о с т у л т) аи л и иначе: является ли аксиома V независимой от аксиом соединения, понрядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?

Построением своей геометрической системы Лобачевский дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:* аксиому V нельзя вывести из аксиом IЧ IV. Однако этот результат Лобачевского будет обладать несомненной бедительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую непротиворечивость его геометрии.

В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе
аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие аксио<-br> мы, то возможны геометрические системы, отличные и от геон-
метрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой, наприbr> мер, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в
которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одbr> ной параллельной к данной прямой. Для построения этой геон-
метрии следует внести изменения в аксиомы II, <, IV групп.
Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии
Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием з 9
главы V.