Контрольная: Производственная функция Кобба-Дугласа

                              Кафедра лМатематики                              
                     Семестровая контрольная работа по курсу                     
                                 лЭконометрика                                 
      Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа      
Выполнил: студент гр. БО‑301 Ковчегин И. А.
Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В.
Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г.,
когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas)
и  мантематика Д. Кобба (D. Cobb) лТеория производства. В этой статье, была
предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого
капитанла и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей
промышленнности США.
Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь
между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и
имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем
техническом и организационном знании.
При субституционной производственной функции производство может быть
увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов,
в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без
изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при
различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного
капитала.
Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:
                    
где:
     K Ц число производственного капитала
     L Ц число производственных трудовых часов или, другими словами, число
производственных единиц гуманного капитала
На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно
сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных
факторов:
При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к
увеличению выпуска Ц первая производная положительна.
Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с
увеличением величины данного фактора Ц вторая производная отрицательна.
Уровень организационных и технических знаний отображается в соответствующих
формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний
постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического
прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть
представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между
количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала
(рисунок 1):
                              
         Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом         
Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает
смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности
труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего
непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска
при увеличении производственного фактора лтруд: кривая OK1 
на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0 
при любом числе занятых трудом.
С увеличением количественного параметра имущественного капитала увеличивается
и средняя производительности труда, которая является частным от деления
величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается
коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на
каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней
производительности труда.
Величина имущественного капитала принимается в рамках данного
кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании
не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения
производственных мощностей за счёт инвестиций.
В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если сонвместить графики зависимости от
времени логарифмов показателей реальнонго объема выпуска (y),
капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстоняния от
точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и
капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обнратился к Чарльзу
Коббу с просьбой найти математическую завинсимость, обладающую такой
особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:
                      
Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом
(Wicksteed), но они были первыми, кто использовал для ее построения
эмпирические данные.
Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет
экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.
Кинетическая функция  
(где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением
функции Кобба-Дугласа на eg, что снимает данную проблему и делает
функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.
Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна сонответственно a и
b, так как
          ,          
и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.
Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска
продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту
выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся
между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение
затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время,
вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что
уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту
выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы
остаются постоянными.
Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий
эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L 
увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции).
Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба
производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и 
L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от
масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К 
и L).
В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства  и b
имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного
соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный
характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному
продукту труда (dy/dL):
          .          
Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by,
а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную
величину b. Аналогичным образом норма прибыли  выражается через 
dy/dK:
          ,          
и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля
прибыли будет постоянной величиной a.
Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях,
когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех
случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и
трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то
совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда
уканзанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых,
даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких
оснований считать, что она будет иметь простую форму.
При построении производственной функции КоббаЦДугласа параметры A, a, b можно
оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших
квадратов (МНК):
1)         Производственную функцию КоббаЦДугласа приводят к линейному виду
путем логарифмирования
                    
2)         При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных
отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1.N; N Ц
количество наблюдений) и соответствующими оценками 
.
                                                                            
     
     
3)         Введем векторы
     ;            ;
     ;         
и матрицу      
Тогда критерий можно записать в виде
     .
Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему
уравнений МНК
                    
или
          .          
4)         Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии
оценивают дисперсию выборочных коэффициентов
          ,          
где cii Ц элементы главной диагонали матрицы .
     s2 Ц дисперсия погрешности измерений.
Оценка s2 определяется по формуле
                    
Рассчитывается значение t Ц параметра
                      
Если полученное значение t больше, чем табличное ta 
при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно
отлично от нуля при уровне a.
Доверительные границы для определяются по формуле
                    
Тогда вероятность того, что величина Xi действительно
находится в этих пределах, составит 1Цa.
5)         Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам
объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:
         ,         
где       .
При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент
множественной детерминации
                    
Чем меньше отличается  
от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты
регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.
Мы имеем данные по ВВП Мексики за 20 лет (таблица 1) относительно рабочей
силы (L) и капитала (K). Эти точки не будут лежать на 1 прямой, так как между
экономическими величинами не существует строгой взаимосвязи, потому что на
ВВП кроме рабочей силы и капитала могут влиять и другие факторы. Поэтому
экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:
          ,          
где K Ц число производственного капитала
     L Ц число производственных трудовых часов или, другими словами, число
производственных единиц гуманного капитала
Или в линейном виде:
                    
                                                                Таблица 1
                          Мексика, 1955-1974 гг.                          
          Реальный ВВП (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)          
                   Численность рабочих (тысяч человек)                   
        Основной капитал (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)        
     
Год
ВВП
Капитал
Рабочая сила
1955
114043
182113
8310
1956
120410
193749
8529
1957
129187
205192
8738
1958
134705
215130
8952
1959
139960
225021
9171
1960
150511
237026
9569
1961
157897
248897
9527
1962
165286
260661
9662
1963
178491
275466
10334
1964
199457
295378
10981
1965
212323
315715
11746
1966
226977
337642
11521
1967
241194
363599
11540
1968
260881
391847
12066
1969
277498
422382
12297
1970
296530
455049
12955
1971
306712
484677
13338
1972
329030
520553
13738
1973
354057
561531
15924
1974
374977
609825
14154
Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем
логарифмирования получим следующие исходные данные:
     
Год
ln(ВВП)
ln(Капитал)
ln(Рабочая сила)
1955
11,64433
12,11238265
9,025214888
1956
11,69866
12,17431879
9,0512274
1957
11,76902
12,23170141
9,07543661
1958
11,81084
12,27899778
9,09963225
1959
11,84911
12,32394901
9,123801611
1960
11,92179
12,37592512
9,166283986
1961
11,9697
12,42479444
9,161885152
1962
12,01543
12,47097599
9,175955945
1963
12,09229
12,52621949
9,243194709
1964
12,20335
12,59601117
9,303921786
1965
12,26586
12,66259519
9,371268036
1966
12,3326
12,72974144
9,351926736
1967
12,39336
12,80380689
9,35357454
1968
12,47182
12,87862674
9,398146859
1969
12,53357
12,9536654
9,417110609
1970
12,5999
13,02816038
9,469237093
1971
12,63366
13,09123797
9,498372383
1972
12,7039
13,16264699
9,527920995
1973
12,77721
13,23842226
9,675582684
1974
12,83462
13,32092731
9,557752549
Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа
Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора
наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для
анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или
более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:
     
Регрессионная статистика
Множественный R
0,997537
R-квадрат
0,99508
Нормированный R-квадрат
0,994501
Стандартная ошибка
0,028289
Наблюдения
20
     
Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Регрессия
2
2,75165
1,375825
1719,231
Остаток
17
0,013604
0,0008
Итого
19
2,765254
Коэффициенты
Стандартная   ошибка
t-статистика
Y-пересечение
Ц1,65242
0,606198
Ц2,72587
Переменная ln (K)
0,845997
0,093352
9,062488
Переменная ln (L)
0,339732
0,185692
1,829548

Данные показатели определяются следующим образом.
R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной
регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.
                                                                            
     
     ,
где
     QR Ц сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;
     Q Ц общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .
В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве
подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между
объясняющими и зависимой переменной.
Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:
                                                                            
     
     
где
     N Ц число наблюдений (20),
     P Ц число объясняющих переменных (2).
Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:
для регрессии df=MЦ1=3Ц1=2,
для остатка df=NЦM=20Ц3=17,
итоговый df=NЦM=20Ц1=19,
где M Ц число оцениваемых параметров регрессии, N Ц число наблюдений.
Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.
Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):
          ,          
где  Ц условная (групповая) средняя переменной y
Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):
          .          
Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):
          .          
Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий
зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием
неучтенных случайных факторов ошибок:
                                                                            
     
     
                                                                            
     
     
F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:
                                                                            
     
     
     F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F
0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно
исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными
в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).
Стандартная ошибка Ц это оценка стандартного отклонения распределения
коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.
t-статистика Ц оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.
На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для
вышеописанной ситуации:
                                                                            
     
     
На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-
Дугласа путем экспонирования:
                    
Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих
значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей
силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы
(L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.
     
     
Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и  рабочей силы
(L)
В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a
и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L 
увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.
Для примера определим объем ВВП в среднем при ожидаемом уровне капитала
50.000 млн. песо и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.
     
     
     
     
     
Список литературы
1.      Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. Ц М.: Инфра-М, 2001.
2.      Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред.
проф. Н.Ш. Кремера. Ц М.: Юнити-Дана, 2003.
3.      Ресурс Интернет Ц http://allmath.ru/appliedmath/micro/labs/micro-
labs1.htm.
4.      Ресурс Интернет Ц http://nit.miem.edu.ru/cgi-bin/article?id=122.
5.      Фурманн В., Султанов А. Общеэкономический рынок труда (Der
gesamtwirtschaftliche Arbeitsmarkt) Ц ресурс Интернет http://ek-
lit.agava.ru/mul/mul003.htm.