Доклад: Численные методы при расчете двумерных температурных полей

На железнодорожном транспорте, в автомобильной промышленности и в других
отраслях народного хозяйства нашли широкое применение резинотехнические или
пластнмассовые изделия, имеющие, как правило, сложную геометрическую форму.
Эти изделия изготавливаются в закрытых тепловых камерах, в которых под
высоким давлением и при заданном температурном режиме заготовки изделий
выдерживаются строго определённое время. Материал заготовки хоть и обладает
конечными упругими характеристиками, но нанходится в состоянии близкому к
пластическому. В течении времени нахождения в теплонвой камере в результате
химических реакций материал приобретает такие упругие свойства, которые
делают его работоспособным. Этот процесс   перехода пластических свойств в
упругие называют вулканизацией. Производство изделий требует точного знания
времени пребывания заготовки изделия в тепловой камере, в течении которого
изделие прогревается до той температуры, при которой произойдёт вулканизация.
Так как материал изделий имеет низкую теплопроводность, время вулканизации в
зависимости от толщины изделия может изменятся от нескольких минут до
нескольких часов. На рис.1 представлены некоторые геометрические формы
изделий, применяющихся в народном хозяйстве.
Для определения времени вулканизации необходимо определить температурное поле
изделий при заданных граничных условиях на внутренней и наружной поверхностях
изделия (рис.2).
Таким образом задача сводится к решению уравнения теплопроводности при
граничных условиях 1-го рода.
                                     (1)
где t Ц температура в точке с координатами x и у в момент времени t;
а Ц температуропроводность
     
Экзотермический эффект вулканизации в данном случае не учитывается, поскольку
повышение при этом интенсивности нагрева компенсируется понижением
коэффициента теплопроводности, а соответственно и температуропроводности, при
повышении температуры нагрева изделия от начальной до температуры
вулканизации.
     
Обычно такие задачи решаются численными методами. Сложность решения задачи
заключается в описании геометрической поверхности. В принятой практике для
упрощения описания сложной геометрической поверхности изделия используется
метод приведенной пластины, который позволяет свести задачу к расчёту
температурного поля пластины эквивалентной толщины.
     
                   Рис.3 Ц Приведение к эквивалентной пластине                   
Приведение осуществляется по зависимости:
    L=D-H exp[-092(C/D)1,85]                                   (2)    
Где     D Цтолщина коронной части покрышки вместе с диафрагмой;
H Ц высота шашки по центру покрышки;
L Ц приведенная толщина;
C Цнаибольшая ширина шашки в её средней части
Время нагрева изделия длится до того момента, при котором самая минимальная
температура по толщине пластины достигнет определённого значения (температуры
вулканизации = 140 С).
С целью получения более точного решения задачи применён метод конечных
элементов, который позволяет более точно описать геометрию модели и выполнить
расчёт без каких либо упрощений.
Выполняемые предварительные расчёты температурных полей изделий методом
приведенной пластины и МКЭ позволил установить, что время вулканизации на 10
Ц 15% меньше, чем при расчёте методом приведенной пластины, т.е. на 10 Ц 15%
экономится количество тепла, необходимое для подачи в тепловую камеру. Если
учесть, что изделия производятся массово, то экономия тепла составляет
значительную величину.
На рис.4 приведён профиль изделия состоящий из 4-х разнородных материалов.
Физическими характеристики материалов, приведенными в таблице 1.
                                                                       Таблица 1
     
Номер материала
1
2
3
4
Плотность, кг/м3
1130
1140
1150
1120
Теплопроводность, Вт/м К
0,222
0,218
0,198
0,282
Теплоёмкость, Дж/кг К
1007,5
1448,7
1510,3
1414,5
Воспользовавшись вышеописанным методом приведенной пластины и формулой (2)
профиль приводится к слоистой пластине, изображённой на рис.5.
Расчёты температурных полей для профиля (методом конечных элементов)  и для
приведенной пластины  с начальными условиями Т0=20 ºС  и
граничными условиями (T1 ,T2) показали, что время
достижения минимальной температуры (140 ºС) по толщине при расчёте МКЭ
составляет 12335 секунд, а при расчёте методом приведенной пластины 15261
секунд. Данные расчётов сведены в таблицу 2.Таким образом экономится количество
тепла, необходимое для подачи в тепловую камеру. Если учесть, что изделия
производятся массово, то экономия тепла составляет значительную величину.
                                                                       Таблица 2
     
Пластина, 15261 сек
Профиль, 15261 сек
Профиль, 12335 сек
Толщина, м
Температура, С
Толщина, м
Температура, С
Толщина, м
Температура, С
0
175
0
175
0
175
2,05E-03
173,16
2,50E-03
173,37
2,50E-03
172,8
4,11E-03
171,33
5,00E-03
171,75
5,00E-03
170,61
6,16E-03
169,48
7,50E-03
170,11
7,50E-03
168,39
8,22E-03
167,64
1,00E-02
168,49
1,00E-02
166,21
1,03E-02
165,81
1,25E-02
166,88
1,25E-02
164,06
1,23E-02
164,02
1,50E-02
165,3
1,50E-02
161,97
1,44E-02
162,26
1,75E-02
163,76
1,75E-02
159,94
1,64E-02
160,54
2,00E-02
162,26
2,00E-02
157,98
1,85E-02
158,86
2,25E-02
160,8
2,25E-02
156,09
2,05E-02
157,23
2,50E-02
159,38
2,50E-02
154,28
2,26E-02
155,65
2,75E-02
157,88
2,75E-02
152,41
2,47E-02
154,13
3,00E-02
156,44
3,00E-02
150,64
2,67E-02
152,55
3,25E-02
155,07
3,25E-02
148,99
2,88E-02
151,02
3,50E-02
153,78
3,50E-02
147,49
3,08E-02
149,57
3,75E-02
152,55
3,75E-02
146,1
3,29E-02
148,21
4,00E-02
151,4
4,00E-02
144,85
3,49E-02
146,93
4,25E-02
150,65
4,25E-02
144,06
3,70E-02
145,74
4,50E-02
149,94
4,50E-02
143,35
3,90E-02
144,64
4,75E-02
149,28
4,75E-02
142,71
4,11E-02
143,79
5,00E-02
148,66
5,00E-02
142,14
4,31E-02
143,15
5,25E-02
148,09
5,25E-02
141,65
4,52E-02
142,56
5,50E-02
147,57
5,50E-02
141,23
4,72E-02
142,04
5,75E-02
147,09
5,75E-02
140,87
4,93E-02
141,58
6,00E-02
146,66
6,00E-02
140,58
5,14E-02
141,18
6,25E-02
146,27
6,25E-02
140,35
5,34E-02
140,84
6,50E-02
145,92
6,50E-02
140,18
5,55E-02
140,56
6,75E-02
145,61
6,75E-02
140,08
5,75E-02
140,33
7,00E-02
145,34
7,00E-02
140,02
5,96E-02
140,17
7,25E-02
145,11
7,25E-02
140,01
6,16E-02
140,06
7,50E-02
144,91
7,50E-02
140,05
6,37E-02
140,01
7,75E-02
144,74
7,75E-02
140,13
6,57E-02
140,01
8,00E-02
144,61
8,00E-02
140,26
6,78E-02
140,06
8,25E-02
144,5
8,25E-02
140,4
6,98E-02
140,16
8,50E-02
144,43
8,50E-02
140,6
7,19E-02
140,3
8,75E-02
144,37
8,75E-02
140,81
7,40E-02
140,49
9,00E-02
144,34
9,00E-02
141,05
7,60E-02
140,71
9,25E-02
144,33
9,25E-02
141,31
7,81E-02
140,98
9,50E-02
144,33
9,50E-02
141,59
8,01E-02
141,28
9,75E-02
144,36
9,75E-02
141,89
8,22E-02
141,61
0,1
144,39
0,1
142,21
8,42E-02
141,97
0,1025
144,44
0,1025
142,53
8,63E-02
142,36
0,105
144,5
0,105
142,87
8,83E-02
142,76
0,1075
144,57
0,1075
143,21
9,04E-02
143,19
0,11
144,65
0,11
143,56
9,24E-02
143,63
0,1125
144,73
0,1125
143,92
9,45E-02
144,08
0,115
144,82
0,115
144,28
9,65E-02
144,54
0,1175
144,91
0,1175
144,64
9,86E-02
145
0,12
145
0,12
145