Шпора: Шпора по математике
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(ab)²=a²2ab+b²
(ab)³=a³3a²b+3ab²b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³b³=(ab)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 Ч корни уравнения
ax²+bx+c=0
Степени и корни :
apag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap×bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pÖa =b => bp=a
pÖapÖb = pÖab
Öa ; a ≥ 0
____
/ __ _
pÖ gÖa = pgÖa
___ __
pkÖagk = pÖag
p ____
/ a pÖa
/ ¾¾ = ¾¾¾¾
Ö b pÖb
a 1/p = pÖa
pÖag = ag/p
Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a¹0)
x1,2= (-bÖD)/2a; D=b² -4ac
D>0о x1¹x2 ;D=0о x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1×x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x1,2 = -kÖ(k²-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
Ö((x2-x1)²-(y2-y1)²)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 × q
b2n = bn-1× bn+1
bn = b1×qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sin² a + cos² a =1
ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ
tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ
1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2
1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹ p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ¹ p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =
= 1-2 sin²a
tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)
1+ cos a = 2 cos² a/2
1-cosa = 2 sin² a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² a/2 = (1 - cos a)/2
cos²a/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a¹ p + 2pn, n ÎZ
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = ЧЧЧЧЧ
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = ЧЧЧЧЧ
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)
cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)
ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a
cos3a = 4cos³a-3 cosa=
= cos³a-3cosasin²a
tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)
ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)
sin a/2 = Ö((1-cosa)/2)
cos a/2 = Ö((1+cosa)/2)
tga/2 = Ö((1-cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga/2 = Ö((1+cosa)/(1-cosa))=
sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]
arcsin(sina)=
1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]
2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]
arccos (cosa) =
1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]
2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]
arctg(tga)= a-pk
aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)
arcctg(ctga) = a -pk
aÎ(pk; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =
= arctg a/Ö(1-a²)
arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=
= arc ctga/Ö(1-a²)
arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =
= arcsin a/Ö(1+a²)
arc ctg a = p-arc cctg(-a) =
= arc cos a/Ö(1-a²)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| ≤ 1
x = (-1)n arcsin m + pk, kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m; |m| ≤ 1
x = arccos m + 2pk
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
logaf(x) >(<) log a j(x)
1. a>1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
j(x)>0
f(x)<j(x)
3. log f(x) j(x) = a
ОДЗ: j(x) > 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - Ö3 cos x = 0
2sin x cos x -Ö3 cos x = 0
cos x(2 sin x - Ö3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.
sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2
sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin a ³ m
2pk+a1 ≤ a ≤ a2+ 2pk
2pk+a2 ≤ a≤ (a1+2p)+ 2pk
Пример:
I cos (p/8+x) < Ö3/2
pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk
2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;
II sin a ≤ 1/2
2pk +5p/6 ≤a≤ 13p/6 + 2pk
cos a ³(≤) m
2pk + a1 < a< a2+2 pk
2pk+a2< a< (a1+2p) + 2pk
cos a ³ - Ö2/2
2pk+5p/4 ≤a≤ 11p/4 +2pk
tg a³(≤) m
pk+ arctg m ≤a≤ arctg m + pk
ctg ³(≤) m
pk+arcctg m < a< p+pk
Производная:
(xn)Т = n× xn-1
(ax)Т = ax× ln a
(lg ax )Т= 1/(x×ln a)
(sin x)Т = cos x
(cos x)Т = -sin x
(tg x)Т = 1/cos² x
(ctg x)Т = - 1/sin²x
(arcsin x)Т = 1/ Ö(1-x²)
(arccos x)Т = - 1/ Ö(1-x²)
(arctg x)Т = 1/ Ö(1+x²)
(arcctg x)Т = - 1/ Ö(1+x²)
Св-ва:
(u × v)Т = uТ×v + u×vТ
(u/v)Т = (uТv - uvТ)/ v²
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f Т(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f С (x0), выразим х
Интегралы :
ò xn dx = xn+1/(n+1) + c
ò ax dx = ax/ln a + c
ò ex dx = ex + c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = - cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cos² x = tg x + c
ò 1/sin² x = - ctg x + c
ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c
ò 1/1+ x² dx = arctg x + c
ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
a² = b²+c² - 2bc cos a
b² = a²+c² - 2ac cos b
c² = a² + b² - 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=½(a+b+c)
_____________
S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)
S = ½ab sin a
Sравн.=(a²Ö3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pR²
Sсектора=(pR²a)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.×H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+ÖS1S2)
S1 и S2 Ч площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 pR²H
Sбок. =pRl
Sбок.= pR(R+1)
Усеченный
Sбок.= pl(R1+R2)
V=1/3pH(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.×H
прямая: Sбок.=Pосн.×H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс×a
V = Sпс×a, а -бок. ребро.
Pпс Ч периметр
Sпс Ч пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pR²H ; Sбок.= 2pRH
Sполн.=2pR(H+R)
Sбок.= 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pR³ - шар
S = 4pR³ - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pR³H
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=pH²(R-H/3)
S=2pRH
