Реферат: Уравнения с параметрами

Министерство общего и профессионального образования
                              Свердловской области                              
            Управление образования Администрации города Нижний Тагил            
     Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55
     Образовательная область: математика
                                Предмет: алгебра                                
     РЕФЕРАТ
на тему:
     Решение задач с параметрами
    Исполнитель:
  Научный руководитель: 
Рецензент областного тура:
     Нижний Тагил 
                                      2004                                      
     Оглавление
     Введение   3
     1. Основные определения   4
     2. Аналитический способ решения задач   5
     2. 1. Линейные уравнения   5
     2. 2. Квадратные уравнения   8
     2. 3. Системы уравнений   13
     3. Графический метод решения задач   16
     4. Заключение   18
     Список литературы    19
     
     Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей  часто
приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их  системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
В первой части моего реферата я ввожу некоторые обозначения, используемые
впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рассматриваю
наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей Ц
графический метод.
Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при
сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.
       1. Основные определения       
Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения
математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны
с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых
наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.
Введём следующие обозначения и термины:
     N={1, 2, .} Ц множество всех натуральных чисел;
     w={0, 1, 2, .} Ц множество всех натуральных чисел с нулём;
     Z={-N, 0, N} Ц множество всех целых чисел;
     Q={Z, , где pÎZ, qÎN} Ц множество всех рациональных чисел;
     R={Q, иррациональные числа} Ц множество всех действительных чисел;
     Æ Ц пустое множество Ц множество, не имеющие ни одного элемента;
     Î Ц знак принадлежности;
     Þ Ц знак следствия;
     Û Ц знак равносилия;
     ОДЗ Ц область допустимых значений;
     D Ц дискриминант.
     2. Аналитический способ решения задач
 2. 1. Линейные уравнения
Пример 1. Решить относительно х:
     . (1)
По смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1,  x ¹ Ц3.
Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение
     , получаем     
          .          
Отсюда при m ¹ 2,25 .
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых
найденное значение x равно Ц3.
          ,          
решая это уравнение, получаем, что х равен Ц3 при т = Ц0,4.
     Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25, 
т ¹ Ц0,4 уравнение (1) имеет единственное решение 
; при т = 2,25 и при т = Ц0,4 решений нет, при т 
= 1 уравнение (1) не имеет смысла.
Пример 2. Решить относительно х:
     (1)
     ОДЗ: х ³ Ца, х ³ 0;
     Поскольку уравнение (1)Û
Û 
(2)
и левая часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям 
ОДЗ  налагаем условие а ³ 0;
    Þ    
     ; (3)
при этих условиях
          ;          
теперь к условиям (3) добавляем ещё условие
     ;
в условиях (3), (4) имеем
(4)
при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при 
а > 0 х
; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем
                    
     Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³ 
1 уравнение (1) имеет единственное решение х
; при а < 0, 0 < а < 1 
уравнение (1) не имеет решений.
Пример 3. Решить относительно х:
     (1)
                          а). Х ³ 0,                          
      ;      
по условию х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию
                    
б). Х < 0,
                    
по условию х < 0, то есть
     < 0< 1;
          .          
     Ответ: при  
уравнение (1) имеет два решения   
при  > 1 
уравнение (1) не имеет решений.
     2. 2. Квадратные уравнения
Пример 1. Решить относительно х:
     (1)
а). Пусть а = 0, тогда Ц2х+4 = 0 Û х = 2;
б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1Ц 4а; при  1Ц 4а < 0 Þ а >  х Î Æ;
при 1Ц 4а ³ 0 Þ а £   .
     Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹ 
0 и а £  
уравнение (1) имеет два решения  
; при а ¹ 0 и а >  
уравнение (1) не имеет решений.
При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, которые также
помогают при решение задач с параметрами.
     Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,
     c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b 
< 0, c > 0, то оба корня этого уравнения
неотрицательны.
     Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного
уравнения были больше заданного числа d: 
                      
Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:
     (1)
Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим
     (2)
По Т₁:                                     ;
1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем
     ;  .
     
     
     
2).  > 0;
корень уравнения : 
а = Ц2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на
координатную прямую (Рис. 1). 
Получаем а < Ц2, а > 0
     Рис. 1
3). ; корень уравнения : а = Ц3
     
     
и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).
     
Получаем Ц3 < а < 0.
     Рис. 2
4). Объединим полученные результаты:
     
(Рис. 3)
Получаем 
     
Рис. 3
     Ответ: при  уравнение (1) имеет неотрицательные корни.
Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:
     (1)
По Т₂:                                     .
1). 
     > 0, разделим получившееся неравенство на Ц8, получаем
     
     
      корни данного
уравнения: .
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).
     
     Рис. 4
     
Получаем < а <                                       
2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;
     2а + 1 > 2а Þ 2а Ц 2а > Ц1 Þ 0 > Ц1 Þ а Î R.
3). Y(1) = 2а Ц2;
      корни уравнения 2а(а-1) > 0: а₁ = 0; а₂ = 1.
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).
     

     
     
     Рис. 5
Получаем а < 0, а > 1
4). Объединим полученные результаты:
     (Рис.6)
     
     
     Рис. 6
Получаем 
     Ответ: при  корни уравнения (1) больше 1.
Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены
строго между Ц2 и 4:
     
Способ 1: (1)
     ; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между Ц2 и 4:
     
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).
     
Получаем 
     
Рис. 7
     Способ 2:
По Т₂:
                    
1). D = 1> 0;
2). ;
3). Y(Ц2) = а²+4а+3
     
     
     а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 =
0: а₁ = Ц3, а₂ = Ц1; нанесем
полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).
     

     Рис. 8
Получаем а < Ц3, а > Ц1.
     Y(4) = а²Ц8а+15
     
     
     а²Ц8а+15 > 0; корни уравнения а²Ц8а+15 =
0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные
точки на координатную прямую (Рис. 9).
     Рис. 9
     
Получаем а < 3, а > 5.
4). Объединим полученные результаты:
     (Рис.10)
     
     Рис. 10
                 Получаем Ц1 < а < 3.                 
     Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между Ц2 и 4.
Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением 
2х₁+х₂ = 3:
              
по теореме Виета: ;
составим и решим систему:  
получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда 
а = 1.
     Ответ: а = 1.
     2. 3. Системы уравнений
Системы линейных уравнений типа: 
1)     имеют единственное решение, если 
2)     не имеют решений, если 
3)     имеют бесконечное множество решений, если 
Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное
множество решений:
     
Система (1) имеет   бесчисленное множество решений, когда (1)
                    
1)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ Ц3;
     
2)     , ОДЗ: а ¹ Ц3, а ¹ ;
     
     , разделим обе части уравнения на 4:
     
3)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ;
     
     Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.
Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений:
     (1)
а). Система (1) имеет единственное решение, когда
                      
так как 5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.
б). Система (1) не имеет решений, когда
                      
1)      отсюда m = 6.
2)      отсюда n ≠ 8.
3)      отсюда n ≠  при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.
     Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет
единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6 
система (1) не имеет решений.
Пример 3. Решить относительно х:
     (1)
1)     а < 0, тогда получаем систему
     
если  то   система (2) несовместима, а если , то Ц   а < х < 
2)     а = 0, тогда получаем систему
3)     а 0,   тогда получаем систему
если , то х   > Ц а, а если Ц а < Ц 1а >   1, то х > (2)
     Ответ: в системе (1) при а ≤ Ц 1 х 
Æ; при  
Ц а < х <  
при     а = 0 
; при  х > 
Ц а; при а > 1 х > 
     3. Графический метод решения задач
Рассмотренный мною стандартный способ решения задач с параметрами в отдельных
случаях приводят к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения
может быть иногда упрощен, если применять графический метод.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:
     (1)
Пусть  Тогда,
возведя обе части этого уравнения квадрат, получаем х = t² 
Ц а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе
          .          
График функции при
условии  пересекает
семейство прямых y = a в одной точке при  
и при а > 1 (Рис. 11).
     Ответ: при ;  а > 1 уравнение (1) имеет
единственное решение.
     
Рис. 11
Пример 2. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет
ровно три различных корня:
     (1)
Построим график функции  
для  и отразим его
зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс 
y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5
(Рис. 12).
     Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных
корня при а = 5.
     
Рис. 12
     4. Заключение
Итак, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и
сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения
задач с параметрами.
Работа над данным рефератом помогла мне в учебе не только в школе, но и в
Городском Компьютерном Центре при УГТУ УПИ.
Да, я могу сказать, что я научилась решать уравнения с параметрами, но я не
хочу останавливаться на достигнутом и поэтому в следующем году я собираюсь
работать над рефератом на тему: лРешение неравенств с параметрами. Также в
данной работе я не рассмотрела примеры тригонометрических, логарифмических,
показательных уравнений, поэтому в моём реферате нельзя ставить точку.
     Список литературы
1.     Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Ц М.: Асар, 1996.
2.     Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. Ц Екатеринбург:
УрГУ, 1996.
3.     Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. Ц М.: Школа
Ц Пресс, 1986.
4.     Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. Ц М.: Школа-
Пресс, 1997.
5.     Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. Ц М.: Просвещение, 1986.
Blog

Реферат: Уравнения с параметрами

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

Образовательная область: математика

РЕФЕРАТ

Решение задач с параметрами

Исполнитель:

Научный руководитель:

Нижний Тагил

Введение

1. Основные определения

2. Аналитический способ решения задач

2. 1. Линейные уравнения

2. 2. Квадратные уравнения

Рис. 1

Рис. 4 Получаем < а <

Рис. 9

Рис. 10

2. 3. Системы уравнений

3. Графический метод решения задач

4. Заключение

Список литературы

Рис. 4

Получаем < а <
