Контрольная: Примеры решения

53 Найти неопределенный интеграл
     
     
     
     

     
     
     
     

     
     
     
Применяли формулу интегрирования по частям 
     

     
     
     
     

63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
     
     
Решение:
Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии  
гипербола,  прямая, 
.
Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:
      и 
      
Значит фигура ограничена сверху функцией  
снизу функцией  на
интервале от 1 до 4.
Площадь 
     
     
     Ответ: .
73. Найти общее решение дифференциального уравнения.
     . Это уравнение
однородное решается с помощью подстановки 
, тогда . Подставим
полученные выражения в уравнение полученное из исходного делением обеих частей
на .
     
     
     
     Ответ: 
     
Составляем характеристическое уравнение
      
     
тогда 
     Ответ: 
83 Исследовать сходимость числового ряда.
Решение:
     . В этом задании  и 
Применим признак Даламбера. Найдем 
, так  то ряд
расходится по признаку Даламбера.
     Ответ: ряд расходится.
93. Найти интервал сходимости степенного ряда 
Решение:
Здесь  .
Применим признак Даламбера. Найдем 
     
     
Ряд сходится если  или  то есть .
Проверим сходимость на концах этого интервала при 
     
Найдем предел  
значит в силу теоремы о необходимом условии сходимости данный ряд расходится.
Исследование при  
аналогично. Тоже получится, что предел n-ного члена при n стремящемся к
бесконечности не равен нулю.
     Ответ: ряд сходится при . На границах интервала он расходится.
103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью до
0,001
     
Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:
     , тогда 
Почленно проинтегрируем данный ряд Ответ: