Контрольная: Дифференциальные уравнения

                           Вариант № 12                           
                      л Дифференциальные уравнения                      
                  Найти общий интеграл диф.  ур-я                  
     
1) это ур-е с разделяющимеся переменными
 
     разделив обе части уравнения на x и сделав преобразования получим:
     
     
     
     
2) 
 
     Используем подстановку , тогда
     
     
     
     
     Окончательно, получим (учитывая, что t=y/x)
     
     
     
     
3)  
 
     Выполним перенос системы координат , решив Ур-е в лновой системе координат:
,где 
     
     
     Учитывая, что 
     Получим диф. Ур-е вида
              
     Подстановка
      
     
     
     
     
     Дает решение вида
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     Выполнив преобразования получим, окончательно
                                                                        
     
     
              
                              
  
4)                              
     
     ,
 
     Т. к. p=q , то это Ур-е в полных дифференциалах
     Пользуясь общим правилом нахождения полного дифференциала, получим
     
     
     
     Откуда
     
     
     
     Найти решение задачи Коши:
        5) 
     Решение Ур-я такого типа следует искать в виде:
     
     
     Подстановка в исходное Ур-е даст:
     
     Возмем интеграл по частям 
     
     
     
     Konst найдем из начального условия, т.е.
     Решение
     
     
        
6)
 
     Помня, что ,
     
     Подстановка в исходное Ур-е дает 
     
     
     
     Общее Решение:
     
     
     
     
     7)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     Найти общее решение д.у.
     
8)
 
     
     
     
     
     
Найти решение задачи      Лоши
 
     9) 
     
     
     
     Решим однородное Ур-е (правая часть =0)
     
     
     
     Используя метод лВариации постоянных получим
     
     
     
     Таким образом, решение данного д.ур-я имеет вид:
     
     
     Откуда,
     
     
     
     
10) М. Т., притягиваемая      к неподвиж. Центру О силой F1,прямо
пропорциональной расстоянию от М.Т. до ц. О, совершает колебательное
движение с периодом Т=2п. Сила F2      сопротивления среды прямо
пропорциональна ( с тем же коэф.пропорц-ти)      скорости. Во сколько n раз
уменьшается амплитуда А после каждого      периода колебаний?
 
     Решение: Пусть X(t)=ASin(wt) Цур-е движения М. Т. , где t-время,
      А=А(t)- амплитуда колебаний.
     Тогда F1=kX, где к-некоторый коэффициент пропорциональности;
     Сила F2 , согласно условию, уравновешивает силу F1, т. е.
                              F1=F2.                              
     Где F2=kV,V- скорость М.Т. (V=dX/dt)
     Откуда,
     
     
     
     
     
     Ч/З период времени Т амплитуда изменится
     
     
     
     Найти общее решение д.у.
     
  
11) 
     
     
 
     Решаем изначально однородное Ур-е (т.е. без правой части), соответствующее
ему характеристическое ур-е:
     .
     Первый корень без труда может быть подобран, 
     Далее, разделив многочлен на  получим:
     
     
     
     
     
     
     Поскольку тут один корень (-1) имеет кратность, равную 2, то решение
однородного Ур-я имеет вид:
     
     
     
     Общее решение д.у. 
где частное решение д. у.  
ищем в соответствии с правой частью уравнения, а именно:
     
     
     
     Подстановка в уравнение дает:
     
     
     
     Решение:
     
     
     
     Указать вид частного решения для д.у. с постоянными коэффициентами 3-го
порядка для различных правых частей и корней характеристического ур-я ( 1/7;
-1/7+2i; -1/7-2i)
     
12)
 
     
     Пусть F(x) вид частного решения, соответствующей правой части f(x)
     
     
     
     
     Где многочлены 3-ей степени, т. е. такого вида
     
     
     
     
     
     Частное решение будет складывается из двух составляющих 1) частного решения,
соответствующего паре комплексно сопряженных корней характеристического Ур-я и
2) частного решения, соответствующего многочлену 3-ей степени, т.е.
     
     
     
     Где Р(х)- многочлен 3-ей степени.
     Решить систему д.у.:
     
12)  
 
     Из Ур-я (1) вычтем 3 ур-я (2),а затем из Ур-я (2) выразим dx/dt и подставим в
(1). Вот, что будет:
     ,
     Где точки (*) обозначают дифференцирование по t.
     
     
     
     
     Типовые и курсовые по Высшей математике, консультации.
     Запись CD (аудио КД, МР-3,фильмы MPEG-4,Софт-коллекции) Недорого
     (3512)95-26-32 c 21 до 24