Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

П л н

Стр.

TOC \o "1-3" Прямая и окружность............................................................................................................................... 3

Циклоида..................................................................................................................................................... 5

Кривая кратчайшего спуска.................................................................................................................... 6

Спираль Архимеда.................................................................................................................................... 7

Логарифмическая спираль...................................................................................................................... 9

Теорема Паскаля..................................................................................................................................... 10

Теорема Барианшона.............................................................................................................................. 12

Лемниската Бернулли............................................................................................................................ 13

Список литературы................................................................................................................................. 15

Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К., L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F₁ и F₂ той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит ленточнная). Если длина отрезка F₁F₂ есть с, то расстояния от середины О отрезка F₁F₂ до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно - с²/4. Потребуем снанчала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с²/4; тогда

Рис. 21

точка О будет лежать на лемнискате, сама лемниската будет иметь вид лежащей восьмерки (рис. 21). Если продолжить отрезок F₁F₂ в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А₁ и А₂. Выразим расстояние между А₁А₂= х через известное расстояние с:

(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х²/4-с²/4.

Если величину неизменного произведения р взять не равной с²/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с²/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F₁ и F₂, соответственно (рис.22).

Рис. 22

Т.о. задавая различные словия для р и с²/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).

Рис. 23

Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F₁,F₂,..., F_n и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F₁,F₂,..., F_n друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие канрандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала

Рис. 24

самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов

F₁,F₂,..., F_n

и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний

МF₁ МF₂Е МF_n = p

что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как годно хорошо так, что штрих будет очень зким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.

Список литературы

1. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.