Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Структура аффинного пространства над телом

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT SEQ MTSec 1 h * MERGEFORMAT Структура аффинного пространства над телом

1. Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1. Пусть

Говорят, что адействует слева на множестве аудовлетворяет словиям

и (1)

налогично говорят, что адействует на асправа, если определено отображение аудовлетворяет словиям

и (1^/)

Соотношения (1) (соответственно (1^/)) показывают, что биекции ана а(соответственно

Например, любая группа адействует сама на себе слева левыми сдвигами: аи справа правыми сдвигами:

Группа адействует на себе слева также внутренними автоморфизмами:

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева.

Понятно, что для коммутативной группы

Определение 1.2. Пусть группа адействует слева на множестве ас законом действия адействует на атранзитивно, если для любой пары аэлементов асуществует хотя бы один элемент апросто транзитивно, если этот элемент авсегда единственный.

Пример. Линейная группа втоморфизмов адействует транзитивно на

Определение 1.3. Пусть группа адействует слева на множестве Стабилизатором подмножества амножества аназывается множество

Непосредственно ясно, что асостоит из одного элемента группой изотропии элемента

Замечание. Стабилизатор аявляется пересечением двух множеств аи а адействует на себе трансляциями и ане является подгруппой,

Определение 1.4. Пусть орбитой элемента аназывается образ апри отображении

Если адействует на атранзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с

Замечание. На отношение эквивалентности, полагая пространством орбит.

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой транзитивное действие группы

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть левыми смежными классами относительно аиз аобъявляются эквивалентными, если существует элемент аесть множество аэлементов вида

Действие слева группы ана аопределяется с помощью аявляется однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть апусть афакторпространства ана выполнено ана

Доказательство. Соотношение аравносильно аи, значит, аили апереносится на фактормножество и представляется в виде

Специальный случай

Если группа адействует на апросто транзитивно, то группы изотропии атривиальны; для каждой точки аотображение аявляется биекцией, удовлетворяющей словию

Эта биекция апозволяет перенести на которая, однако, будет зависеть от выбора точки адопускает структуру группы, изоморфной

Так и будет обстоять дело в случае Фаффинной структуры.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы

Это действие записывается обычно в виде

ℰ,

Для любого абиекция ℰаℰ,аназывается трансляцией на вектор аэлементова ℰ единственный вектор а

Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками) от элементов а(называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать Фточки прописными буквами латинского алфавита, такими, как

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, снабженное семейством биекций

a) _ℰ и

b) для любой пары ℰℰ существует единственный вектор

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, снабженное отображением ℰℰ

a) для каждого ℰ отображение ℰабиективно;

b) для любых точек аиз ℰа выполнено соотношение Шаля

Заметим, что из этих словий следует, что для любой точки ℰ мы имеем

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через аединственную точку

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ отображение ℰ, аесть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰ_A.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ- это те свойства векторного пространства ℰ_A, которые не зависят от выбора точки

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе Фвнутреннего исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством ℰ равна размерности

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством апространства аобразует подгруппу группы ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия ана ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением также аффинными подпространствами в ℰ.

Если аесть ЛАМ с направляющим подпространством аи адопускает структуру векторного пространства с началом аи аесть векторное подпространство ва ℰ_A. Обратно, любое ВПП пространства ℰ_Aа есть ЛАМ, проходящее через

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку векторные подпространства векторного пространства ℰ_A.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ апространства ℰа полностью определяется заданием множества точек

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество ффинного пространства ℰ называется линейным аффинным многообразием, если в асуществует точка аявляется векторным подпространством в

Приняв определение 3.1., можно непосредственно становить следующее

Предложение 3.2. Пусть ℰ и аесть векторное подпространство в аиз амножество асовпадает с

Доказательство. аесть множество векторов аесть образ апри биекции

Установив это, легко бедиться, что анаделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры ана

Определение 3.2. Пусть аи ℰ с помощью

ффинными многообразиями с направлением аназываются классы эквивалентности по отношению

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство аканонически снабжено аффинной структурой, так как адействует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор аназывается также Фначалом аи

аа.

ЛАМ пространства апри параллельном переносе

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности асуть точки ℰ.

ффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть ℰ и адля каждого

Если пересечение анепусто, то оно является аффинным подпространством в ас направляющим

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение адвух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки аи а, что

аа

Доказательство. Если аимеема аи

Обратно, если существуют аи ав виде а, принадлежит аи, как легко видеть, апринадлежит также ане пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, также

Предложение 3.5. Если ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в аи аимеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий авполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство:

Более общо, говорят, что апараллельно многообразий аудовлетворяют включению

Можно проверить, что отношение Фавполне параллельно (соответственно параллельно) а равносильно существованию трансляции апространства ℰ, такой, что а(соответственно

ффинное подпространство, порожденное подмножеством ℰ

Предположение 3.6. Если ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое аи обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ, содержащее

Говорят, что апорождено

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: аесть пересечение всех ЛАМ, содержащих

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в аначальной точки ℰ_A, содержащего а(поскольку ЛАМ, содержащее ℰ). Таким образом, аесть ВПП в ℰ_A, порожденное не зависит от выбора точки аав аесть ВПП в

Предложение 3.7. Пусть ℰ; для каждой точки аположим ане зависит от выбора аи аесть ЛАМ, проходящее через ас направлением

Можно дать прямое доказательство этого тверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если ане зависит от аи, следовательно, совпадает с

аи

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного аточками апространства ℰ не превосходит атогда и только тогда, когда авекторов а(свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством анад, вообще говоря, некоммутативным телом а ℰ

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы)а авзвешенных точек, такого, что a), b), c):

b) ℰа

c) ℰа

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы

Эквивалентность трех словий легко станавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a)а Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого аимеем

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть разбиение а.

Если для любого аскаляр аотличен от нуля и мы положим

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда Фполная масса системы аравна 1. В этом и только в этом случае можно положить

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение аравносильно каждому из следующих тверждений:

аи ℰа (1)

ℰа (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества апространства ℰ называется точка ане является делителем числа

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть адля всех аи

Если характеристика аотлична от 2, то существует разбиение амножества

аи

Доказательство. Если одна из сумм аи

Если все суммы аравны нулю, то все аравны одному и тому же элементу

Если характеристика аотлична от 2, то ане равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая акак двухэлементное подмножество, акак подмножество из аэлементов.

Следствие. Если характеристика ане равна 2, то построение барицентра аточек приводится к последовательному построению абарицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если ℰ, то аесть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в

Доказательство. точним сначала, что под носителем семейства апонимается множество

Условившись об этом, выберем некоторую точку ав асуть точки

(3)

где аи аи поэтому а(см. предложение 3.7). Обратно, если а( с суммой, необязательно равной 1), такие, что

ас аи

таким образом, аесть барицентр системы с носителем в

Определение 4.1. Подмножество ℰ называется аффинно порождающим ℰ, если ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка аиз аединственным образом представляется в виде

аи апри любом

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало ав аи пологая ффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда асвободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что ане зависит от выбора

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество апространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы ане содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности аточками.

Обратно, для того, чтобы аточек в ℰ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы авекторов ааобразовали базис ане принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если аесть ЛАМ конечной размерности в ℰ и аесть множество точек ас аффинная прямая, соединяющая две точки ав ℰ, есть множество точек

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множеств аточек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть апространства абыла линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если а- любая прямая, соединяющая две точки

b) если алежал в

Доказательство. Нам же известна необходимость этого словия. Для доказательства достаточности выберем в аточку аи покажем, что аесть ВПП пространства

a) Предположив, что аи авлекут

Действительно, по предположению существует точк АВ) и, значит,

Рассмотрим далее два любых вектора аи ава аи выберем а(что возможно, так как ане сводится к аи а(см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), поэтому и апринадлежит а, откуда аесть ВПП в

Рис. 1

b) Если авлечет а(так как аможет принимать только два значения 0, 1). Если

ффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ,

Отображениеℰназывается полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка а аполулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка ℰ и отображение ане зависит от

Доказательство. Для любой пары ℰ имеем в силу линейности

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение аобозначается аи называется полулинейной (соответственно линейной) частью

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку аи снабдим авекторными структурами, принимая за начало в ℰ точку абудет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если ℰ_А в

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку ℰ_А в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если аи аесть отображение вида аполулинейно (соответственно линейно),

Непосредственные следствия. Еслиаℰаполуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в

2) Прообраз ЛАМ в аесть ЛАМ в ℰ или пустое множество.

3) Для любой системы авзвешенных точек ℰ образ барицентра аесть барицентр аобозначает изоморфизм тел, ассоциированных с

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ℰ, а ана ℰ и

Тогда существует единственное полуаффинное отображение апространства ℰа в адля всех

Более того, абиективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство аесть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для

Доказательство. Вернемся к теореме ав качестве начала в ℰ, соответствующую точку аопределяется равенством

для любого конечного подмножества аи любой системы скаляров

В частности, аффинное отображение ℰ в аопределяется заданием образа аффинного репера из ℰ.

Приложение: равнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом

a) Если аℰа- непостоянное аффинное отображение, то ℰ с направлением

b) Обратно, если ℰ, то существует аффинное отображение аℰ, такое, что ℰа в ас этим свойством суть отображения

Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности ав ℰ определяется системой равнений вида аℰ в

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰℰабыло аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a) при

ℰ

b) при аобраз эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a) При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора анаправляющего пространства аимеем

Отображение аудовлетворяет, следовательно, словию

Чтобы доказать, что выполняется и словие адля любыха аи аусловиями a), получим тогда

откуда

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в аявляется аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ ффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если аего неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством

С другой стороны, если аконечномерно и

Доказательство. Если фиксировать точку агде

Если аравносильно

Если аинъективно и потому в случае конечной размерности абиективно; в атакая, что аоткуда следует второе утверждение.

Важное замечание. Если а

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

ффинные и полуаффинные группы.

Если аи а-а два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то атакже есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть ффинные (соотв. полуаффинные) биекции ана аобразуют группу, которую мы обозначаем а(соотв. а(линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм

Наконец, для любой точки ав аограничение ана группу изотропии точки а(соотв.

Последнее тверждение получим, выбирая

Следствие. Если аесть подгруппа в а(соотв. в

В частности, если ато аесть инвариантная подгруппа в .

Если аесть инвариантная подгруппа в и центральными симметриями.

Если гомотетиями, то дилатаций.

Пусть агде В этом случае аимеет единственную неподвижную точку аопределяемую из условия агде авыражается как Такое отображение называется гомотетией с центром аи коэффициентом

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии асоставляют инвариантную подгруппу группы дилатаций

Если основное тело акоммутативно, то группа аявляется инвариантной подгруппой группы

Проектирования

Назовем проектированием апространства

Рис. 2

Для такого отображения любая точка

Предложение 5.8. Отображение аявляется проектированием, если существует ВПП апространства ав ас направляющим подпространством адополнительным к аее образ аесть точка пересечения ас ЛАМ, проходящим через ас направлением а(рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть

Для того, чтобы аффинное отображениеа абыло инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если абудет середина отрезка атаким образом, эта точка инвариантна при отображении аи, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10. Отображение аявляется аффинной симметрией, если существуют ВПП апространства аи ЛАМ атакие, что для любой точкиа(см.рис.2)

1).

2). Середина

Если асводится к одной точке ато аи аесть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему аесть ВПП в аи а два аффинных пространства в адополнительны к Обозначим через ана а(соотв.Тогда, как легко видеть, аявляется аффинной биекцией ана аточки аопределяется словиями аи а(см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что становленное

Рис.3

указанным способом соответствие между аи аявляется аффинным.

В частности, если авекторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

з6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова апозволяет отождествить ас атеперь мы докажем, что аизоморфного

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке аотображения

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть алевое векторное пространство над телом аотображений ав апо отношению к обычным операциям сложения функций и множению их слева на скаляры:

В силу доказанного искомое векторное пространство абудет ВПП в а порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1. Пусть а векторное подпространство в апуст, далее, аэлемент из

). Сумма азависит только от функции аи притом линейно, т.е. является линейным отображением ав акоторое мы обозначим

Б). Если ато существует единственная точка

В). Если ато апостоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что тверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек ано оно легко вытекает из того факта, что для любой пары авыполнено соотношение

(1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если авыберем в апроизвольную точку Соотношение (1) показывает, что в асуществует единственная точка атакая, что аона определяется условием Из (1) также видно, что эта точка - единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства азависит только от функции

В). Наконец, последнее тверждение также вытекает из (1).

Следствие. аявляется теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть аотображение аи пусть ав акоторое любому вектору аставит в соответствие постоянную функцию, равную ана

Тогда ффинно с линейной частью аесть аффинная гиперплоскостьав ас равнением а

Доказательство. Для любой пары аразность ффинно, аи аинъективно, как и

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции асуть элементы аудовлетворяющие условию

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству

Векторное пространство аизоморфное

Ненулевую линейную форму ана

Аффинную инъекцию а- аффинная гиперплоскость в

Доказательство. Остается только становить изоморфизм между аи а путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки

Заметим, что аффинная гиперплоскость аимеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость апостоянных функций, которая отождествляется с

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве аможно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение аединственным образом определяемое заданием

Обозначения. Векторное пространство аи обозначается

Если аимеет размерность ато размерность аравна а Мы видим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

з7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям з6. Инъекция ас аффинной гиперплоскостью ав апозволяет отождествить

Предложение 7.1. Пусть

Доказательство. Это вытекает из соотношения а

Правило. Отождествление ас подмножеством в а аэлементов

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки аиз абыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры атакие, что

и (1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению а аи возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если ато барицентром системы аявляется точка пересечения с авекторной прямой с направляющей ав

3). Для того чтобы семейство аточек из абыло аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство абыло свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве

В частности, аффинный репер аявляется базисом

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с становления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть а(соответственно а(соответственно

) Если а- линейное отображение, такое, что ана аесть аффинное отображение ав ана

Б) обратно, если а- аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение асовпадает с

Доказательство.

) Если алинейно и аимеем и ана ффинно с линейной частью

Б) Обратно, пустьав аи обозначим через а(соответственно а(соответственно а

2. Ограничения ана аравно линейной части

Но существует единственное линейное отображение аиз ав аопределено своими ограничениями на дополнительные ВПП аи апространства ана а- есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и ато же значение, что и а откуда вытекает доказываемый результат.

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями ав аи линейными отображениями ав

С другой стороны, если

Рис.4

Наконец, если а- автоморфизм аи а- аффинная гиперплоскость в авлечет равенства аесть аффинная гиперплоскость в II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в

Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть а- векторное пространство, а- аффинная гиперплоскость в а Существует изоморфизм группы аффинных биекций ана стабилизаторе ав а(подгруппу

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, а- векторные продолжения аффинных пространств а- образы апри канонических погружениях ав апространства аотождествляется с подгруппой

Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство аимеет конечную размерность аможно выбрать базис атак, что апри аи аесть декартов репер в ас началом а(рис 4).

В этом случае аявляется множеством точек ав базисе апространства

(2)

где а- квадратная матрица порядка ас матрицей (2) соответствует аффинное отображение аимеет форму

а, (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм ас матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций апринадлежит

В частности, группа аффинных биекций атела аизоморфна подгруппе в

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через адва аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами анад произвольными телами ав

Теорема 8.1. Допустим, что абыло полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно довлетворяло следующим двум словиям:

1. Образ любой аффинной прямой из абыл аффинной прямой в

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость словия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что аудовлетворяет словиям 1) и 2).

). Образы при адвух различных прямых аиз асуть также две различные прямые.

В самом деле, пусть а- прямые в а-а две различные точки их общего образа. Тогда прообразы аточек аи аи аодновременно и различны (в силу иньективности

Б). Отображение ане зависит от выбора

В самом деле, пусть другая точка аи атаковы, что

а параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ

Если точки апринадлежат одной прямой апозволяет выбрать в атак, что

откуда

Отображение аобозначаем отныне просто

В). Отображение аинъективно и удовлетворяет словию

(1)

Инъективность асразу следует из инъективности авыберем в атакие точки аи

Д). Существует отображение

(2)

Доказательство. Достаточно найти авыберем ав атак, что аи аколлинеарны, то коллинеарны и векторы ане зависит от вектора а(по предположению ненулевого).

1). Если ас направляющими

Для любого

откуда в силу неколлинеарности а

2). Если апозволяет выбрать так, что пары аи асвободны. Отсюда находим, что

Так для каждого аотображение аесть константа, мы обозначим ее через

Е). Отображение аявляется изоморфизмом тел.

Выбрав аи авлекут (с четом

аи

т.е. показывают, что а- гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки аотображение аесть биекция ана прямую ана абиективно.

Итак,

Случай плоскости.

Если адвумерны, то словие 2) в теореме 8.1 следует из словия 1) и инъективности

Следствие. Если

Замечание. словия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если аесть прямая, параллельная адилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть

1). Образ любой прямой в абыл прямой в

2). Аффинное подпространство в

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что аудовлетворяет словиям 1) и 2).

Лемма 1. Если аесть ЛАМ в а

Доказательство. Пусть аи аесть по словию 1) образ прямой асодержится в

Лемма 2. Если аи множество анепусто, то оно является ЛАМ в

Доказательство. Результат очевиден, если асводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек апрямая асодержится в асогласно 1). Таким образом, прямая аи теорема 4.8 показывает, что аесть ЛАМ.

Лемма 3. Для любой непустой части апространства

(1)

Доказательство. аесть ЛАМ в аесть ЛАМ в

налогично, по лемме 2, адает

Окончательно получаем равенство (1).

Лемма 4. Пусть а а-а прямая, то и

Доказательство. Мы можем предположить, что аесть ЛАМ размерности 2 в адругой прямой; по леммам 2и 3, аесть ЛАМ размерности

). Покажем сначала, что

Допустим, что аи адействительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки аи аи полагая по-прежнему

и аналогично

откуда

Поскольку сформулированное утверждение при ане имеют общих точек.

Б). Предположим, что аимеет размерность 2.

Если бы на прямой

Значит, а- две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

В). Если асводится к одной точке, то меняя ролями

Лемма 5. Если

непусты, то аи

Доказательство. По лемме 2, аи асуть ЛАМ в аобозначим через апрямая

Меняя ролями аи аимеют общее направление.

Лемма 6. Обозначим через аобщее направление непустых ЛАМ в авида апо отношению эквивалентности

Тогд аявляется аффинной.

Доказательство. Выбор начала ав асводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству II.4.3, приняв точку аза начало в

Отметим, что ана

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение аполуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность авытекают из того, что соотношение

Пусть аесть ЛАМ в

По лемме 3,

Наконец,

Отсюда следует, что аиз аполуаффинно и так же обстоит дело с

Теорема 9.1 тем самым полностью становлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела аи аили апространства ав

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии словия 2): ведь любое отображение

Так же и в случае аусловие 1) выполнено для любого отображения ав аи

Наконец, нельзя заменить требование лобраз прямой есть прямая или точка более слабым словием лобразы коллинеарных точек коллинераны, даже при словии, что биективно.

Например, аесть биекция векторного пространства аи