Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте
Применение тройных и кратных интегралов
Министерство общего и профессионального
Иркутский государственный технический
Кафедра высшей математики.
Реферат
Применение тройных или кратных
интегралов.
Иркутск
Содержание
I
II.
1. Декартовы координаты.
) Пример.
2. Цилиндрические координаты.
3. Сферические координаты.
) Пример.
4. Применение тройных интегралов.
I
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область 
Единица измерения плотности - кг/м3.
|
|
Разобьем тело произвольнным образом на
Предел этой суммы при снловии, что 
Сумма (*) называется
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
где
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствуюнщей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулинруется и теорема существования тройного интеграла.
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подыннтегральная функция
Потому свойства
V 1
то
где
VI 1
II.
Вычисление тройного
1. Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл от функции
причем область
В соответствии с этим будем писать
Установим теперь правило для вычисления
Будем считать, что область интегрирования
Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху.
Она касается области
Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область
Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси О
Результат интегрирования представляет собой величину, завинсящую от точки(х, у
При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постояые.
Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции
Таким образом, тройной интеграл
Приводя, далее, двойной интеграл по области
где
Мы видим, что вычиснление тройного интеграла по области
Формула (*) сохраняетнся и для областей, имеюнщих цилиндрическую форнму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхнонстью с образующими, параллельными оси О
|
|
Если областью интегрирования служит внутренность
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси
|
|
) Пример.
Вычислим тройной интеграл
где
и плоскостью 
Интегрирование по
Расставим теперь пределы интегрирования по области
2. Цилиндрические координаты.
Отнесём область
|
|
Разобьем область
Преобразование тройного интеграла 
Получим
Если, в частности, 
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по
3.
Отнесём теперь область интегрирования
|
|
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко станавливается. Из рис.6 имеем
Отсюда
Разобьем область
|
|
|
|
Заменив в тройном интеграле 
Особенно добно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование
Если
A)
Применение тройных интегралов.
Для вычисления координнат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Ох
Если тело однородно, т. е. 
где
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара
Две координаты центра тяжести 
Интеграл 
Так как объём полушара равен 
Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки
налогично плоскому случаю интегралы
называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид
Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знанком интеграла будет находиться дополнительный множитель 
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса
где Чмасса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей коорндинат, очевидно,
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело
Возьмем какую-нибудь окрестность 
где 
т.е.
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной гловой скоростью, равна половине квадрата гловой скорости, множенной на момент инерции тела относительно оси вращения.
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант,И.Г. Араманович.