Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Скачайте в формате документа WORD


О квази генетическом коде

Творческая группа юных математиков - программистов, руководимая Братом Михаилом Шишигиным.

(Церковь Христа Спасителя)

О КВАЗИ ГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ

Приводится класс полимино, моделирующий фундаментальное свойство генетического кода, именно то, что 20 различных аминокислот, входящих в структуру белков, образованы из 4 различны нуклеотидов. Этот класс полимино назван квазигенетическим кодом.

Вводятся нарные операции < -, -1, * > над матрицами 4*2


a1

a2

W =

b1

b2

c1

c2

d1

d2

состоящими из элементов 0, 1, 2, 3, именно:


a2

a1

4 - a2

4 - a1

2 - d1

2 - d2

W= -

b2

b1

=

4 - b2

4 - b1

W-1 а

=

2 - c1

=

- c2

c2

c1

=

4 - c2

4 - c1

,

2 - b1

2 - b2

d2

d1

4 - d2

4 - d1

2 - a1

2 - a2

=

2

2

──

d1

d2

2

2

c1

c2

,

2

2

b1

b2

2

2

a1

a2

W* =а (W)-1, a + b = (a + b)(mod 4), a - b = (a - b)(mod 4),

a, b Î { 0, 1, 2, 3}.


W = W, (W-1) = (W)-1.

Используя введенные операции над матрицами 4*2, элементы квазигенетического кода можно записать так:

a, b, g, d, l, t, a, b, аg, аd, a-1, b-1, g-1, d-1, l-1, t-1, a*, b*, g*, d*, где

аa =

3

1

b=

3

2

аg =

3

1

2

1

2

0

1

3

0

1

0

1

2

1

1

3

1

3

0

1

2

1

l =

3

1

аt =

3

1

d =

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

3

1

О КВАЗИГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ

Положим, что прямоугольник размерома 4*2а должен быть покрыт прямоугольниками размерома 2*1 (домино). Причём, нечётное число домино должно выходить за пределы как стороны AB, так и стороны CDа (рис. 1).

B
C
A
D

Рис. 1

Покрытие, в котором домино, выходящие за пределы сторона AB и CD, однозначно определяют структуру покрытия прямоугольника ABCD, назовём жестким покрытием. Например, покрытие a) (рис. 2.) является жестким, покрытия b) и c) (рис. 2.) такими не являются.

B
C
B
C
B
C
A
D
A
D
A
D

a)

b)

c)

Рис. 2

Прямоугольник размерома 4*2n аразобьём вертикалями на аn апрямоугольников шириной в длину домино, которые пронумеруем слева направо и назовём шагами. Множество жестких покрытий прямоугольника размерома 4*2а назовём квазигенетическим кодом. Покрытие прямоугольника размером 4*2n, при котором покрытие каждого шага представляет собой жесткое покрытие, назовём квазигенетическим покрытием.

Будем считать, что клетка прямоугольник ABCDа находится в состоянии 0, 1, 2, 3, если она покрыта домино, ориентированным соответственно вверх, вправо, вниз, влево.

0

3

1

2

Рис. 3

Матрицу размерома 4*2, соответствующую жесткому покрытию прямоугольника ABCD будем называть квазинуклеотидной матрицей, либо квазинуклеотидом. Матрицу размером 4*2n , соответствующую квазигенетическому покрытию прямоугольника размером 4*2n , будем называть белковой матрицей.

Методом последовательного исключения (перебором) можно показать, что существуют 20 различных, жестких покрытий прямоугольника ABCD. в Таблице 1 приведены все 20 жестких покрытий прямоугольник 4*2 и соответствующие им квазинуклеотидные матрицы.

Таблице 1


3

1

3

2

3

1

a=

2

1

b=

2

0

g =

1

3

0

1

0

1

2

1

1

3

1

3

0

1

b=

2

1

2

1

0

2

d =

0

1

3

0

3

1

1

3

1

3

b*=

1

3

d-1=

1

3

3

2

3

1

2

0

2

1

0

1

0

1

1

3

b-1=

1

3

g-1=

2

1

a-1=

2

1

2

1

0

1

0

1

0

2

1

3

3

1

3

0

3

1

3

1

3

2

3

1

a =

3

2

d =

3

0

l =

3

1

3

0

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

l = l

3

1

3

1

3

2

g =

1

3

аt =

3

1

g*=

3

0

3

2

1

3

1

3

3

0

3

1

3

1

3

1

аt-1 =

1

3

аt-1 =а t* , t = tа, l-1 = l*

3

1

3

1

l-1 =

1

3

1

3

1

3

a*=

3

2

d*=

3

1

3

1

3

0

3

2

3

1

3

1

3

0

3

1

Пусть записи a + b, a - bа обозначают (a + b)(mod 4), (a - b)(mod 4), где

a, b Î { 0, 1, 2, 3}.

Введём нарные операции < -, -1, * > над матрицейа 4*2


a1

a2

W =

b1

b2

c1

c2

d1

d2

,

состоящей из элементов 0, 1, 2, 3.

Положим


a2

a1

4 - a2

4 - a1

2 - d1

2 - d2

W= -

b2

b1

=

4 - b2

4 - b1

W-1 а

=

2 - c1

=

2 - c2

c2

c1

=

4 - c2

4 - c1

,

2 - b1

2 - b2

d2

d1

4 - d2

4 - d1

2 - a1

2 - a2

W =а W, (W-1)-1 =а W.

=

2

2

──

d1

d2

2

2

c1

c2

,

2

2

b1

b2

2

2

a1

a2

а2 +а d2

d1

2 +а c2

2 +а c1 а.

2 +а b2

2 +а b1

2 +а a2

2 +а a1

Положим

W* а=

W* =а (W)-1,


Нетрудно показать, что W = W, (W-1) = (W)-1, (W-1)-1 =а W.

Используя введенные операции над матрицами 4*2, квазинуклеотидные матрицы можно записать така (см. Таблицу 1) :

a, b, g, d, l, t, a, b, g, d, a-1, b-1, g-1, d-1, l-1, t-1, a*, b*, g*, d*.

Введём понятие генетической информации белковой матрицы. Последовательность из количества единичных элементов в правых столбцах квазинуклеотидных подматриц белковой матрицы будем называть генетической информацией. Например, на рис. 4 показано квазигенетическое покрытие прямоугольника размером 4´22, которому соответствует белковая матрица с генетической информацией 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

3

3

1

3

3

1

3

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

2

2

1

3

1

3

0

0

1

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

1

3

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

2

1

3

1

3

2

0

1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

3

0

2

3

b

a

l

d

d

l

a

g

t-1

g

a

Рис. 4

Используя жёсткость паковки квазигенетического покрытия, можно показать, что квазигенетическийа код обладает высокой помехоустойчивостью.

Предложение 1. По двум любым строкам квазигенетического покрытия прямоугольника, размером 4´2n (n>1), можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.

Предложение 2. Зная жёсткие покрытия на нечётных шагах квазигенетического покрытия прямоугольника размером, 4´2(2k+1), можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.

Дальнейшие исследования должны показать плодотворность идеи квазигенетического кода.

Приложение.

2

1

3

1

3

1

3

2

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

2

2

1

3

1

3

0

0

1

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

1

3

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

2

1

3

1

3

2

0

1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

3

0

2

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

2

2

1

3

1

3

0

0

1

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

1

3

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

2

1

3

1

3

2

0

1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

3

0

2

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

2

2

1

3

1

3

0

0

1

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

1

3

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

2

1

3

1

3

2

0

1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

3

0

2

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

2

2

1

3

1

3

0

0

1

3

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

1

3

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

2

1

3

1

3

2

0

1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

3

0

2

3