Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Алгебраические системы

Оглавление

Введение. 3 

§1. Алгебра и алгебраические системы.. 5 

п.1. Бинарные и n-местные операции. 5 

п.2. Понятие алгебры. 6 

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции. 7 

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел. 7 

п.2. Теоремы математической индукции. 7 

п.3. Основное свойство ассоциативных операций. 9 

§3. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Подгруппы.. 11 

п.1. Понятие группы. 11 

п.2. Примеры групп. 12 

п.3. Простейшие свойства групп. 15 

п.4. Гомоморфизмы групп. 17 

п.5. Изоморфизмы групп. 18 

п.6. Подгруппы. 19 

§4. Подстановки. 21 

п.1. Симметрическая группа степени n. 21 

п.2. Чётные и нечётные подстановки. 21 

п.3. Знак подстановки. 23 

п.4. Разложение подстановок. Произведение циклов. 25 

§5. Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел. 28 

п.1. Понятие кольца. 28 

п.2. Примеры колец. 28 

п.3. Простейшие свойства кольца. 30 

п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. 31 

п.5. Подкольца. 31 

п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел. 32 

§6. Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел  34 

п.1. Определение поля. 34 

п.2. Простейшие свойства поля. 34 

п.3. Подполе. 36 

п.4. Поле рациональных чисел. 37 

§7. Поле комплексных чисел. 38 

п.1. Построение поля комплексных чисел. 38 

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. 39 

п.3. Операция сопряжения. 40 

п.4. Модуль комплексного числа. 41 

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. 42 

п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. 44 

п.7. Показательная форма записи комплексного числа. 46 

п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. 47 

п.9.  Корни из комплексных чисел. 47 

п.10. Мультисекция. 49 

п.11. порядоченные поля. 50 

§8. Перестановки. 52 

п.1.  r- перестановки...............................................................................................................52

п.2.  r -элементные подмножества (r - сочетания)...............................................................53

п.3.  Перестановки с повторениями......................................................................................54

Задачник.............................................................................................56

Заключение. 67 

Литература. 68 

 

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве  называется ото­бражение прямого произведения .

Другими словами: если каждой порядоченной паре элементов мно­жества  поставлен в соответствие единственный элемент из , то гово­рят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

1)  Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

2)   Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

3)   Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве  и паре  ставится в соответствие элемент  (то есть ), то вместо записи  пишут , то есть имеем  . Элемент  называется компози­цией элементов .

Определение. Пусть . Отображение  назы­вается - местной операцией на множестве . Число - ранг опера­ции.

Определение. Нульместной операцией на множестве  называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число  назы­вается рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются нарными опера­циями. Другими словами: нарная операция каждому элементу из множе­ства  ставит в соответствие элемент из множества , то есть нарная опе­рация – это отображение множества  во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

1)  Пусть - множество натуральных чисел

 - нарная операция

 - не является нарной операцией

2)  На множестве высказываний операция :  - нарная опера­ция

3)  На множестве подмножеств ниверсального множества операция до­полнения – нарная операция.

Определение. Отображение из множества  называется частич­ной - местной операцией на множестве , если область определе­ния отображения не совпадает с .

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра , где , - множество опера­ций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что за­дано множество и заданы операции.

Пример.

1)  Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

2)   Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций  и .

Определение. Алгебра  называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это порядоченная тройка , где , - множество операций на ; - мно­жество отношений на .  

§2. Система натуральных чисел. Принцип математиче­ской индукции. Теоремы математической индукции 

Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) назы­вается алгебра , где - бинарные операции, - нарная опе­рация (функция «следования»), - выделенный элемент в множестве , для которой выполнены следующие аксиомы:

1. Для ,  (элемент  называется следующим за ).

2. Для , , .

3. , .

4. Для , .

5. , .

6. Для , .

7. Аксиома индукции: Пусть . Если множество  удовлетворяет словиям:

) ;

б) для , ;

то .

Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из ак­сиом системы не является следствием других аксиом.

Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свой­ства натуральных чисел.

  

п.2. Теоремы математической индукции.

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2.  (- истина ® - истина).

Тогда предикат  тождественно истинен на .

Доказательство. Обозначим через  множество всех тех , для которых  истина. Проверим, что  удовлетворяет словиям аксиомы индукции.

Т.к. - истина, то .

Если , то - истина и по второму словию теоремы индук­ции - истина. Поэтому .

Множество  удовлетворяет словиям аксиомы индукции. Поэтому .

Обозначение. Множество целых чисел  состоит из натуральных чисел, нуля и чи­сел противоположных натуральным.

Для   обозначим  .

Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индук­ции). Пусть - одноместный предикат на , где , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2.  (- истина ®- истина).

Тогда предикат  тождественно истинен на .

Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической ин­дукции). Пусть - одноместный предикат на , который довлетво­ряет словиям:

1. - истина.

2.  (- истины® - истина).

Тогда предикат  тождественно истинен на .

Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2.  (- истины ® - истина).

Тогда предикат  тождественно истинен на .

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

Теорема. Если бинарная операция  на множестве  ассоциативна, то   при любой расстановке скобок, задаю­щих порядок выполнения операций  в произведении  значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зави­сит от способа расстановки скобок.

Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим твержде­ния теоремы для  и .

Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единстве­нен.

Для  произведение  может быть вычислено двумя спо­собами:  или . В силу ассоциативности - эти произведения равны.

Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где .

Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении , такое произведение есть произведение двух скобок  (1), где . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке  множите­лей, то по индукционному предположению значение произведения в скоб­ках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведе­ние (1) можно записать в виде  , применяя закон ассо­циативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно   и так далее продолжая, получим , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.