Иррациональные неравенства

Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство обобщенным методом интервалов или методом рационализации.

Задание 1.

Решить неравенство:

Решение:

Какая информация заложена в самом неравенстве?

, верно? Ведь подкоренное выражение не может быть отрицательным (имеется ввиду корень четной кратности).

Мы сохраним эту информацию.

Неравенство равносильно системе:

Обратите внимание, – нет необходимости указывать и ! Ведь об этом уже сказано в системе.

Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:

Итак,

Ответ:

Задание 2.

Решить неравенство:

Решение:

Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:

Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).

Ответ:

Задание 3.

Решить неравенство:

Решение:

Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.

Будем рассматривать два случая:

Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:

Тогда мы видим следующее:

Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.

То есть мы получаем верное неравенство на области его определения ().

Значит, перед нами система:

Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:

Первая система решений не имеет:

А решение второй системы графически выглядит так:

Поэтому

Ответ:

Задание 4.

Решить неравенство:

Решение:

Перепишем неравенство вот так:

Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на ! Мы же не знаем знак этой суммы.

Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:

Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности:

То есть решение данного неравенства –

Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности равносильно системе:

Откуда

То есть система не имеет решений.

Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:

Откуда

Ответ: .

Задание 5.

Решить неравенство:

Решение:

Как и в предыдущем задании выносим общий множитель за скобку:

или (после домножения на -1 обеих частей):

Теперь мы рассуждаем так: Первый множитель у нас неотрицателен. Если он равен нулю, то неравенство будет верным (на своей области определения) независимо от того, какой знак у второго множителя Если первый множитель больше нуля, то неравенство будет верным (на своей области определения) в случае неположительности второго множителя.