Введение в общую топологию и топологическую алгебру
| Вид материала | Документы |
- Ответы на экзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): 154. Введение, 283.97kb.
- 1. Введение в алгебру логики Прямое произведение множеств. Соответствия и функции., 38.38kb.
- Введение в общую психопатологию, 1124.11kb.
- Ю. Б. Введение в общую психологию. М., 2000. Лекция, 413.91kb.
- Русский Гуманитарный Интернет Университет Библиотека Учебной и научной литературы, 207.98kb.
- Гиппенрейтер Ю. Б. Неосознаваемые процессы, 194.94kb.
- Тема Введение в общую психологию Тестовые задания, 641.55kb.
- Дисциплина: общая психология (введение в общую психологию) Кредит, 79.05kb.
- Ю. Б. Введение в общую психологию. М., 2000. Лекция, 500.08kb.
- Лекции по математической логике тема. Введение в алгебру логики Лекция Историческая, 347.51kb.
ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ ТОПОЛОГИЮ И ТОПОЛОГИЧЕСКУЮ АЛГЕБРУ
с.н.с. О.В. Сипачева
1 год, 1-3 курс
1. Множества. Система аксиом ZFC теории множеств. Порядок. Мощность множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Сравнимость мощностей произвольных множеств. Лемма Цорна.
2. Топологическое пространство. База топологии. Примеры топологических пространств. Аксиомы отделимости и аксиомы счетности. Компактные пространства.
3. Подпространства топологических пространств. Основные операции на топологических пространствах: пересечение, объединение и произведение. Непрерывные отображения.
4. Метрика. Метризуемые топологические пространства. Пример неметризуемого пространства с первой аксиомой счетности.
5. Топологические группы и универсальные алгебры. Примеры топологических групп. Однородность топологических групп. Основные операции на топологических группах и топологические подгруппы.
6. Факторные отображения. Топологические фактор-пространства и фактор-группы.
7. Зависимость алгебраических свойств от топологических и наоборот. Строение компактных групп. Пример нетопологизируемой группы.
8. Система аксиом, определяющих базу окрестностей единицы топологической группы.
9. Нормы и полунормы на группах. Семейства полунорм, определяющих топологию.
10. Метризуемость групп счетного характера.
11. Основные кардинальные инварианты топологических пространств и соотношения между ними в топологических пространствах и группах.
12. Поведение кардинальных инвариантов при непрерывных отображениях и при переходе к подпространствам и подгруппам, к фактор-пространствам и фактор-группам и к произведениям пространств и групп.
13. Равномерные пространства. Равномерности на топологических пространствах и группах. Примеры равномерных пространств.
14. Полные равномерные пространства и топологические группы. Пополнения пространств и групп. Абсолютная замкнутость и полнота.
15. Подгруппы и фактор-группы полных групп. Полнота и непрерывные гомоморфизмы. Полнота групп, являющихся прямыми пределами последовательностей полных подпространств.
16. Свободные топологические группы и универсальные алгебры: подход Мальцева. Доказательство существования свободных топологических групп.
17. Основные свойства свободных топологических групп. Компактные подмножества свободных топологических групп и свободные группы компактных пространств.
18. Явное описание топологии свободных абелевых топологических групп. Продолжение непрерывных псевдометрик на топологическом пространстве до непрерывных полунорм на свободной абелевой топологической группе.
19. Граевское продолжение псевдометрик на свободные группы.
20. Вложения и полнота свободных топологических групп.
21. Топологические векторные пространства. Локально выпуклые пространства. Примеры. Нормы на векторных пространствах. Функциональные пространства.
22. Свободные локально выпуклые пространства. Сравнение их свойств со свойствами свободных топологических групп.