Главная
/ Ответы на экзамены / геометрия - 9 класс
| Окружность, описанная около треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. [П] Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности (рис. 30). Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров.  Доказательство. Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. [А] Теорема об окружности, описанной около треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность. Дано: АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31). Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС. Доказательство. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, тоОА = OB — ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC. Замечание. Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.  • Перейти к списку вопросов »
|