< Предыдущая   Оглавление   Следующая >

5.4. Асимметрия и эксцесс

Кроме рассмотренных числовых характеристик применяется и ряд других вероятностных характеристик, каждая из которых описывает определенное свойство распределения.

Так, третий центральный момент //3 характеризует степень асимметрии кривой распределения относительно математического ожидания, но для удобства за характеристику асимметрии принимают безразмерную величину, называемую коэффициентом асимметрии а:

При одномодальном распределении асимметрия положительна (а>0), если мода Мо(х) находится влево от среднего значения М(х), и отрицательная (а<0), если мода Мо(х) находится вправо от среднего значения М(х) (рис. 5.4). При симметричном распределении а =0.

Рис . 5.4. Распределение плотности вероятности при различных значениях коэффициента асимметрии

Четвертый центральный момент //4 определяет свойство островершинности кривой распределения. За характеристику этого свойства принимают безразмерную величину г, называемую коэффициентом эксцесса:

При симметричном одномодальном распределении эксцесс обычно положителен (г>0), если кривая распределения островершинна, и отрицателен (г<0), если кривая распределения плосковершинна.

По величине коэффициентов асимметрии и эксцесса можно сделать допущение, например, о нормальности распределения изучаемой случайной величины, хотя это требует более строгой проверки. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Распределение плотности вероятности с различными коэффициентами эксцесса

5.5. Примеры законов распределения случайных величин

5.5.1. Закон нормального распределения

Закон нормального распределения находит большое применение в различных отраслях техники. Этому закону подчиняются многие непрерывные случайные величины, встречающиеся в технике, например ошибки измерения, высота микронеровностей обработанной поверхности и многие другие. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X представляет сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин х,, х,, х", влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются слагаемые х,, х,, х", сама величина X будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Этот вывод имеет большое практическое значение.

Теорема Ляпунова дает теоретическое объяснение и тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распределения, так как результирующую погрешность обработки можно представить как сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки.

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины непрерывного типа, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следующий вид:

где х - переменная случайная величина; (р(х) - плотность вероятности; о - среднее квадратичное отклонение случайной величины

х от X ; X - среднее значение (математическое ожидание) величин х; е - основание натуральных логарифмов, е = 2,71828.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде кривой колоколообразного типа (рис. 5.6). Из вида кривой нормального распределения следует, что она симметрична относительно ординаты точки х = X . Меньшие отклоне-

Рис. 5.6. Теоретическая кривая нормального распределения

Рис. 5.7. Влияние среднего арифметического X и среднего квадратичного ơ значений на положение и форму кривой нормального распределения

ния от X более вероятны, чем большие. Большие отклонения от центра группирования маловероятны.

Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами А1 и ст. С изменением А1 форма кривой не изменяется, но изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 5.7, а). С изменением о положение кривой не изменяется, но изменяется ее форма. С уменьшением о кривая становится более вытянутой, а ветви ее сближаются; с увеличением о; наоборот, кривая становится более приплюснутой, а ветви ее раздвигаются шире (рис. 5.7, б).

Интегральный закон нормального распределения выражается следующим уравнением:

Вид интегральной кривой нормального распределения представлен на рис. 5.8.

Если случайная величина следует нормальному закону и может принимать любые численные значения в пределах (-со, +со), то

Таким образом, вероятность появления случайной величины вне указанного интервала не превосходит ц = 1 - Р = - 0,9973 = 0,0027, т. е. очень мала. Следовательно, в качестве практически предельного поля рассеивания со для закона нормального распределения можно принять интервал в 6а, т. е. со= 6а.

Если X =0, т. е. совпадает с началом координат, то уравнение (5.31) примет вид

Закон нормального распределения является симметричным относительно ординаты точки х = X.

Как уже отмечалось, для оценки отклонений эмпирического распределения от нормального используются безразмерные характеристики: коэффициент асимметрии а и коэффициент эксцесса г.

Мера асимметрии вычисляется по формуле (5.29) или по формуле

где п - объем совокупности.

Мера эксцесса распределения вычисляется по формуле (5.30) или по формуле

Рис. 5.8. Кривая интегральной функции нормального распределения

Вероятность Р(-оо< х< +".) = I представляет собой площадь под дифференциальной кривой нормального распределения.

Вероятность значений х в любом другом интервале (*,, х2) (см. рис. 5.6) меньше единицы и будет равна

Произведем замену переменной х на / путем подстановки

х - X х - X Новые пределы интегрирования/, =-!- и/, =-2- заменили пределы х, и х2. Правую часть уравнения (5.35) можно представить в виде суммы двух интегралов:

Знак плюс в уравнении (5.36) изменился на минус вследствие изменения пределов интегрирования с /, - 0 на 0 - /,.

< Предыдущая   Оглавление   Следующая >