Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат физико-математических наук
Автор Панов, Евгений Валерьевич
Место защиты Москва
Год 2010
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков"

003493340

На правах рукописи

Панов Евгений Валерьевич

ОЦЕНКА КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ РАЗЛИЧНОЙ ЧАСТОТНОСТИ И ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

Специальность 08.00,13 - Математические и инструментальные методы

экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

003493340

Работа выпонена в Государственном университете - Высшей школе экономики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, Шведов Алексей Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Завриев Сергей Константинович кандидат физико-математических наук Катышев Павел Константинович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН

Защита состоится 10 г. в СО часов на заседании

диссертационного совета Д 002.013.02 Учреждения Российской академии наук

Центрального экономико-математического института РАН по адресу: 117418, г. Москва, Нахимовский проспект, д. 47, ауд. 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.

Автореферат разослан л0 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

С.В. Борисова

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследователи часто встречаются с необходимостью работать с временными рядами различной частотности. К примеру, с макроэкономическими данными и данными с финансовых рынков. Одним из возможных подходов при построении эконометрических моделей в этом случае является прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потере значительной части информации, поскольку остающиеся после прореживания наблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемых величин. Поэтому при работе с данными различной частотности актуальным является вопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей таким образом, чтобы не терять информацию, т.е. каким-нибудь образом обойтись без прореживания. Это, к примеру, возможно для случая линейной регрессии (см. [Ghysels, Santa-Clara, Valkanov, 2002]1 и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007]2) или для оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации (см. [Ghysels, Jasiak, 1997]5).

Такая ситуация показана на Рис. 1 для двух величин (условно обозначенных Z; и Z;), наблюдаемых в различные (нерегулярные) моменты времени. Прикладные задачи, требующие оценок, основанных на данных различной частотности, являются примерами задач, в которых данные могут быть смоделированы как последовательность случайных векторов, не все компоненты которых известны во все моменты времени.

Рис. I. Пример величин, зависящих от времени и наблюдаемых с различной частотностью

1 Ghysels, E., Jasiak, J. GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCH Model // Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).

2 Ghysels, E., Sinko, A., Valkanov, R. MIDAS Regression: Further Results and New Directions// Econometric Reviews. 2007. Vol. 26 (1.1). PP. 53-90.

3 Ghysels, EД Jasiak, J. GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCH

Model // Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).

Использование данных различных частотностей сопряжено с определёнными трудностями. Дело в том, что многие оценки из области анализа временных рядов для такого рода данных не предназначены. В недавнее время в этом направлении было получено несколько результатов. К примеру, так были обобщены оценки коэффициентов линейной регрессии или оценки параметров СЛЯСИ-процесса с некоторым изменением спецификации.

Вопросам оценивания асимптотических ковариационных матриц посвящено большое число научных работ в области эконометрики и спектрального анализа. Классическими трудами, описывающими подходы к решению данной проблемы, являются работы М. Пристли, М. Бартлетта, У. Ньюи, К. Веста, Д. Эндрюса, П. Филипса, У. Ден Хаана, А. Левина, X. Уайта, Э. Парзена, П. Даниэла и др. С современными подходами к оцениванию некоторых параметров в случае временных рядов различной частотности можно ознакомиться в работах Э. Гайсеса, Р. Ваканова, А. Синько и др.

В данной работе получено обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности. Такая оценка автоматически может обобщить на этот случай и методику оценки коэффициента бета для российских акций второго эшелона РТС, и оценки коинтеграционного вектора, и метод главных компонент, и многие оценки из области многофакторного статистического анализа (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564]"). В третьей главе работы описана методика оценки коэффициента бета - меры систематического риска, актуапыюй для российских акций второго эшелона РТС.

Основные цели работы. Целями исследования являлись: обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности; а также, как один из примеров её применения, оценивание коэффициента бета для российских акций второго эшелона РТС, сдеки по которым происходят нерегулярно - зачастую реже одного раза в день.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. получение формулы для обобщенной оценки асимптотической ковариационной матрицы Ньюи и Веста на случай временных рядов различной частотности;

2. доказательство теорем о том, что полученная оценка обладает всеми свойствами оценки Ньюи и Веста (положительная полуопределённость и состоятельность);

4 Айвазян, С.А., Мхитарян, B.C.: Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнита, 1998

3. вывод формулы лусечённого спектрального ядра для данной оценки, которое бы существенно облегчило расчёты, обобщая т.н. квадратическое спектральное ядро, признанное наиболее эффективным в своём классе;

4. доказательство свойств предложенного ((усечённого ядра (сходимости к квадратичному спектральному ядру и гарантии положительной полуопределённости);

5. численное исследование свойств предложенной оценки и предложенного ядра;

6. создание прототипа методики оценки коэффициента бета для акций второго эшелона РТС.

Научная новизна исследования заключается в разработке новых методов оценок для временных рядов различной частотности. Главный результат работы - это обобщение оценки, определённой лишь для временных рядов одинаковой частотности, на случай рядов различной частотности и теоремы о сохранении всех её свойств. Ещё один результат, полученный в работе, - это спектральное ядро для оценок ковариационной матрицы, которое одновременно является ((усечённым (не зависит от автоковариаций высоких порядков), положительно полуопределённым и сходящимся к наиболее точному ядру из данного класса. Такого сочетания свойств не имеет ни одно другое известное автору спектральное ядро. Более того, в численном исследовании на коротких выборках данное ядро давало более точные результаты, чем квадратическое спектральное. Как следствие, в работе показано, как на основе полученной матрицы обобщить оценку коинтеграционного вектора и некоторых других параметров для случая временных рядов различной частотности. В-третьих, в данной работе впервые такие оценки численно сравниваются в случае временных рядов различной частотности. И, наконец, предложенная методика оценивания коэффициента бета для акций, торгуемых не каждый день, тоже вносит вклад в научную новизну работы.

Все основные результаты получены автором лично и являются новыми (за исключением доказательства одной из теорем об укорочении набора весов, полученного в соавторстве с научным руководителем A.C. Шведовым).

Методы исследования. При проведении исследования использовались методы математической статистики, теории вероятностей, стохастических процессов, спектрального анализа, эконометрики, анализа временных рядов, эмпирических финансов, оценки ценных бумаг и портфельной теории.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Теоретическая значимость результатов состоит главным образом в том, что полученная оценка обладает всеми преимуществами оценок с укороченными ядрами и

оценок с квадратическими спектральными ядрами, но не наследует многих их недостатков. А именно, преимуществом оценок с укороченными ядрами является лёгкость вычисления и независимость от выборочных автоковариаций высокого порядка, а недостатком - низкая скорость сходимости. Преимуществом квадратическгос спектральных оценок является большая скорость сходимости, а недостатками - либо отсутствие гарантий положительной полуопределённости, либо сложность вычисления и зависимость от выборочных автоковариаций высокого порядка. Полученная оценка, единственная из известных автору, обладает одновременно всеми этими преимуществами, но ни одним из этих недостатков.

Также построенные оценки асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы не только для оценивания коэффициента бета на основе рядов различной частотности, но и для оценивания коинтеграционных векторов и обобщения метода главных компонент на данный случай.

С точки зрения практической значимости, одно из приложений заключается в том, что с данной оценкой открывается возможность оценивать все параметры, необходимые для измерения риска в системах RiskMetrics или MSCI Barra даже в тех случаях, когда торги по рассматриваемым инструментам происходят с различной и нерегулярной частотностью.

Последнее особенно важно для управления рисками на предприятиях, занимающихся посреднической деятельностью в области не самых ликвидных ценных бумаг, таких как акции второго эшелона РТС или свопы на отказ от кредитных обязательств (более известные как CDS). В периоды финансовых кризисов, характеризующиеся высокой волатильностью, возможность измерять риски и хеджировать их может определить дальнейшую судьбу такого предприятия. В разделе 3.2 также описано, каким образом результаты диссертации могут быть применены для расчёта резервов.

Апробация результатов исследования. Основные научные результаты диссертационной работы обсуждались на ежегодной конференции Международного Института Прогнозирования (ISF) в 2007 году (Нью Йорк), а также на семинарах кафедры эконометрики и математической экономики ГУ-ВШЭ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы (в том числе 3 основные работы) общим объемом 4,4 п.л. (личный вклад автора 3.9 п.л.). Две работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения, списка литературы из 87 наименований, 15 таблиц, 12 графиков и 3 рисунков.

II. Основные положения диссертации

Во введении обосновываются актуальность, цели и структура диссертации по оцениванию асимптотической ковариационной матрицы и её приложениям.

В первой главе работы рассмотрен класс оценок асимптотической ковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем, при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу в некотором частном случае можно выразить через ковариационную функцию случайного процесса.

Получены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3 предлагается обобщение такого класса оценок на случай временных рядов различной частотности (мы используем термин лобобщение, поскольку речь идёт о расширении существующего класса оценок). После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новая оценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая наиболее точную из описанных в литературе оценок из этого же класса.

Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определении наилучшего класса оценок) далек от своего окончательного решения. Но во многих случаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе класса преимущество отдается оценке с весами, соответствующими квадратическому спектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (Quadratic Spectral) весами. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющая некоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладает хорошей точностью.

Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах 1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случае данных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи и Веста. Предлагаемая оценка обладает всеми свойства оценки Ньюи и Веста: положительной полуопределённостью и состоятельностью при тех же условиях на случайный процесс, сопоставляемый данным. Поэтому мы будем называть эту оценку обобщением оценки Ньюи и Веста.

Оценка, предлагаемая в разделах 1.4-1.5, во-первых, асимптотически приближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает в себя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценка с QS весами, является положительно полуопределённой для любого набора наблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В численном исследовании

такая оценка оказалась эффективнее, чем оценка с QS весами, в случае коротких временных рядов.5

Одна из первых работ, где рассматривается и оценивается асимптотическая ковариационная матрица многомерного случайного процесса с дискретным временем -[Levine, 1983]6. Но из-за имеющейся связи асимптотической ковариационной матрицы и спектральной плотност случайного процесса для построения оценок асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы и существующие оценки спектральной плотности. Таким оценкам за последние шестьдесят лет было уделено значительное внимание в работах Бартлетта, Парзена, Пристли и др.

Отметим, что кроме термина asymptotic covariance matrix (см., например, [Ledoit, Wolf, 2003]7) для обозначения асимптотической ковариационной матрицы используется термин long-run average covariance matrix (см., например, [Phillips, Moon, 1999]8). Различные оценки асимптотической ковариационной матрицы рассмотрены в работах Эндрюса и Монахана, Ден Хаана и Левина, Ньюи и Веста, Филипса и др.

Рассмотрим последовательность случайных векторов X\,X2,Ч,Xf,.... Для неё

определим ковариационные матрицы П, = е\[Х/ Ч EXt\Xt ЧEXt) ). В общем случае эти матрицы могут быть различными для различных моментов времени, поэтому во многих прикладных задачах оказывается более интересной оценка некоторого среднего значения этих матриц. Асимптотическая ковариационная матрица, о которой пойдёт речь в данной работе, в некотором смысле является таким средним значением9.

Для этой последовательности можно определить спектральную плотность как

g(/l)= lim ЧЧ Е Т-+ао 2Т

V(=i A(=i

при тех Л е Я, для которых указанный предел существует и конечен (штрих означает транспонирование). Если определено значение '(0) , то асимптотическая ковариационная матрица определяется как

5 В случае же длинных временных рядов обе оценки дают схожие результаты, т.к. различия весов этих оценок в некотором смысле сходятся нулю при росте размера выборки.

6 Levine, D.K. A Remark on Serial Correlation in Maximum Likelihood // Journal of Econometrics. 1983. Vol. 23. PP. 337-342.

7 Ledoit, O., Wolf, M. Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns // Journal of Empirical Finance. 2003. Vol.10 (December). PP. 603-621.

8 Phillips, P.C.B., Moon, H.R. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data // Econometrica. 1999. Vol. 67. PP. 1057-1111.

9 в некотором смысле поправленным на значения ковариаций между случайными векторами X, при различных t

(см. [Phillips, Moon, 1999]).

Можно пользоваться и другим определением. Рассмотрим частичные суммы Г

последовательности Xt: Zj = , Т = 1,2... и определим матрицу

если указанный предел существует.

Когда случайный процесс X\,X2,Ч,Xj-,... является стационарным в широком смысле, асимптотическая ковариационная матрица этого случайного процесса тесно связана с его ковариационной функцией. Напомним, что ковариационной функцией называется матричнозначная функция R[k) целого аргумента к , действующая по правилу

R{k)= E({Xs+k - E{Xs+k )\XS - E{XS))'), (предположение о существовании такой функции включается в определение стационарного в широком смысле случайного процесса).

Если ряд сходится, то

Продожая ряд исследований, Ньюи и Вест [Newey, West, 1987] строят оценку матрицы I для рядов одинаковой частотности следующим образом:

ш /. \ 1 т ST=Qo+ Y.wkm\Qk +Q'kj' гал Qk = - ЪХ> x't-k к=1 1 t=k+1

В первой главе даётся более общая формулировка, такая, что в выборочных

автоковариациях присутствуют не элементы выборки J(=Q, а некоторые функции их и некоторого случайного параметра.

При некоторых условиях, в частности, на веса wkm (точные формулировки

приведены в разделе 1.4), матрица Sj- принимает только положительно полуопределённые значения и

Sj- ЧSp ЧЧ0 при ГЧ>оо. 10

Отметим, что если последовательность случайных векторов Xt такова, что

ковариационные матрицы Sj векторов Pj- =-j=Zj имеют предел10 S= lim Sj -

л/Т TЧ>ao

некоторую (с/xq) действительную матрицу", то только в этом случае можно говорить

о состоятельности оценки при Т Ч> со в обычном смысле. Если этот предел не

существует, то под состоятельностью оценки, следуя, например, работе [Newey, West,

1987], мы понимаем условие Sf Ч Sj-0 при Т -> оо.

Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы 2 на основе

временного ряда частичных сумм Zj = ^Xt , даже если некоторые его значения

пропущены (недоступны).

Предлагаемая в работе оценка имеет следующий вид:

m /. Д \ 1 Т >

А=1 1 t=k+1

а, - вектор из нулей и единиц, его ;'-я компонента равна нулю тогда, когда компонента наблюдения Х^ пропущена,

diag(at) - диагональная матрица с элементами этого вектора на диагонали,

1 1 prev(i,t) т = prev(i,l) - наибольший из моментов времени г < t, когда Z^ доступна. Получен результат о том, что оценка j- является положительно полуопределенной для любого m, при условии (Условие 1), что веса для этого m могут быть представлены в виде:

( \ т -1 ( m ^ /

Щ-m = л Ii/ JLZjZj-k )

\J=0 J V

к б (0../), 4je R, V/ е (0..m), / > 0

Mv-L,j |

d(M,L)=

" Матрица S является в этом случае симметричной и положительно полуопределённой.

Теорема 1. При выпонении Условия 1 на веса w^ матрица является положительно полуопределённой.

Далее доказано, что данная оценка является состоятельной оценкой матрицы (или матриц I,f в вышеуказанном смысле), если (будем называть это Условием 2)

1. веса wki для любых т е N, к = 1..т удовлетворяют ограничению j | < С

для некоторого конечного С, а также Ук : lim wkm = 1,

2. т = т(т) такова, что lim m(T) = +<x> и lim m(T)T~1/4 =0.

Т->

Теорема 2. Предположим, что выпонены следующие условия: (i) При любом (j,t) е Мр

Р(,Л {со,в) = Ф0) (X, (со, 9), X,_i (со,в),...Х,_Т (со, в))

как сложная функция ii х 0 Ч Rl измерима на Q при любом в ео и с вероятностью 1 непрерывно дифференцируема по в в некоторой окрестности В

точки 0* - внутренней точки множества й.

(И) (а) Существует измеримая функция S(fii), такая, что для любого еО,

для любого целого t и любого <м е Q верно что sup|p; (<f,j <E(>) и

sup 6g S

<E(iu), причём для некоторой константы Dg выпонено е\е.(со)^< D^.

(б) Существуют конечные константы Р > 0, д >0 и г >\, такие, что для любого натурального / и любого 1 = 1..д таких, что (/,/) р выпоняется

4 (r+S)

(Ш) Для любого веО последовательность X/ (в) обладает свойством ф -перемешивания с коэффициентами перемешивания ф(к) рагмера 2г/(2г-\), либо обладает свойством а-перемешивания с коэффициентами перемешивания а{к) размера 2г/(г Ч1) для некоторого г > 1.

(Ы) Случайная величина такова, что ->1т{вт - в*} сходится по

распределению к некоторой случайной величине при Т Ч> оо.

Тогда при выпонении Условия 2 на веса \\'кт

f{P (^7- )}Г I Ч )Ч>0 при Г- oo

К примеру, всем условиям, приведённым выше, одновременно будет

удовлетворять набор весов wrm =1--(в этом случае .= 1 для любого

m + l J

j 6 (0..т) и любого т = 0,1,2...).

Открытым в некоторой степени остаётся вопрос о выборе вектора весов tvm. Второй теоретический результат работы отностится именно к этой области.

Наименьшее среднеквадратичное отклонение12 элементов оценки от истинного значения асимптотической ковариационной матрицы даёт так называемое квадратическое спектральное ядро:

' sin у

(1.14) wkm =qkm = /{^) , Для некоторого А>0, где р(у) = ~

--eos .у

Единственным его недостатком является то, что т = Т Ч 1 для положительной полуопределённости оценки. Иными словами в оценку войдёт огромное количество автоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько же слагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках и приводит к низкой точности на коротких выборках.

Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядка приводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующий пример. Рассмотрим выборку а одномерных наблюдений х, = Х{ (у), / = 1..20, где

X/ =1 при нечетном ? и х{ = Ч1 при четном I. Возьмем т = 6 и А = Ч. Веса

У^кт ~ Р\Ч и значения выборочных автоковариаций ){к) = Ч ПРИ

Ыу т /=1

к = 1,2,...,6 приведены в следующей таблице.

12 при наилучшем -m{T)

в некотором смысле -

выборе т.н. параметра ширины диапазона 13

0 . 1.00

1 0.914 -0.95

2 0.687 0.90

3 0.398 -0.85

4 0.138 0.80

5 -0.029 -0.75

6 -0.086 0.70

При этих значениях 5 = б(о)+ -

Возникает вопрос о построении таких весов , которые бы обладали одновременно тремя свойствами:

1. гарантировали положительную полуопределённость оценки,

2. содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки,

3. сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки. Доказано, что такое возможно.

Второй теоретический результат диссертации говорит, что такие веса и>кт = \>кт можно построить по формуле

/ Л / \ -1

(1-16) vkm = ZjZj-k bi1 , к = \..т

п и=о

где числа j определены как

В(т) это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающая положительные значения, такая что

(1.17) lim В(т) = od, Иш В2(т)/т = 0,

тЧсо тЧ>со

а <р(х) определяется через функцию Бесселя первого порядка как <р(х) = л/Зтг/8 Х J](x)lх. То, что такие веса с одной стороны гарантируют положительную полуопределённость оценки, очевидно из теоремы 1. Также в главе 1 доказана теорема о том, что они сходятся к квадратическим спектральным весам, описанным выше.

Теорема 3. Предположим, что

1) функция В удовлетворяет приведенным выше условиям, в частности, условиям (1.17);

2) веса qkm рассчитаны по формулам (1.16), (1.18);

3) веса wk рассчитаны по формулам (1.14) при А(т) = (т +1)/ В(т), то есть wk = Щт = p{k/A(mj).

Тогда max | - w^ |-> 0 при m Ч> =о. 1 <к<т

Визуально качество аппроксимации можно оценить по Рис. 2.

Яис. 2. Пример качества аппроксимации весов весами

Как оказалось во второй главе работы, при численном исследовании, такой укороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае коротких выборок, а в случае же длинных выборок оценки оказываются настолько же точны, как и непосредственно с использованием квадратического спектрального ядра.

Во второй главе работы проведено сравнение точности оценок ковариационной матрицы. Сравнение сделано по двум критериям, описание которых дается в разделах 4 и 5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора (критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988]13), другим - точность оценок коэффициентов регрессии для 1(1) временных рядов (из работы [Phillips, Moon, 1999]). Были выбраны эти критерии, т.к. во многих прикладных задачах важна точность этих векторов, а не самих элементов матрицы. Под словом точность мы понимаем выборочное среднеквадратичное отклонение от значения оцениваемой величины, как это сделано в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 239].

13 Phillips, P.C.B., Ouliaris, S. Testing for Cointegration Using Principal Components Method // Journal of Economic Dynamics and Control. 1988. Vol. 12. PP. 205-230.

В работе получена процедура выбора параметра ширины диапазона т на основе данных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название "automatic bandwidth selection" или "automatic lag selection", (см., например [Newey, West, 1994]14 или [Christou, Pittis, 2002]15). Новизна же полученной процедуры заключается в том, что она рассчитана на данные различной частотности.

Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотности было проведено сравнение с оценкой ковариационной матрицы из другого класса -упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan, Levin, 2000] 16. Она основана на многомерном расширении рекурсии Левинсона-Дурбина, при помощи которого по ковариационной функции Q{k), к = 0..т строятся коэффициенты VAR(m) процесса ( х л)-матрицы П(/с), к = 1 ..т и ковариационная матрица инноваций Q этого VAR(m) процесса, такие, что ковариационная функция этого процесса совпадает с R{k) для всех к -0..Ш. Обозначим за t\m{k), к = 1 ..т и Clm такие (п х и)-матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценок ковариационной функции R(k), к = 0..т. Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:

В случае одинаковой частотности произведено сравнение точности с оценками:

( т Л -1 V т Л "0

у - /-1П т{к) /-If\т{к)

К. к=1 J V к=1 ) /

г = *(о)+!(*(*)+*'(*)),

*'(*))>

14 Newey, W.K., West, K.D. Automatic Lag Selection in Covariance Matrix Estimation // The Review of Economic Studies. 1994. Vol. 61. No. 4. PP. 631-653.

15 Christou, C., Pittis, N. Kernel and Bandwidth Selection, Prewhitening and the Performance of the Fully Modified Least Squares Estimation Method // Econometric Theory. 2002. Vol. 18. PP. 948-961.

16 Den Haan, W.J., Levin, A. Robust Covariance Matrix Estimation with Data-Dependent VAR Prewhitening Order // Technical working paper 255, National Bureau of Economic Research, 2000 (оценка упоминается и в более ранних работах, первоисточник найти не удалось).

где веса это так называемые треугольные веса, а веса это укороченное приближение квадратических спектральных весов, описанное в главе 1.

Численное сравнение оценок проведено на симулированных реализациях шести семейств случайных временных рядов, предложенных в [Andrews, 1991]17. Первые три семейства основаны на процессах векторной авторегрессии с различными видами условно гетероскедастичных инноваций. Последние три из этих семейств были процессами векторного скользящего среднего с такими же видами инноваций.

17 Andrews, D. W. K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Estimation//Econometrica. 1991. Vol. 59. PP. 817-858.

Таблица 1. Значения логарифма среднеквадратичного отклонения оценки коэффициентов регрессии для 1(1) временных рядов (см. [Phillips, Moon, 1998]), получаемой из оценки матрицы для оценок (2.1), (2.2), (2.3) и (2.4) (обозначенных соответственно как var, nwr, mvb и qs). Чем ниже было значение среднеквадратичного отклонения, там более точной мы считачи оценку. Длина выборки во всех случаях в данной таблице составляла Т = 2000. Случай (е) подразумевает только одинаковую частотность, а случай (ж) только временные ряды различной частотности (оценка VARHAC была модифицирована на этот случай путём линейной интерполяции временного ряда в точках с пропущенными данными).

В таблице указано среднее арифметическое значений величин logMSE для оценок f}\ и Р4, усреднённое на реализациях набора стучайных процессов.

коэф. AR(1) МАП) (a) ла случаи (б) только AR(1)- (к) только МА(1)- (г) только а -!.(Ю (0) тальк 0 o=0.05 (с) только Pi (ж) только i'i

Var ИИ b ИНГ qs var nwb nwr Is VW m\h ПЧГ qs var nwb tiwr qs var nwb nwr qs var nwb nwr qs var nwb nwr qs

-0.95 -0.5 -0.5 3.2 -0.5 -0.7 -0.7 3.1 -1.0 -0.3 -0.4 3.4 0.0 -03 -0.2 3.9 0.2 -0.7 -0.9 2.6 -1.2 -0.5 -0.6 3.1 -0.5 -0.4 -0.5 3.3 -0.6

-0.9 -0.7 -0.8 2.3 -1.0 -0.9 -1.0 1.8 -1.4 -0.5 -0.5 2.9 -0.6 -0.5 -0.4 2.8 -0.3 -0.9 -1.1 1.9 -1.6 -0.8 -0.8 2.2 -0.9 -0.6 -0.7 2.5 -1.0

-0.7 -1.3 -1.4 1.3 -1.9 -1.4 -1.6 -0.9 -2.1 -1.2 -1.2 3.4 -1.6 -1.2 -1.1 2.0 -1.1 -1.4 -1.7 0.5 -2.6 -1.5 -1.6 1.3 -1.9 -1.1 -1.3 1.2 -1.8

-0.5 -1.7 -1.8 -0.8 -2.2 -1.8 -1.9 -1.3 -2J -1.6 -1.6 -0.2 -2.1 -1.5 -1.4 -0.3 -1.4 -2.0 -2.1 -1.3 -3.1 -2.1 -2.0 -0.7 -2.3 -1.4 -1.5 -0.8 -2.2

-0.3 -2.1 -2.0 -1.2 -2.5 -2.1 -2.1 -1.4 -2.5 -2.1 -2.0 -1.0 -2.4 -1.7 -1.6 -0.5 -1.5 -2.5 -2.5 -1.9 -3.4 -2.5 -2.3 -1.2 -2.5 -1.7 -1.8 -1.2 -2.4

0.3 -2.9 -2.4 -1.9 -2.7 -3.0 -2.4 -1.9 -2.7 -2.8 -2.4 -1.8 -2.7 -2.1 -1.7 -1.1 -1.7 -3.7 -3.1 -2.6 -3.7 -3.1 -2.7 -1.9 -2.7 -2.7 -2.1 -1.8 -2.7

0.5 -3.0 -2.4 -1.8 -2.7 -3.1 -2.5 -2.0 -2.7 -2.9 -2.4 -1.7 -2.7 -2.0 -1.7 -1.1 -1.6 -3.9 -3.2 -2.6 -3.8 -3.0 -2.7 -1.9 -2.7 -2.9 -2.2 -1.8 -2.7

0.7 -2.9 -2.4 -1.9 -2.6 -3.0 -2.5 -2.0 -2.6 -2.9 -2.4 -1.8 -2.7 -1.8 -1.5 -1.0 -1.5 -4.0 -3.3 -2.9 -3.8 -3.0 -2.6 -1.9 -2.6 -2.8 -2.2 -1.9 -2.7

0.9 -2.7 -2.3 -1.8 -2.4 -2.4 -2.3 -1.8 -2.3 -2.9 -2.3 -1.7 -2.6 -1.5 -1.2 -0.7 -1.2 -3.9 -3.4 -2.8 -3.7 -2.7 -2.4 -1.8 -2.4 -2.7 -2.2 -1.8 -2.5

0.95 -2.4 -2.1 -1.7 -2.3 -1.9 -1.9 -1.6 -2.0 -2.9 -2.3 -1.8 -2.6 -1.2 -1.0 -0.5 -1.0 -3.7 -3.2 -2.8 -3.6 -2.4 -2.2 -1.7 -2.3 -2.4 -2.0 -1.7 -2.3

(источник: расчёты авторов)

Подобные таблицы были также построены и для оценки коэффициентов коинтеграционного соотношения. Также описанная выше процедура была повторена для коротких временных рядов (Т = 250). Выводом из этой и других таблиц является то, что оценки (2.4) и (2.1) лидируют по точности, причём, чем более отрицательны автокорреляции или, чем больше различие в частотностях между компонентами векторного временного ряда, тем превосходит оценку (2.1) оценка (2.4), полученная в данной работе.

Также в главе 2 производится численное сравнение различных процедур автоматического выбора параметра ширины диапазона. Показано, что процедура выбора этого параметра, обобщённая на случай различных частотностей, оказывается наилучшей в рассматриваемом классе.

В третьей главе диссертации идёт речь об оценке коэффициента бета для акций второго эшелона РТС. При составлении портфелей ценных бумаг необходимо учитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисков портфеля ценных бумаг является диверсификация - создание портфеля из большого количества различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долю стоимости. Считается, что в этом случае неопределённость будущей стоимости портфеля снижается ввиду некоторого рода усреднения.

Как правило, диверсификация уменьшает эту неопределённость лишь частично. Как показывает практика мировых кризисов ликвидности18 1998 и 2008 годов, многие активы, часто считающиеся несвязанными и пригодными для диверсификации, могут в такие периоды одновременно сильно падать в цене или, наоборот, одновременно существенно расти. Такие движения принято относить к т.н. систематическим рискам". Хорошей практикой для управляющих портфелями ценных бумаг считается поддерживать нейтральность портфеля к таким систематическим рискам (см. [Bender, 2007] 20 ). Действительно, по мнению MSCI Barra Research, в период кризиса ликвидности с августа по октябрь 2008 года такой подход к управлению рисками оказася очень успешным для рынка ликвидных акций, торгуемых в США21.

Мерой систематического риска для акций принято считать т.н. коэффициент бета. В очень огрублённых терминах, если какая-нибудь акция падает в цене в

18 См. Lowerstein, R. When Genius Failed: The Rise andFall of Long-Term Capital Management. N.Y. Random House, 2001.

19 Peterson, В., Boudt, K. Component VAR for a non-normal world // Risk Magazine. Vol. 22. No. ll.November2008

20 Bender, J.C. То Beta orNot to Beta: A Comparison of Historical Versus Fundamental Betas for Hedging Market Risk // The MSCI Barra Newsletter Q3/Q4 2007. PP. 13-23.

21 См. Fear Factor Redux // MSCI Barra Research Bulletin, October 2008

среднем на 1.3% в то время, когда рыночный индекс падает на 1.0%, то говорят, что её коэффициент бета по отношению к этому индексу равен 1.3. Этот коэффициент был впервые введён в модели оценки капитальных активов (см., например, [Fama, French, 1992, 1993]22). В современном портфельном анализе один из подходов к измерению рисков состоит в использовании ковариационных матриц, на основе которых и оцениваются такие коэффициенты бета.

В главе 3 рассмотрены портфели ценных бумаг, включающие так называемые акции второго эшелона РТС23. Оказывается, что если для измерения возможностей диверсификации использовать подход Марковица (основанный на использовании ковариационных матриц), очень большую роль играет то, каким образом такие матрицы будут оценены для этих акций. Причина в том, что сдеки по акциям второго эшелона РТС производятся не каждый день, и поэтому оценки, разработанные для временных рядов дневной частотности, могут давать малоправдоподобные результаты.

Далее показано, что если для таких данных использовать оценку, применимую для данных одинаковой частотности (в данном случае - дневной частотности), это приведёт к нежелательным результатам: завышенным представлениям о возможностях диверсификации и даже неверным портфельным решениям. С другой стороны, мы показываем, что при использовании оценки, предназначенной для нерегулярных временных рядов и временных рядов различной частотности, результаты будут более приемлемыми. В работе показано, что такие оценки создают более реалистичное представление о возможностях для диверсификации.

Рассматривается упрощённый вариант задачи о включении новой акции в портфель паевого фонда. Обозначим через P стоимость портфеля в момент времени t, а через St - цену включаемой акции в момент времени t. Считается известным срок г владения до следующего пересмотра. Введём обозначения для доходностей текущего

портфеля r+r = Pt+T/Pt-1 и включаемой акции r(+r = Sl+T/Sl -1 , тогда

соответственно г ) и r ) - ожидания доходностей, и ковариационная матрица доходностей:

22 Fama, E.F., French, K.R. The Cross-Section of Expected Stock Returns // Journal of Finance. 1992. Vol. 47. No. 2. PP. 427-465.

Fama, E.F., French, K.R. Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds // Journal of Financial Economics. 1993. Vol. 33. PP. 3-56.

23 согласно документации PTC (Ссыка на домен более не работаетs384), к акциям второго эшелона принято относить широкий спектр ценных бумаг, торгуемых на площадке РТС, лэмитенты которых не входят в число компаний первой величины на фондовом рынке

CP-S = coy

f P W I p P

cov,lrl+T,rl+T {covt\r,S+T,r/lT)

соуд/-дг,гдг,

Система поддержки принятия решений будет рекомендовать управляющему паевым фондом вложить такую долю средств w (0 < vv < 1) во включаемые акции, чтобы получить эффективный портфель с минимальной дисперсией доходности, поскольку, согласно уставам большинства паевых фондов, их целью является минимизация риска при различных ограничениях (например, репликации индекса или следовании определённой стратегии). Иными словами, рекомендация будет сделана на основе максимизации следующей целевой функции для некоторого положительного параметра Я (см., например, [Шведов, 1999; стр. 41, 105]24):

Ф)=Я Х ti - w) Х е(Г/; T)+W. r))- [; w] с'.*

В случае паевого фонда можно считать Л = 0, по причине оговоренной выше.

Коварационную матрицу доходностей существующего портфеля и включаемой акции можно оценивать двумя способами - способом, предложенным в главе 1 для случая данных различной частотности, или же по стандартной формуле из [Anderson, 1958; стр. 44-51]25, часто используемой на практике (пропуски запоняются линейной интерполяцией). Для примера был проведён анализ возможности включения акций ОАО Аптечная Сеть 36,6 в портфель, состоящий из компонент индекса РТС по состоянию на апрель 2007 года. Оказывается, что при оценке ковариаций первым способом рекомендуемая доля составляет w = 11%, а во втором w = 51 %. Конечно же, в контексте диверсификации первый результат выглядит намного реалистичее, чем второй. Оказывается, дело в том, что оценка, не основанная на временных рядах различной частотности, в данном случае недооценивает волатильность включаемых акций (нижний правый элемент матрицы). Также оказывается, что она недооценивает меру их систематического риска - коэффициент бета (отношение верхнего правого к верхнему левому элементу матрицы). Это приводит к ложным представлениям о возможностях диверсификации портфеля и, как следствие, приводит к рекомендации вложить w = 51 % средств во включаемые акции.

Конечно же, следовало бы убедиться в том, что такое отличие имело место не только для акций данной компании в данный промежуток времени. Чтобы удостовериться в систематическом характере этого отличия, мы вычислили

24 Шведов, A.C. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999.

23 Anderson, T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York: Wiley, 1958.

рассматриваемые оценки для всех таких акций в различные промежутки периода 20032007 гг.

Рекомендуемая доля акций данной Рекомендуемая доля акций данной компании

компании портфеле (случай оценки в портфеле (случай выборочной

по формуле из главы 1) ковариационной матрицы)

2003-2006 2005-2007 2006-2007

период: гг. гг. ГГ. 2003-2006 гг. 2005-2007 гг. 2006-2007 гг.

АР1.Т 27% 20% 20% 60% 49% 51%

1% 0% 0% 17% 10% 20%

среднее 25% 28% 34% 51% 53% 61%

Источник: расчёты авторов

Действительно, как легко убедиться из данной таблицы, различия действительно носят систематический характер и, как показано в других таблицах в третьей главе, причиной этому является недооценка индивидуальной волатильности включаемой акции и недооценка коэффициента бета (меры систематического риска). Обе ошибки связаны с тем, что выборочная ковариационная матрица не предназначена для временных рядов различной частотности.

Можно ли утверждать, что такое систематическое различие связано с различной частотностью данных? Оказывается, можно утверждать и это. Мы провели аналогичные расчёты для двух самых ликвидных акций первого эшелона РТС

(данные о торгах по ним были доступны каждый день).

(а) волатильность случай оценки с использованием асимптотической ковариационной матрицы случай оценки с использованием выборочной ковариационной матрицы

период; 2003-2006 гг. 2005-2007 гг. 2006-2007 гг. 2005-2007 2003-2006 гг. гг. 2006-2007 гг.

1КОН ЕЕ$|< 16% 16% 17% 31% 27% 30% 17% 15% 16% 28% 25% 28%

(6) коэф. кбета случай оценки с использованием асимптотической ковариационной матрицы случай оценки с использованием выборочной ковариационной матрицы

период: 2003-2006 гг. 2005-2007 гг. 2006-2007 гг. 2006-2007 2003-2006 ГГ. 2005-2007 ГГ. гг.

1.КОН ЕЕБИ 89% 110% 112% 97% 95% 100% 101% 117% 117% 102% 113% 116%

Как нетрудно убедиться из данной таблицы, в случае наблюдений одинаковой частотности обе оценки дают схожие результаты.

Итак, в третьей главе показано, что выборочная оценка ковариационной матрицы доходностей создаёт ложные представления о возможностях диверсификации в таких случаях. Показано, что более реалистичные представления о диверсификации и мере систематического риска бета можно получить при помощи оценивания асимптотической ковариационной матрицы доходностей.

III. Основные выводы по результатам исследования

1. Предложена оценка ковариационной матрицы для временных рядов различной частотности и доказаны её свойства, предложено улучшение квадратичного спектрального ядра и доказаны его свойства.

2. Предложена оценка для коэффициентов коинтеграционного соотношения и некоторого обобщения коэффициентов линейной регрессии для временных рядов различной частотности и проведена численная проверка некоторых из свойств.

3. Произведена численная проверка предложенных оценок в сравнении с другими оценками, описанными в литературе. Критерием точности оценки выступала точность оценок, получаемых с использованием ковариационной матрицы: оценки коинтеграционного вектора и оценки коэффициентов линейной регрессии.

4. На основе оценки матрицы предложена методика оценивания коэффициента бета для акций второго эшелона РТС, цены сделок по которым доступны не каждый день (случай различной и нерегулярной частотности). Показано на примере акций второго эшелона РТС, что если цены акций доступны нерегулярно, то использование обычной выборочной ковариационной матрицы приводит к ложным представлениям о возможностях диверсификации.

5. Продемонстрированы сравнительные преимущества такой методики по сравнению с отраслевым стандартом в данной области.

IV. Публикации по теме диссертации

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах,

рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Панов, Е.В. Оценка ковариационной матрицы для временных рядов различных частотностей / Е.В. Панов // Вестник Южно-Уральского Государственного Университета, Серия Математика, Физика, Химия. - 2008. - Вып. 10. - №7 (107). -с. 19-25 (0,5 п.л.)

2. Панов, Е.В. Некоторые особенности диверсификации для портфелей, включающих акции второго эшелона РТС / Е.В. Панов // Вестник Московского Государственного Университета. Серия 6. Экономика. - 2009. - Вып. 2. - с. 15-26 (0,9 п.л.)

Другие работы, опубликованные автором по теме диссертации:

1. Панов, Е.В. Состоятельная оценка ковариационной матрицы в случае временных рядов различной частотности / Е.В. Панов // Препринт WP2/2005/05. Ч М.: ГУ ВШЭ, 2005. - 24 с. (1,5 п.л.)

2. Панов, Е.В. Укорочение набора весов, соответствующих квадратическому спектральному окну, при оценке ковариационной матрицы / Е.В. Панов, A.C. Шведов //Препринт WP2/2008/01. Ч М.: ГУ ВШЭ, 2008. - 23 с. (1,5 п.л. /1,0 п.л)

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат физико-математических наук , Панов, Евгений Валерьевич

Введение.

Глава 1. Теоретические результаты.

1.1. Асимптотическая ковариационная матрица и некоторые её оценки.

1.2. Конструкция и свойства оценки асимптотической ковариационной матрицы в общем случае.

1.3. Оценки для конкретных примеров временных рядов.

1.4. Спектральное окно.

1.5. Уменьшение числа слагаемых для оценки с QS весами.

Глава 2. Численное сравнение оценок.

2.1. Параметрическая оценка var

2.2. Коэффициенты регрессии для 1(1) временных рядов.

2.3. Оценки коинтеграционного вектора.

2.4. Семейства случайных процессов для численного сравнения.

2.5. Меры точности, используемые для численного сравнения.

2.6. Результаты сравнения различных оценок.

2.7. Выбор параметра т, определяющего ширину полосы в оценке.

Глава 3. Прикладные результаты.

3.1. Задача о составлении портфеля акций, данные о цене одной из которых доступны нерегулярно.

3.2. Оценивание коэффициента бета для акций второго эшелона РТС.

3.3. Выводы.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков"

Исследователи часто встречаются с необходимостью работать с временными рядами различной частотности. К примеру, с макроэкономическими данными и данными с финансовых рынков. Одним из возможных подходов при построении оконометрических моделей в этом случае является прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потере значительной части информации, поскольку остающиеся после прореживания наблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемых величин. Поэтому при работе с данными различно частотности актуальным является вопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей таким образом, чтобы не терять информацию, т.е. каким-нибудь образом обойтись без прореживания. В последнее десятилетие опубликован ряд работ, обобщающих известные статистические оценки для данных различной частотности. Например, для случая линейной регрессии такие обобщения описаны в [Ghysels, Santa-Clara, Valkanov, 2002] и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007]. Для оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации такая задача рассматривается в [Ghysels, Jasiak, 1997].

В данной работе подобное обобщение сделано для случая оценивания ковариационной матрицы. Такое обобщение находит применение при оценивании меры т.н. систематического риска для портфелей акций, цены которых доступны нерегулярно. Последнее приложение особенно актуально в периоды мировых кризисов ликвидности, таких как кризисы, имевшие место в 1998 и 2008 годах. Оценивание ковариационных матриц занимает одно из центральных мест при построение математических моделей финансовых рынков. Для случая, когда ряды имеют одинаковую частотность, различные оценки ковариационных матриц изучаются во многих работах (см., например, [Newey, West, 1987], [Andrews, 1991], [Litterman, Winkelmann, 1998], [Den Haan, Levin, 2001], [Ledoit, Wolf, 2003], [Basak, Jagannathan, Ma, 2004])! -

В данной работе показано, что возможно обобщить несколько оценок ковариационной матрицы на случай временных рядов различных частотностей. Такое обобщение имеет большое прикладное значение, поскольку на основе оценок ковариационной матрицы часто вычисляются многие другие оценки. К примеру, мы получили оценку для коэффициентов коинтеграционного вектора и оценку для коэффициентов линейной регрессии, обобщённой на случай временных рядов различной частотности. Возможно таким же образом сделать обобщения и других известных оценок на случай временных рядов различной частотности. К примеру, так же можно обобщить метод главных компонент. Многие оценки из области многофакторного статистического анализа тоже основаны на оценках ковариационной матрицы (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564]), а значит можно обобщить и какие-то из них.

В первой главе работы рассмотрен класс оценок асимптотической ковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем, при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу в некотором частном случае можно выразить через ковариационную функцию случайного процесса. Представлены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3 предлагается обобщение такого класса оценок на случай временных рядов различной частотности (мы используем термин лобобщение, поскольку речь идёт о расширении существующего класса оценок). После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новая оценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая одну из наиболее точных из описанных в литературе оценок из этого же класса.

Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определении наилучшего класса оценок) далёк от своего окончательного решения. Но во многих случаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе класса преимущество- отдается оценке с весами, соответствующими квадратическому спектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (quadratic spectral) весами. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющая некоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладает хорошей точностью.

Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах 1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случае данных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи и Веста. Предлагаемая оценка обладает, как и оценка Ньюи и Веста, положительной полуопределённостью и состоятельностью. Поэтому мы будем называть эту оценку обобщением оценки Ньюи и Веста. В рамках диссертации состоятельность рассматриваемого обобщения оценки Ньюи и Веста подтверждается не только теоретически, но также численным исследованием и эффективностью практического применения.

Оценка, предлагаемая в разделах 1.4-1.5, во-первых, асимптотически приближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает в себя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценка с QS весами, является положительно полуопределённой для любого набора наблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В случае коротких временных рядов в численном исследовании (см. главу 2) такая оценка оказалась эффективнее1, чем оценка с QS весами.

Рассмотрим последовательность случайных векторов Х^,Х2,Ч,ХТ,.

Для неё определим ковариационные матрицы Clt = E^Xt Ч EXt\Xt Ч EXt) j. В общем случае эти матрицы могут быть различными для различных моментов времени, поэтому во многих прикладных задачах оказывается более интересна оценка некоторого среднего значения этих матриц. Асимптотическая ковариационная матрица, о которой пойдёт речь в данной работе, в некотором смысле является таким средним значением . А именно, для если для частичных Т сумм последовательности Xt: Zj = ^Xt, Т = 1,2. определить матрицу 1 = ^lim - EZT \ZT - EZT )' если указанный предел существует), то она и будет одним из определений асимптотической ковариационной матрицы для последовательности Xt. С альтернативными и более общими определениями можно ознакомиться в первой главе диссертационной работы.

Продожая ряд исследований, Ньюи и Вест [Newey, West, 1987] строят оценку матрицы Е для рядов одинаковой частотности следующим образом:

ST=Q0 + fJwhn{gk+Q'k),TwQk=- Х'к.

Аг=1 1 t=k+1

1 В случае же длинных временных рядов обе оценки дают схожие результаты, т.к. различия весов этих оценок в некотором смысле сходятся нулю при росте размера выборки.

2 в некотором смысле поправленным на значения ковариаций между случайными векторами Xt при различных t

В первой главе даётся более общая формулировка, такая, что в выборочных актоковариациях присутствуют не элементы выборки \xt |/=0, а некоторые функции их и некоторого случайного параметра.

При некоторых условиях, в частности, на веса 'Wkm, матрица ST принимает только положительно полуопределённые значения и, как показано в работе [Newey, West, 1987], Р

Sf Ч Sf->0 при Г-Ж).

В частности, требуется выпонение следующих двух условий.

1. веса Wy для любых т <Е N, к = \.т удовлетворяют ограничению jvc^ | ^ С для некоторого конечного С, а также \/к: Иш wкт Ч 1, тЧ>оо

2. т = т(Т) такова, что lim m(T) = +оо и lim m(JT)T~^IA = 0.

Г-> 00 ГЧ>оо

К примеру, всем условиям, приведенным выше, одновременно будет удовлетворять набор весов wkm = 1 Ч ЧЧ (в этом случае с 1 для любого m +1 7 j е (0.m) и любого m = 0,1,2.).

Отметим, что если последовательность случайных векторов Xt такова, что ковариационные матрицы Sj векторов 1?т = Ч~rZT имеют предел Т

S= lim Sj- - некоторую {q х q) действительную матрицу3, то только в этом

ГЧ>00 случае можно говорить о состоятельности оценки при Т

Л р например, работе [Newey, West, 1987], мы понимаем условие STЧSj->0 при ТЧ>00.

Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы S (или матриц Sj в оговоренном выше смысле) на основе временного ряда частичных сумм Т

ZT , даже если некоторые его значения пропущены (недоступны). Эта 1 оценка несколько более громоздка и приводится в разделе 1.2.

1 Матрица S является в этом случае симметричной и положительно полуопределенной

Одна из наиболее точных оценок асимптотической ковариационной матрицы это оценка с весами, соответствующими квадратическому к^ спектральному окну w^ = qkm = р для некоторого А > О, где

Р(У) = У siny У cos у

Недостатком этой оценки является необходимость выпонения условия т Ч Т Ч \ для положительной полуопределённости. Иными словами в оценку войдёт огромное количество автоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько же слагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках и приводит к низкой точности на коротких выборках.

Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядка приводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующий пример. Рассмотрим выборку со одномерных наблюдений xt=Xt(a>), t = 1.20, где xt = 1 при нечетном t и х, = -1 при четном t.

Возьмем m = 6 и А = Ч. Веса w^ = р

Ътс и значения выборочных 1

ТЧк автоковариаций Q{k) = Ч^xtxt+k ПРИ к = 1,2,.,6 приведены в следующей

Т 1 таблице. к Ш

0 - 1.00

1 0.914 -0.95

2 0.687 0.90

3 0.398 -0.85

4 0.138 0.80

5 -0.029 -0.75

6 -0.086 0.70

При этих значениях S = Q(o) + ^ wkm + Q'{k$) и-0.12.

Поэтому можно задаться вопросом, нельзя ли построить такие веса w^, которые бы гарантировали положительную полуопределённость оценки, содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки, и сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки.

Окй5й6ается, такое возможно. В диссертации показано, что такие веса wkm = vkm можно построить по формуле vkm = т

Ytjtj-k yj=k

U=o к = 1 .т, где чисвг Е, : определены как А л-Г Ф

7 и т + \

В(т)( тЛ m + l{J 2)

В(т) это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающая положительные значения, такая что 2 lim В(т) = оо, lim В (т)=0, тЧ>а> mЧt оо т а ср(х) определяется через функцию Бесселя первого порядка как

Доказаны теоремы о том, что такие веса с одной стороны гарантируют положительную полуопределённость оценки, а с другой стороны сходятся к квадратическим спектральным, описанным выше. Чтобы оценить качество аппроксимации см. Рис. 1.

Как оказалось при численном исследовании, такой укороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае коротких выборок, а в случае же длинных выборок оценки окзываеются насколько же точны, как и непосредственно с использванием квадратическго спектрального ядра.

Во второй главе работы проведено численное исследование точности предлагаемых оценок и оценок, известных в литературе. Рассмотрены как случай одинаковой частотности, так и случай различной частотности.

Сравнение точности оценок ковариационной матрицы проводится по двум критериям, описание которых дается в разделах 2.4 и 2.5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора (критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988] и обобщён на случай временных рядов различной частотности). Другим критерием является точность оценок коэффициентов регрессии для 1(1) временных рядов (критерий взят из работы [Phillips, Moon, 1999]). Были выбраны именно эти критерии, поскольку во многих прикладных задачах главную роль играет точность этих векторов, а не элементов самой оценки матрицы. Под словом точность в численном исследовании мы понимаем выборочное среднеквадратичное отклонение оценки от значения оцениваемой величины, что очень похоже на критерий эффективности оценки, определённый в [АйвазяЩ 'Мхитарян, 1998; стр. 239].

Предложена процедура выбора параметра ширины диапазона т на основе данных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название "automatic bandwidth selection" или "automatic lag selection", (см., например,

Newey, West, 1994] или [Christou, Pittis, 2002]). Новизна этой процедуры заключается в том, что предложенная процедура рассчитана на данные различной частотности. Однако приведённое доказательство свойств этой процедуры не является математически строгим, поэтому вряд ли можно такую процедуру назвать теоретическим результатом.

Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотности было проведено сравнение точности с оценкой ковариационной матрицы из другого класса - упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan, Levin, 2000]. Она основана на многомерном расширении рекурсии Левинсона-Дурбина, при помощи которого по ковариационной функции Q{k), к = 0.т строятся коэффициенты VAR(m) процесса (х п)-матрицы П(&), к Ч \.т и ковариационная матрица инноваций Q этого VAR(m) процесса, такие, что ковариационная функция этого процесса совпадает с R(k) для всех к = 0.т. Обозначим за flm(k), к Ч \.т и С1т такие (х и) -матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценок ковариационной функции R(k), к = 0.т. Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:

2г= /-Е ПЛ*)

Л"1 (( т V1'

В сз^ае временных рядов одинаковой частотности произведено сравнение точности этой оценки с тремя другими: к = \ к=1 к=\ где веса w^ это так называемые треугольные веса, а веса q^ это укороченное приближение квадратических спектральных весов, описанное в главе 1.

Численное сравнение оценок было проведено на симулированных реализациях шести семейств последовательностей векторных случайных величин, предложенных в [Andrews, 1991]. Первые три семейства представляли собой процессы векторной авторегрессии с условно гомоскедастичными инновациями и двумя видами условно гетеороскедастичных инноваций. Последние три из этих шести семейств были процессами векторного скользящего среднего с тамими же тремя разновидностями инноваций.

Оказалось, что и для коротких, и для длинных выборок оценка с модифицированными квадратическими спекральными весами и упрощённая оценка VARHAC лидируют по точности. Причём, чем более отрицательными были автокорреляции или чем больше было различие в частотнотях между компонетами временного ряда, тем больше оценка с модифицированными квадратичными весами превосходила по точности упрощённую оценку VARHAC.

Также во второй главе производится численное сравнение различных процедур автоматического выбора параметра ширины диапазона. Мы пришли к заключению о том, что процедура из [Newey, West, 1994], обобщённая на случай различных частотностей, оказывается наилучшей в рассматриваемом классе.

В третьей главе рассматривается приложение асимптотической ковариационной матрицы, относящееся к оценке систематических рисков в портфельном анализе. При составлении портфелей ценных бумаг необходимо учитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисков портфеля ценных бумаг является диверсификация Ч создание портфеля из большого количества различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долю стоимости. Считается, что в этом случае неопределённость будущей стоимости портфеля снижается ввиду некоторого рода усреднения.

Обычно диверсификация уменьшает такую неопределённость лишь частично. Как показывает практика мировых кризисов ликвидности 1998 и 2008 года, многие активы, часто считающиеся несвязанными и пригодными для диверсификации, могут в такие периоды одновременно сильно падать в цене или, наоборот, одновременно существенно расти (см [Lowerstein, 2001]). Такие движения принято относить к т.н. систематическим рискам (см. [Peterson, 2008]). Хорошей практикой для управляющих портфелями ценных бумаг считается поддерживать нейтральность портфеля к таким систематическим рискам (см. [Bender, 2007]). Действительно, по мнению MSCI Barra Research, в период кризиса ликвидности с августа по октябрь 2008 года такой подход к управлению рисками оказася очень успешным для рынка ликвидных акций, торгуемых в США4.

Мерой систематического риска для акций принято считать т.н. коэффициент бета. В очень огрублённых терминах, если какая-нибудь акция падает в цене в среднем на 1.3% в то время, когда рыночный индекс падает на 1.0%, то говорят, что её коэффициент бета по отношению к этому индексу равен 1.3. Этот коэффициент был впервые введён в модели оценки капитальных активов (см., например, [Fama, French, 1992, 1993]). В современном портфельном анализе один из подходов к измерению рисков состоит в использовании ковариационных матриц, на основе которых и оцениваются такие коэффициенты бета.

В главе 3 рассмотрены портфели ценных бумаг, включающие так называемые акции второго эшелона РТС5. Оказывается, что если для измерения возможностей диверсификации использовать подход Марковича (основанный на использовании ковариационных матриц), очень большую роль играет то, каким образом такие матрицы будут оценены для этих акций. Причина в том, что сдеки по акциям второго эшелона РТС производятся не каждый день, и поэтому оценки, разработанные для временных рядов дневной частотности, могут давать очень малоправдоподобные результаты.

Далее показано, что если для таких данных использовать оценку, применимую для данных одинаковой частотности (в данном случае - дневной частотности), это приведёт к нежелательным результатам: завышенным представлениям о возможностях диверсификации и даже неверным портфельным решениям. С другой стороны, мы показываем, что при использовании оценки, предназначенной для нерегулярных временных рядов и временных рядов различной частотности, результаты будут более приемлемыми. В работе показано, что такие оценки создают более реалистичное представление о возможностях для диверсификации.

Рассматривается упрощённый вариант задачи о включении новой акции в портфель паевого фонда. Обозначим через Pt стоимость портфеля в момент

4 См. Fear Factor Redux // MSCI Baira Research Bulletin, October 2008

5 согласно документации PTC (Ссыка на домен более не работаетs384), к акциям второго эшелона принято относить широкий спектр ценных бумаг, торгуемых на площадке РТС, лэмитенты которых не входят в число компаний первой величины на фондовом рынке времени t, а через St Ч цену включаемой акции в момент времени t.

Считается известным срок г владения до следующего пересмотра. Введём р i обозначения для доходностей текущего портфеля rt+T - Pt+T / Pt -1 и включаемой акции rtS+T =St+T/St Ч1, тогда соответственно е{г[+т] и (гДг) -ожидания доходностей, и ковариационная матрица доходностей:

CP'S = cov Р \ ( ( Р Р \ /9 Р \\ соVt\rt+T,rt+T) covt\rt+T,rt+Tn vcovr Ь+Г >П+т) cov, (гДr,гДг rt+T

Система поддержки принятия решений будет рекомендовать управляющему паевым*-фйндом вложить такую долю средств W (0 < w < 1) во включаемые акции, чтобы получить эффективный портфель с минимальной дисперсией доходности, поскольку, согласно уставам большинства паевых фондов, их целью является минимизация риска при различных ограничениях (например, репликации индекса или следовании определённой стратегии). Иными словами, рекомендация будет сделана па основе максимизации следующей целевой функции для некоторого положительного параметра Я (см., например, [Шведов, 1999; стр. 41, 105]):

L{w) = Л\\- М)-Е{Г,Р+т)+ W 4ДЛ

1-нЛ в случае паевого фонда можно считать Л = 0, по причине, оговоренной выше).

Коварационную матрицу доходностей существующего портфеля и включаемой акции можно оценивать двумя способами: способом, предложенным в главе 1 для случая данных различной частотности, или же по стандартной формуле из [Anderson, 1958; стр. 44-51], часто используемой на практике (пропуски запоняются линейной интерполяцией). Для примера был проведён анализ возможности включения акций ОАО Аптечная Сеть 36,6 в портфель, состоящий из компонент индекса РТС по состоянию на апрель 2007 года. Оказывается, что при оценке ковариаций первым способом рекомендуемая доля составляет w = 17%, а во втором w = 51 %. Конечно же, в контексте диверсификации первый результат выглядит намного реалистичее, чем второй. Оказывается, дело в том, что оценка, не основанная на временных рядах различной частотности, в данном случае недооценивает волатильность включаемых акций (нижний правый элемент матрицы). Также оказывается, что она недооценивает меру их систематического риска Ч коэффициент бета (отношение верхнего правого к верхнему левому элементу матрицы). Это приводит к ложным представлениям о возможностях диверсификации портфеля и, как следствие, приводит к рекомендации вложить w = 51% средств во включаемые акции.

Конечно же, следовало бы убедиться в том, что такое отличие имело место не только для акций данной компании в данный промежуток времени. Чтобы удостовериться в систематическом характере этого отличия для акций второго эшелона РТС, мы вычислили рассматриваемые оценки для всех таких акций в различные промежутки периода 2003-2007 гг. Как можно видеть из таблиц 12-14, действительно речь идёт о систематическом отличии.

Причиной этому является недооценка индивидуальной волатильности включаемой акции и недооценка коэффциента бета (меры систематического риска). Обе ошибки связаны с тем, что выборочная ковариационная матрица не предназначена для временных рядов различной частотности. Можно ли утверждать, что такое систематическое различие связано с различной частотностью данных? Оказывается, можно утверждать и это. Мы провели аналогичные расчёты для двух самых ликвидных акций первого эшелона РТС (данные о торгах по ним были доступны каждый день). Для таких акций обе оценки дают очень схожие результаты.

Итак, в третьей главе работы показано, что выборочная оценка ковариационной матрицы доходностей создаёт ложные представления о возможностях диверсификации для акций, цены которых доступны не каждый день. Показано, что более реалистичные представления о диверсификации и мере систематического риска бета можно получить при помощи оценивания асимптотической ковариационной матрицы доходностей.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы, а также представлены теоретические и практические результаты проведенного исследования.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Панов, Евгений Валерьевич

3.3. Выводы

Разобранные примеры показывают, что для применения подхода Марковича для составления портфелей из акций второго эшелона РТС выбор оценки ковариационной матрицы может иметь очень большое значение. В частности, использование выборочной ковариационной матрицы (предназначенной для временных рядов одинаковой частотности) приводит к завышенным представлениям о возможностях для диверсификации.

С другой стороны, оценка ковариационной матрицы, предложенная в разделе 1.2, приводит к более реалистичным портфельным решениям, а также и к более правдоподобным представлениям о возможностях для диверсификации. Главной причиной последнего является то, что эта оценка разработана для временных рядов различной частотности, а именно о таких данных идёт речь в случае акций второго эшелона РТС. Действительно, данные о доходностях таких акций были доступны не каждый день за последние несколько лет, поскольку не каждый день происходили сдеки по покупке или продаже таких акций.

Используемые на практике системы измерения рисков и поддержки принятия решений в паевых фондах и инвестиционных банках могут быть более сложными (например, они могут учитывать транзакционные издержки), но, как правило, тем или иным образом, они основаны на минимизации риска при различных ограничениях. При этом риск часто понимается как дисперсия доходности портфеля, выраженная через ковариационную матрицу доходностей его компонент. Поэтому использование оценок ковариационной матрицы, разработанных для временных рядов различной частотности, может оказаться весьма полезным для многих из таких предприятий.

В контексте российского рынка акций такой подход особенно актуален, поскольку по многим торгуемым на биржах акциям сдеки происходят не каждый день, а значит, использование выборочной ковариационной матрицы приведёт к неправильным представлениям о возможностях для диверсификации. С другой стороны, в контексте стандартов финансовой отчётности Basel II, метод

Марковица оказывается напрямую связан с бухгатерским учётом финансовых предприятий.

В заключение следует заметить, что рассмотренный подход, скорее всего, может быть развит путём параметризации ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг32 согласно соответствующим экономическим моделям (таких как модели в [Fama, French, 1992, 1993]). В этом случае можно использовать оценки соответствующих параметров, описанные в [Ledoit, Wolf, 2003] и [Hemmati, Hsieh, Puchkov, Stefek. 2004] (но модифицированные для данных различной частотности).

32 1акой подход на практике известен как факторная модель риска (англ .factor risk model), модель с несколькими индексами (см. [Шведов, 1999; стр. 64]) или многофакторные портфельные стрессы (англ. multifactor stresses, см. [Rubandhas, 2007])

Диссертация: библиография по экономике, кандидат физико-математических наук , Панов, Евгений Валерьевич, Москва

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C.: Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити, 1998.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: "Мир", 1976. Булинский А.В., Ширяев А.Н.: Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953.

3. Панов, Е.В. Оценка ковариационной матрицы для временных рядов различных частотностей / Е.В. Панов // Вестник Южно-Уральского Государственного Университета. Серия Математика, Физика, Химия. Ч 2008. Вып. 10. - №7 (107). Ч с.19-25.

4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: "Мир", 1974.

5. Шведов А.С. Математические основы и оценка параметров эконометрических моделей состояние-наблюдение. М.: ГУ ВШЭ, 2005.

6. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999. Akaike Н. A New Look at the Statistical Model Identification // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19. P. 716-723.

7. Anderson T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York: Wiley, 1958.

8. Andrews D. W. K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Estimation//Econometrica. 1991. Vol. 59. P. 817-58.

9. Bank for International Settlements. International Convergence of Capital Measurement: A Revised Framework Comprehensive Vision (June 2006).

10. Bartlett M.S. Periodogram Analysis and Continuous Spectra // Biometrika. 1950. Vol. 37. P. 1-16.

11. Bartlett M.S. Statistical Estimation of Density Functions // Sankya. Ser. A. 1963. Vol. 25. P. 245-254.

12. Basak G.K., Jagannathan R., Ma T. Assessing Risk in Sample Minimum Risk Portfolios: NBER Working Paper 10447, April 2004.

13. Christou C., Pittis N. Kernel and Bandwidth Selection, Prewhitening, and the Performance of the Fully Modified Least Squares Estimation Method // Econometric Theory. 2002. Vol. 18. P. 948-961.

14. Daniell P.J. Discussion on the symposium on autocorrelation in time series // Journal of

15. Royal Statistical Society (Suppl.). 1946. Vol. 8. P. 88-90.

16. DeGroot, M. H. Optimal Statistical Decisions. NY.: McGraw-Hill, 1970.

17. Den Haan W.J., Levin A. A Practitioner's Guide to Robust Covariance Matrix

18. Estimation // Working Paper TO 197, National Bureau of Economic Research, 1996.

19. Den Haan W.J., Levin A. Robust Covariance Matrix Estimation with Data-Dependent

20. VAR Prewhitening Order // Technical working paper 255, National Bureau of1. Economic Research, 2000.

21. Derman E. Where the betas are zero and the excess returns are all above average // RISK Magazine. March 2004. P. 66.

22. Dijk van D., Franses P.H. Nonlinear Error-Correction Models for Interest rates in the Netherlands // Papers 9704/a (1997), Erasmus University of Rotterdam Econometric Institute.

23. Fama E.F., French K.R. The Cross-Section of Expected Stock Returns // Journal of Finance. Vol. 47. No. 2 (June 1992). P. 427-465.

24. Fama E.F., French K.R. Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds // Journal of Financial Economics. 1993. Vol. 33. P. 3-56.

25. Ghysels, E., Sinko, A., Valkanov, R. MIDAS Regression: Further Results and New Directions // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26 (1.1). P. 53-90.

26. Johansen S., Juselius K. Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration With Applications to the Demand of Money // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1990. Vol. 52. P. 169-210.

27. Markowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance. Vol. 7. 1952. P. 77-91. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. N.Y.: Wiley, 1959.

28. Madhavan, A. The Trading Revolution: Navigating the Brave New World of Algorithmic Execution // Investment Insights. Barclays Global Investors. Vol. 8. Issue 5. July 2005.

29. McLeish, D.L. A Maximal Inequality and Dependent Strong Laws // The Annals of Probability. 1975. Vol. 3. No. 5. 1975. P. 829-839.

30. McLeod I.A., Jimenez C. Nonnegative Definiteness of the Sample Autocovariance Function//American Statistician. 1984. Vol. 38. P. 297-298.

31. Mina J., Xiao J. Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard // RiskMetrics Group, 2001.

32. Mills T.C. The Econometric Modeling of Financial Time Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

33. Newey W.K., West K.D. A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix // Econometrica. 1987. Vol. 55. No. 3 (May). P. 703-708.

34. Parzen E. On Consistent Estimates of the Spectrum of a Stationary Time Series // Ann. Math. Statist. 1957. Vol. 28. P. 329-348.

35. Penades E., Miller G. Comparing Specific Risk Forecasting Methodologies // The MSCI Barra Newsletter. Summer 2005. P. 20-27.

36. Peterson В., Boudt K. Component VAR for a non-normal world // Risk Magazine. Vol. 22. No. 11. November 2008.

37. Phillips P.C.B. Understanding Spurious Regressions in Econometrics // Journal of Econometrics. 1986. Vol. 33. P. 311-340.

38. Phillips P.C.B, Durlauf S.N. Multiple Time Series Regression with Integrated Processes // Review of Economic Studies. 1986. Vol. 53. P. 473-496.

39. Phillips P.C.B., Moon H.R. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data // Econometrica. 1999. Vol. 67. P. 1057-1 111.

40. Raynes S.R., Rutledge A.E. The Analysis of Structured Securities. N.Y.: Oxford University Press, 2003.

41. Reinganum M.R. Anomalous Stock Market Behavior of Small Firms in January // Journal of Financial Economics. 1983. Vol. 12. P. 89-104.

42. Rubandhas, S. Stress Testing in a Multi-Factor Framework // The MSCI Barra Newsletter. Q3/Q4 2007. P. 36-42.

43. Schmerken, I. Algorithmic Trading // Wall Street & Technology, February 4, 2005. Sharpe W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance, V.19. 1964. P. 425-442.

44. Stock J.H., Watson M.W. Testing for Common Trends // Journal of the American Statistical Association. 1988. Vol. 83. P. 1097-1107.

45. Straumann D., Garidi T. Developing an Equity Factor Model for Risk // RiskMetrics Journal. Winter 2007. P. 89-128.

46. Tandori K. The life and works of Lipot Fejer, Amsterdam-New York : Functions, series, operators // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 1983. P. 77-85.

47. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. V.25. 1958. P. 65-86.

48. White H. Asymptotic Theory for Econometricians. London: Academic Press, 1984. Whittle P. Prediction and Regulation by Linear Least-Squares Methods. 2nd ed. Minn: Univ. Minnesota Press, 1983.

Похожие диссертации