Модели и методы оценки платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования и перестрахования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
Автореферат
| Ученая степень | кандидат экономических наук |
| Автор | Яркова, Ольга Николаевна |
| Место защиты | Оренбург |
| Год | 2009 |
| Шифр ВАК РФ | 08.00.13 |
Диссертация
Автореферат диссертации по теме "Модели и методы оценки платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования и перестрахования"
3490476
На правах рукописи
ЯРКОВА ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПЛАТЕЖЕСПОСОБНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ ИНВЕСТИРОВАНИЯ И ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ (на примере КАСКО)
Специальность
08.00.13 -Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат диссертации
на соискание ученой степени кандидата экономических наук
2 1 ЯКЗ 2010
Оренбург-2009
003490476
Работа выпонена на кафедре Математические методы и модели в экономике ГОУ ВПО Оренбургский государственный университет.
Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент
Реннер Александр Георгиевич
Официальные оппоненты: доктор экономических наук
Афоничкин Александр Иванович, кандидат экономических наук Маяковская Ольга Викторовна
Ведущая организация: Оренбургский филиал института экономики
Уральского отделения Российской академии наук, г. Оренбург
Защита состоится 5 февраля 2010г. в 10 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.215.01 при ГОУ ВПО Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе 34, ауд. 209.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева.
Автореферат разослан 21 декабря 2009г.
Ученый секретарь диссертационного совета,
доктор экономических наук, доцент
М. Г. Сорокина
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Усиливающаяся конкуренция, о которой свидетельствует снижение доли ведущих страховых компаний в совокупном объеме собранных премий (по данным Рейтингового Агентства Эксперт РА), и увеличение рисков, обусловленное мировым финансовым кризисом, порождают высокие требования к объективной оценке не только платежеспособности страховых компаний, под которой будем понимать положительность процесса риска, но и инструментов, влияющих на нее. Одним из инструментов влияния на платежеспособность является собственный капитал страховой компании, увеличение которого возможно за счет инвестирования. Влиянию собственного капитала на такую характеристику платежеспособности, как вероятность неразорения, посвящены работы зарубежных и отечественных авторов Ф. Лундберга, Г. Грандела, Ф. де Вильдера, Т. Андерсона, X. Крамера, Г.Ш. Цициашвили. К. Сегердал, Дж.Паульсен и X. Гжессинг исследовали зависимость вероятности неразорения от начального капитала страховой компании с учетом инвестирования свободных средств в безрисковые активы. В работах С. Броуна, A.B. Мельникова и С. Асмуссена проведен анализ влияния начального капитала на вероятность неразорения страховой компаний с учетом инвестирования свободных средств в рисковые активы.
Другой возможностью повысить вероятность неразорения является перестрахование. В работах X. Шмидли и К.Хиппа получена оценка зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала с учетом перестрахования и инвестирования в рисковые активы, но при жестких допущениях о характере распределения размеров выплат и больших значениях начального капитала.
Таким образом, можно констатировать, что в работах отечественных и зарубежных авторов не уделяется внимания вопросам моделирования зависимостей вероятности неразорения страховых компаний от таких характеристик процесса риска и активов, как относительная рисковая надбавка, доходность рисковых и безрисковых активов, волатильность цен рискового актива, доля инвестирования в рисковые (безрисковые) активы, объем собственного удержания при перестраховании и др. Научно-практическая значимость и недостаточная разработанность указанных вопросов оценки платежеспособности страховых организаций обусловили выбор темы и структуру исследования.
Цель исследования заключается в совершенствовании методов оценки вероятности неразорения в условиях инвестирования и перестрахования при решении задачи повышения платежеспособности страховой компании.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
- анализ существующих методов и моделей оценки платежеспособности страховых компаний;
- моделирование взаимосвязей между вероятностью неразорения и характеристиками процесса рисков, активов, объемом инвестирования и перестрахования;
- разработка методики формирования стратегий инвестирования
- в безрисковые активы;
- в рисковые активы;
- в рисковые и безрисковые активы;
- разработка методики формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования.
Объект исследования - вероятность неразорения, как характеристика платежеспособности страховой компании.
Предмет исследования - методы и модели оценки вероятности неразорения страховой компании.
Область исследования - 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.
Теоретическая и методологическая база исследования В качестве теоретической основы диссертационной работы использовались труды отечественных и зарубежных авторов по страхованию и актуарной математике, теории вероятностей, случайным процессам, математической статистике, численному анализу. Численное моделирование реализовано с помощью среды разработки программ Delphi 7.0.
В качестве информационной базы исследования использованы данные страховой компании РЕСО-Гарантия.
Научная новизна заключается в моделировании зависимостей вероятности неразорения от характеристик процесса риска, рискового и безрискового активов, позволяющих формировать стратегии инвестирования и перестрахования для повышения платежеспособности страховой компании.
Наиболее существенные научные результаты:
- предложена и реализована процедура математического моделирования взаимосвязей между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой, относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом, вероятностью неразорения и доходностью рискового и безрискового активов, вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива и др., позволяющих количественно оценить влияние характеристик процесса риска и активов на характеристики платежеспособности страховой компании;
- разработана методика формирования стратегий инвестирования в рисковые и/или безрисковые активы на основе построенных моделей, характеризующих взаимосвязи между вероятностью неразорения и объемом инвестирования; объемом инвестирования и начальным капиталом, применение которых позволяет повышать платежеспособность страховой компании;
- предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования на основе построенных моделей, описывающих зависимости между характеристиками платежеспособности и объемом собственного удержания, реализация которых позволяет повышать вероятность неразорения страховой компании.
Практическая значимость
Результаты исследования приняты к внедрению в страховой компании ОСАО РЕСО-Гарантия (Оренбургский филиал), используются при рассмотрении вопросов, связанных с обеспечением высокого уровня неразорения. Теоретические и практические результаты, полученные в ходе исследования, используются в курсе учебной дисциплины Страхование и актуарные расчеты.
Апробация работы. Основные теоретические и практические положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:
- Всероссийская научно-практическая конференция Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2008 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция Финансовая и актуарная математика (г. Нефтекамск, НФБашГУ, 2009 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция "Многопрофильный университет как региональный центр образования и науки" (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2009 г.).
Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано 8 работ, общим объемом 2.43 п.л.( 1.565 п.л. автора), в том числе 2 статьи - в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложениях приведены информационно-справочные материалы, илюстрирующие и допоняющие основное содержание исследования. Диссертационная работа изложена на 212 страницах машинописного текста, содержит 84 таблицу и 56 рисунков. Список литературы включает 93 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Приложения представлены на 107 страницах.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы исследования, охарактеризована степень изученности проблемы, определены цель, задачи и методы исследования, раскрыты научная новизна и практическая значимость результатов исследования.
В первой главе Модели риска в страховании и методы повышения платежеспособности страховых компаний раскрыта экономическая сущность страхования, как одного из методов управления риском, описаны модели и
методы оценки вероятности неразорения, рассмотрены подходы к повышению платежеспособности страховой компании.
Наиболее поно отражает понятие риск следующее определение: риск, это ситуация возможных потерь, связанная с преодолением неопределенности в условиях неизбежного выбора, в которой имеется возможность оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели. Через риск реализуется ущерб, обретая при этом измеримые очертания. Риск и необходимость хотя бы частичного покрытия возможного ущерба вызывают потребность в страховании. Для реализации своей основной функции Ч осуществления выплат при наступлении страховых случаев Ч страховая компания дожна располагать специальными денежными ресурсами, которые определяют ее капитал. Формирование и использование капитала - основная сторона деятельности страховых организаций, направленная на обеспечение платежеспособности. Источником прибыли страховщика может служить доход от инвестиционной деятельности, поэтому естественной является задача выявления зависимости такой характеристики платежеспособности, как вероятность неразорения, от характеристик процесса риска и активов.
Первые исследователи зависимости вероятности неразорения от начального капитала не рассматривали возможность инвестирования свободных средств, но даже в этих условиях получить точное решение удалось только в частных случаях распределения размеров выплат. Лишь сравнительно недавно предложена методика оценки вероятности неразорения в пуассоновских моделях колективного риска без учета инвестирования, инвариантная относительно характера распределения выплат. Модели для вероятности неразорения, учитывающие инвестирование в рисковые и безрисковые активы, предлагались в работах С. Броуна, С. Асмуссена и Мельникова A.B.. Исследования таких моделей, полученных при следующем характере эволюции цены акции:
dS , = S ,(ju dt + adW ,) , (1)
где //и а - доходность и волатильность цены рискового актива,
W, - винеровский процесс, не содержат анализа влияния характеристик активов на платежеспособность.
Возможным подходом к повышению платежеспособности является перестрахование. Перестрахование обеспечивает вторичное перераспределение риска, тем самым способствует количественному и качественному выравниванию страхового портфеля, что в свою очередь позволяет принимать на страхование уникальные и дорогостоящие риски. Но, в работах, посвященных исследованию платежеспособности страховой компании с учетом перестрахования, не уделяется внимания оценке зависимости вероятности неразорения от объема собственного удержания и характеристик активов.
Таким образом, в литературе отсутствуют работы, посвященные вопросам количественной оценки влияния на вероятность неразорения
страховой компании таких характеристик, как доходность рискового и безрискового актива, волатильность рискового актива, доля инвестирования в рисковые и безрисковые активы, объема перестрахования, а так же выбору стратегий инвестирования и перестрахования.
Во второй главе Исследование влияния характеристик процесса риска и активов на вероятность неразорения построены зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала в пуассоновской модели колективного риска с учетом инвестирования или в рисковые, или в безрисковые активы. Предложена и реализована процедура моделирования взаимосвязей между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой, относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом, вероятностью неразорения и доходностью рискового и безрискового активов, вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива. Разработана методика формирования стратегии инвестирования в рисковые или безрисковые активы.
Динамика капитала страховой компании У,, в случае пуассоновского процесса поступления исков и инвестирования средств в рисковый актив, цены которого удовлетворяют уравнению (1), описывается моделью
где и - начальный капитал компании;
с - интенсивность поступления страховых премий;
N(0 -число поступивших исков за время [0,1] - Пуассоновский процесс с параметром ;
Л - интенсивность поступления исков;
{х,}- размеры выплат по искам страховой компании последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью распределения вероятностей/(.х). При этом, как известно, вероятность неразорения <р(и) = Р{У( > О, Г0 = и,1 > 0} может быть найдена как решение задачи:
+ *.\<р(и-у)/(у)<1у = 0,
Случай Ц = 0 и сг=0 соответствует тому, что страховая компания не инвестирует свободные средства; при ц = г > 0, <т = 0 - страховая компания вкладывает свободные средства в безрисковые активы с доходностью г, если /Л Ф 0, <7 0 - страховая компания вкладывает свободные средства в рисковые активы.
Численное решение задачи (3), предполагающее предварительную аппроксимацию Цх) отрезком обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов Чебышева, получено методом сеток. Зависимости вероятности неразорения от начального капитала, построенные для договоров КАСКО, при некоторых фиксированных значениях параметров Я, с, , представлены на рисунке 1.
начальный капитал, тыс. руб.
Рисунок 1 - Зависимости вероятности неразорения от начального капитала (тыс. руб.) для случаев: а) без инвестирования; б) с инвестированием в безрисковые активы г=0.13; в) с инвестированием в рисковые активы /л = 0.4, а - 0.25, при и е [360,520]тыс. руб., Л = 3.82 исков/день, с = 196.5 тыс. руб./день, И = 0.1 тыс. руб..
Сравнительный анализ показал безусловную целесообразность инвестирования. Для определения области значений начального капитала при которых вложения в рисковый актив обеспечивают более высокий уровень вероятности неразорения, чем вложения в безрисковые активы, определена точка инвестиционного равновесия из следующего соотношения
(р^{ир) = (рг{ир) = (рр (4)
где (р*1'" - вероятность неразорения страховой компании при инвестировании свободных средств в рисковые активы с доходностью ц и волатильностью а;
<рг - вероятность неразорения страховой компании при инвестировании свободных средств в безрисковые активы с доходностью г,
Таким образом, мы получили возможность формировать стратегию инвестирования, в зависимости от размеров начального капитала, при фиксированных параметрах процесса риска, обеспечивающую более высокий уровень вероятности неразорения. Так, например, инвестирование в рисковые активы (ц = 0.4; а = 0.25) позволяет достичь вероятности неразорения 0.95 при значении начального капитала 386.4 тыс. руб., при инвестировании в безрисковые активы (г = 0.13 ) вероятность неразорения 0.95 достигается при значении начального капитала 391.8 тыс. руб., а при отсутствии инвестирования требуется 447.3 тыс. руб. В приведенном случае, при значениях начального капитала менее 444 тыс. руб. более высокую вероятность неразорения обеспечивают рисковые активы, при значениях начального капитала более 444 тыс. руб.- безрисковые.
Семейство численных решений задачи (3) при фиксированных значениях параметров модели колективного риска, позволило построить зависимости между относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом в случаях с инвестированием и без инвестирования для заданного уровня вероятности неразорения <р', которые представлены на рисунке 2. Для наглядности, выпишем аппроксимации зависимостей относительной рисковой надбавки от начального капитала в виде обобщенного многочлена по системе функций (и/100)1", 1 = 0,1..5, полученные рекуррентным методом наименьших квадратов, при фиксированных значениях отдельных параметров (Я = 3.82исков/день, <р = 0.95):
(ир,<рр). точка инвестиционного равновесия;
и - равновесный капитал; <рР - равновесная вероятность.
в{и / <р, X, ц, ст)= -0.271685 +1.6449 * 10~4 и + 3.101368
при л = 0, а = 0;
в(и / (р, X, г) = -0.293405 -1.043 5 * 10'4 и + 3.043587Ч
при г = 0.13;
о(и/<р, X,fi,a)= -0.339056-1.173*10*4и + 3.11963
+ 0.360165[
+ 2.094024^Ч1 +0.943321
при// = 0.4, ст = 0.25.
I 30 25
Т-'-'Ч;
350 400 450 500 550 600 начальный капитал, тыс руб.
- модепьные
а) X Е)
Рисунок 2 - Зависимости между относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом для случаев: а) без инвестирования, б) с инвестированием в безрисковые активы с доходностью 0.13, в) с инвестированием в рисковые активы ц = 0.4,(7 = 0.25, при Я = 3.82исков/день, <р = 0.95
Подобные зависимости позволяют определить значение относительной рисковой надбавки, которая обеспечит заданный уровень вероятности неразорения, в зависимости от размера начального капитала. Так, например: страховой компании с начальным капиталом 400 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0.95 требуется установить относительную рисковую надбавку в размере 71% при отсутствии инвестирования. Инвестирование в безрисковые активы с доходностью 0.13 позволяет снизить рисковую надбавку до 57.5%, что обеспечит тот же уровень вероятности неразорения. Инвестирование в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью 0.25 позволяет снизить относительную рисковую надбавку до 55.5%. Анализ чувствительности относительной рисковой надбавки к изменению величины начального капитала проведенный с помощью коэффициентов эластичности (таблица 1) показал, что зависимость между относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом в модели без инвестирования характеризуется малой вариацией и высоким по модулю коэффициентом эластичности, причем, увеличение начального капитала на 1% позволит страховой компании снизить относительную рисковую надбавку в среднем на 1.42%. При инвестировании в безрисковые активы увеличение начального
капитала на 1% позволит страховой компании снизить относительную рисковую надбавку на 1.75% при начальном капитале ЗЗОтыс.руб. и на 2.14% при начальном капитале 450тыс.руб.. Зависимость между относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом в модели с инвестированием в рисковые активы характеризуется убывающим, высоким по модулю коэффициентом эластичности. Увеличение начального капитала на 1%, в этом случае, позволит страховой компании снизить относительную рисковую надбавку на 1.85% при начальном капитале ЗЗОтыс.руб, а при начальном капитале 450 тыс.руб. можно снизить относительную рисковую надбавку на 2.37%.
Таблица 1 Значения оценок коэффициентов эластичности относительной рисковой надбавки по начальному капиталу, при фиксированном <р = 0.95, Я = 3.82исков/день в случаях а) без инвестирования; б) инвестирования в безрисковые активы с доходностью 0.13; в) инвестирования в рисковые активы с ц = 0.4,сг = 0.25
Начальный капитал оценки коэффициентов эластичности относительной рисковой надбавки по начальному капиталу
а) б) в)
330 -1.431 -1.75 -1.85
350 -1.427 -1.80 -1.91
370 -1.423 -1.85 -1.98
390 -1.42 -1.91 -2.06
410 -1.416 -1.98 -2.15
430 -1.412 -2.055 -2.26
450 -1.407 -2.14 -2.37
Аналогичным образом построены зависимости между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой при фиксированном уровне начального капитала в различных условиях инвестирования, аппроксимации которых для заданных параметров процесса риска (Я = 3.82исков/день, и=350 тыс. руб.), можно записать аналитически:
<р(в/и, Л, ц,о") = 0.607741 * ехр[ -ЧЛ + 0.208026 * в - 0.262166 * в1 ,при ц = 0, о- = 0;
<р(в/и, Л, г)= 0.746759 * ехр^;^-^ - 0.226096 * в - 0.044564 * в1 ,При г = 0.13; ^(|9/ы,Л,/А<т)=О.785235*ехр|д-^^О.352961*0+О.О2О933*02,при л = 0.4, сг = 0.25 .
Аппроксимации зависимостей вероятности неразорения от доходности безрискового или рискового активов при фиксированном значении начального
капитала, для (Я = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс. руб./день, и=350 тыс.руб.) представлены ниже:
<р(г/и,Л,с)= 0.914590 + 0.021292г - 5.781 * 10"3л2 + 9.86 * 10"4г3, при а = 0; (р{ц!и,Л,с,ст)= 0.886245 + 0.152066//-0.03407иг -0.057465//3, при а = 0.25.
Полиномиальное приближение зависимости вероятности неразорения от волатильности цен рискового актива при фиксированном значении начального капитала приведено ниже:
<р(а / и, Л, с, //)= 0.956531 - 0.051763 * сг2 - 0.970834* а3,
где Л = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс. руб./день, и=350 тыс.руб., /* = 0.4.
Полученные результаты показывают как повышать вероятность неразорения страховой компании, за счет варьирования характеристик процесса риска и активов.
Варьируя а в задачах (3), (4) построили зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива, которая представлена на рисунке 6 а). На рисунке 6 б) представлена зависимость между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива при фиксированной доходности рискового и безрискового активов.
1 200 . 11Х 1 000 $ 900 5" ем
............^.....1....
;...........;......^
.............Ьс.:..... .........
..........
0.9 0.85 | 0,8 &0.75
ЁО.65 0.6
* и х- х -х - /- Яус - - ............г - Х - -
-............................-........х....^....
-........................-............. V ^............г...........г........... ........;...............:.
\.....;............
ь олатильность уем,%
еолагильность цен,%
| Интерполяционный сплайн 3-го порядка
Рисунок 6 - Зависимость между а) равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива, б) равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива, при //= 0.4;г = 0.13, Л = 3.82 исков/день, с = 196.5 тыс.руб./день
Отправляясь от таких взаимосвязей, можно сформировать стратегию инвестирования, в зависимости от размера начального капитала и значения равновесного капитала. Так, например, для заданных характеристик активов (г = 0.13 и // = 0.4): при <т <23 вложение в рисковый актив дает более высокие значения вероятности неразорения при любых значениях начального капитала; для о- > 33 более высокий уровень неразорения обеспечивает инвестирование в
безрисковые активы; при 23 < а < 33 зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива приведена на рисунке б а). К примеру, точка (30,180.6) на графике 6 а) означает, что при и <180.6 тыс. руб. лучше инвестировать в рисковые активы с доходностью ц = 0.4 и волатильностью а = 0.3, а при и > 180.6 тыс. руб. инвестирование в безрисковые активы с доходностью г = 0.13 обеспечит более высокие значения вероятности неразорения.
Таким образом, методика формирования стратегии инвестирования включает в себя:
1) построение зависимости вероятности неразорения от начального капитала при инвестировании свободных средств в безрисковые активы с доходностью г;
2) построение зависимости вероятности неразорения от начального капитала при инвестировании свободных средств в рисковые активы с доходностью fj и волатильностью цен ст;
3) нахождение значения равновесного капитала;
4) выбор вида инвестирования в зависимости от соотношения между начальным капиталом и равновесным капиталом.
В третьей главе Формирование стратегий инвестирования и перестрахования построена зависимость вероятности неразорения от начального капитала в условиях инвестирования в рисковые и безрисковые активы. Проведено моделирование взаимосвязей между вероятностью неразорения и объемом инвестирования в рисковые и безрисковые активы; объемом инвестирования и начальным капиталом страховой компании. Предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования.
Если стратегия инвестирования свободных средств страховой компании (а,Р), а + р<\, где р- доля инвестирования в безрисковый актив с доходностью r>0, а а - доля инвестирования в рисковый актив, цены S, которого удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению (1), тогда вероятность неразорения, как известно, является решением задачи
^а2агиг<р\и) + (с + (/? г + ам)и)<р'(и) - Л<р{и) + ^
+ Я j<p(u - y)f(y)dy = 0,
/р(к,) = 1, ц > а1 2,
Семейство численных решений задачи (5), полученных при фиксированных значениях интенсивности поступления исков, скорости поступления премий, доходности рискового и безрискового актива, волатильности цен рискового актива позволило построить:
- зависимости между долей инвестирования в рисковый актив и начальным капиталом при фиксированном значении вероятности неразорения (/? = 0) (рисунок 7);
- зависимости вероятности неразорения страховой компании с заданным начальным капиталом от доли инвестирования в рисковый актив (/? = 0) (рисунок 8), аппроксимации которых, при заданных параметрах процесса риска (Л = 3.82 исков/день, с =196.5 тыс. руб./день, /? = 0, и=350 тыс.руб., / = 0.4), можно записать в виде:
<р(а/Л,с,и,/9,/г,0.915314 +0.07166и-0.053887а2 + 0.01726а3, при а = 0.15;
<р{а/А,с,и,Р,м,о) = 0.915376 + 0.070346а-0.058998а2 + 0.018652а3, при сг = 0.2; <р{а/Л,с,и,р,/л,а) = 0.915452 + 0.068667а - 0.065432а2 + 0.019422а3, при сг = 0.25.;
- зависимости вероятности неразорения страховой компании с заданным начальным капиталом от <2 (/? = 1 - а). Приближения, построенные с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов, представлены ниже:
(р{а!<р,Х,Ъ,р,ц,о,х)= 0.934609 + 0.030264а -0.01936а2 + 0.004829а3, при ст = 0.15;
<р(а/<р,Л, с,Р,ц,а,г)= 0.934647 + 0.029566а - 0.024098а2 + 0.005249а3, при сг = 0.2;
<р((х/<р,Л,с,р,ц,сг,г)= 0.934698 + 0.028586а-0.0296а2 + 0.004414а3, при <т = 0.25, где Л = 3.82 исков/день, с =196.5 тыс. руб./день, /? = 1-а, г=0.13, // = 0.4, и=350 тыс.руб.;
- зависимости между (X и начальным капиталом при фиксированном значении вероятности неразорения (/? = 1 - а), представленные на рисунке 9.
450 440
ь. 420 с" в
5 410 с я
Х5 400 г
I 390
1 380 370360 350-
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 доля инвестирования в рисковый актив
Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а1* 61--
Рисунок 7 - Зависимости между долей инвестирования в рисковый актив и начальным капиталом, при // = 0.4, а) сг =0.15, б) ст=0.2, в) <У =0.25,
X = 3.82 исков/день, с = 196.5 тыс. руб./день, <р = 0.95, = 0
доля инвестирования в рисковыи актив
- модельные
а) X 61 Х в)
Рисунок 8 - Зависимости вероятности неразорения от доли инвестирования в рисковый актив, при // = 0.4, а) сг = 0.15, б) сг = 0.2, в)
а = 0.25, X = 3.82 исков/день, с = 196.5 тыс. руб./день, и = 350 тыс. руб., р = 0
доля инвестирования в рисковый актив
Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а1* в}-*-
Рисунок 9 - Зависимости между а и начальным капиталом при /л = 0.4, а) с = 0.15, б) <7 =0.2, в) <7 =0.25; /3 = 1 -а, г = 0.13, Я = 3.82 исков/день, с = 196.5 тыс. руб./день, (р = 0.95.
Зависимости подобного рода можно использовать при формировании стратегии инвестирования. К примеру: страховой компании с начальным капиталом - 385.5 тыс. руб., для обеспечения вероятности неразорения 0.95 необходимо инвестировать от 70% до 90% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью 0.25; для страховой компании с начальным капиталом 372.9 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0.95 необходимо инвестировать 50% свободного капитала в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25 и 50% свободных средств в безрисковые активы с доходностью 0.13.
С целью обеспечения необходимого уровня платежеспособности, страховщик может так же воспользоваться перестрахованием, т.е. передать часть ответственности по рискам другим страховым компаниям. Задача для определения вероятности неразорения страховой компании с учетом пропорционального перестрахования имеет вид
^а2а 2и2<р\и) + {(\ + 6)-А-т-(\ + $)-А-у-т + (6)
+ {рг + ац)и)(р'(и) - А<р(и)+А \<р{и - у)ре\у)Оу = 0,
<р(00) = 1, ц > и22,
где у: 0 < / < 1- доля перестрахования, (1 - у) - объем собственного удержания; в Ч относительная рисковая надбавка цедента; Чотносительная рисковая надбавка перестраховщика; т - математическое ожидание размеров выплат по искам X,;
/цед(*)- плотность распределения размеров выплат цедента. Зависимости вероятности неразорения от объема собственного удержания для случаев с инвестированием и без инвестирования при фиксированном значении начального капитала, полученные численно на основе семейства решений задачи (6), представлены на рисунке 10, а их аппроксимации, полученные для заданных характеристик процесса риска (Я =3.82 исков/день,
0 = 0.6, = 0.65, и = 350тыс. руб.) рекуррентным методом наименьших квадратов в форме обобщенных многочленов по системе функций
1 /(1 - у)', / = 0,5, приведены ниже:
(р{\-у/и,в,4,а,(])= 0.671867 + 0.310863Ч!--0.107783ЧЦ- +
1 ~у (1-у)
+ 0.045716-г-0.005897- 1
при а = 0, р = 0;
<р( 1 -у I и,в,,а,р,г)= 0.69472 + 0.313513 ---0.120656 Ч1Чг +
К ' Ь ' 1-у (1-у)3
+0.05417ЧЧг-0.007365 1
При а = 0, /? = 1,г = 0.13;
= 0.710573+ 0.305547ЧЧ0.12337Ч+
+0.056791Ч~г -0.007907- 1
при а = 0.5, /} = 0.5, г = 0.13, ц = 0.4, а = 0.25.
Х .............................
ХХ"*:>..............
!Х......-...... ......................
......................
ХХ' ^ " ;.......^ч^: ...... <..............г
V : Ж V :
.....................X......... ...ЖЧ**
...........,.......... X .....X.
..........;.
V-....... ;
40 50 60 70 80 30 100
об ьем собственною удержания, %
- модельные
а) X 61 Х в)
Рисунок 10 - Зависимость вероятности неразорения от объема собственного удержания для случаев: а) без инвестирования, б) с инвестированием в безрисковые активы г = 0.13, в) с инвестированием 50% свободных средств в рисковые активы ц = 0.4, а = 0.25 и 50% свободных средств в безрисковые активы г = 0.13; Я =3.82 исков/день, 0 = 0.6, = 0.65, и = 350тыс. руб.
Построение и анализ подобных зависимостей позволят страховой компании выбрать приемлемые объемы перестрахования с учетом характеристик процесса риска. Например, для обеспечения вероятности неразорения 0.96 страховой компании с начальным капиталом 350 тыс. руб.
необходимо инвестировать 50% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25, 50% свободных средств - в безрисковые активы с доходностью 0.13 и отдать на перестрахование 15% рисков, если относительная рисковая надбавка перестраховщика 0.65.
Методика формирования стратегий перестрахования в условиях
инвестирования представлена на рисунке 11. На рисунке: (рР>а>а<г вероятность неразорения страховой компании при стратегии инвестирования (а,/?) соответственно в рисковые активы с доходностью // и волатильностью а и безрисковые активы с доходностью г.
Рисунок 11 - Методика формирования стратегий перестрахования в условиях инвестирования
Все численные расчеты, представленные в работе, получены с помощью автоматизированного программного комплекса Анализ платежеспособности страховой компании.
В заключении представлены научные и практические результаты проведенного исследования.
Основные результаты и выводы по работе
1. Проанализированы существующие методы и модели оценки платежеспособности страховых компаний.
2. Предложена и реализована на примере договоров КАСКО процедура моделирования взаимосвязей между: вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой в различных условиях инвестирования; относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом в различных условиях инвестирования; вероятностью неразорения и доходностью рискового актива; вероятностью неразорения и доходностью безрискового актива; вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива; позволяющих количественно оценить влияние характеристик процесса риска и активов на характеристики платежеспособности страховой компании.
3. Разработана методика формирования стратегий инвестирования в рисковые и/или безрисковые активы на основе построенных моделей, описывающих зависимости между характеристиками платежеспособности и объемом инвестирования, реализация которых позволяет повышать вероятность неразорения страховой компании.
4. Предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования на основе построенных моделей, характеризующих взаимосвязи между вероятностью неразорения и объемом собственного удержания; объемом собственного удержания и начальным капиталом, применение которых позволяет повышать платежеспособность страховой компании.
5. Разработанные в диссертационной работе методы и модели внедрены в практику работы страховой компании РЕСО-Гарантия.
Публикации по теме диссертации
в рецензируемых ведущих изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией:
1. Реннер А.Г., Яркова О.Н. Анализ платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования в рисковые активы //Вестник Оренбургского государственного университета,-№8. -2009. -С. 102- 106 (0.6/0.3 п.л.)
2. Яркова О.Н. Исследование вероятности неразорения страховой компании с учетом диверсификации вложений и перестрахования //Вестник Оренбургского государственного университета. №9.-2009. - С. 63 - 66 (0.5/0.25 п.л.)
в других изданиях:
3. Яркова, О.Н. Оценка вероятности неразорения страховой компании в колективной модели риска/Яркова, О.Н.// Взаимодействие реального и финансового секторов в трансформационной экономике. Материалы Международной научной конференции Оренбург: ИПК ГОУОГУ, -2008. -С.450-453 (0.25 п.л.)
4. Яркова О.Н., Программное средство: Автоматизированный программный комплекс для исследования вероятности неразорения страховых компаний, Зарегистрировано в ОФАП № 10870. -01.07.2008.
5. Яркова, О.Н. Анализ платежеспособности страховой компании/Яркова, О.Н.// Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции Финансовая и актуарная математика г. Нефтекамск, Уфа РИЦ БашГУ, -2009.-с. 210-213 (0.25 п.л.)
6. Реннер А.Г., Яркова О.Н. Программное средство: Автоматизированный программный комплекс Анализ платежеспособности страховой компании /Реннер А.Г., Яркова, О.Н.// Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ №2009614611 от 28.08.09, Федеральная служба по интелектуальной собственности, патентам и товарным знакам
7. Яркова, О.Н. Исследование вероятности неразорения страховой компании с учетом перестрахования /Яркова, О.Н.//по материалам конференции Многопрофильный университет как региональный центр образования и науки. - 2009. -с. 1067 - 1069 (0.2 пл.)
8. Реннер А.Г., Яркова О.Н. Автоматизированный программный комплекс Анализ платежеспособности страховой компании // Прикладная информатика, М. - 2009. -№5(23), с. 9-15 (0.63/0.315 пл.)
Подписано в печать 15.12.09. Формат 60x48 1/16. Тираж 100 экз.
Отпечатано с готового оригинал-макета в ГОУ ВПО Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (СГАУ). 443086. Самара, Московское шоссе, 34.
Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Яркова, Ольга Николаевна
Введение
Глава 1 Модели риска в страховании и методы повышения платежеспособности страховых компаний
1.1 Риски в страховании.
1.2 Методы оценки платежеспособности.
1.3 Модели для оценки платежеспособности и подходы к ее повышению
Глава 2 Исследование влияния характеристик процесса риска и активов на вероятность неразорения
2.1 Исследование зависимости вероятности неразорения от начального капитала.
2.2 Исследование влияния характеристик активов на платежеспособность страховой компании
2.3 Анализ влияния начального капитала на стратегию инвестирования в рисковые или безрисковые активы.
Глава 3 Формирование стратегии инвестирования и перестрахования
3.1 Анализ влияния диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы на платежеспособность.
3.2 Формирование стратегии инвестирования.
3.3 Влияние перестрахования на платежеспособность.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Модели и методы оценки платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования и перестрахования"
Актуальность темы исследования. Усиливающаяся конкуренция, о которой свидетельствует снижение доли ведущих страховых компаний в совокупном объеме собранных премий (по данным Рейтингового Агентства Эксперт РА[1]), и увеличение рисков, обусловленное мировым финансовым кризисом, порождают высокие требования к объективной оценке не только платежеспособности страховых компаний, под которой будем понимать положительность процесса риска, но и инструментов, влияющих на нее. Одним из инструментов влияния на платежеспособность является собственный капитал страховой компании, увеличение которого возможно за счет инвестирования. Влиянию собственного капитала на такую характеристику платежеспособности, как вероятность неразорения посвящены работы зарубежных и отечественных авторов Ф. Лундберга [2,3], Г. Грандела[4,5], Ф. де В иль дер а [6,7], Т. Андерсона[8], X. Крамера [9,10], Г.Ш. Цициашвили [11]. К. Сегердал [12], Дж.Паульсен [13,14] и X. Гжессинг[15] исследовали зависимость платежеспособности от начального капитала страховой компании с учетом инвестирования свободных средств в безрисковые активы. В работах С. Броуна [16], A.B. Мельникова[17,18] и С. Асмуссена [19,20] проведен анализ влияния начального капитала на вероятность неразорения страховой компаний с учетом инвестирования свободных средств в рисковые активы.
Другой возможностью повысить вероятность неразорения является перестрахование. В работах X. Шмидли[21,22] и К.Хиппа [23] получена оценка зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала с учетом перестрахования и инвестирования в рисковые активы, но при жестких допущениях о характере распределения размеров выплат и больших значениях начального капитала.
Таким образом, можно констатировать, что в работах отечественных и зарубежных авторов не уделяется внимания вопросам моделирования зависимостей вероятности неразорения страховых компаний от таких характеристик процесса риска и активов, как относительная рисковая надбавка, доходность рисковых и безрисковых активов, волатильность цен рискового актива, доля инвестирования в рисковые (безрисковые) активы, объем собственного удержания при перестраховании и др. Научно-практическая значимость и недостаточная разработанность указанных вопросов оценки платежеспособности страховых организаций обусловили выбор темы и структуру исследования.
Цель исследования заключается в совершенствовании методов оценки вероятности неразорения в условиях инвестирования и перестрахования при решении задачи повышения платежеспособности страховой компании.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи: анализ существующих методов и моделей оценки платежеспособности страховых компаний;
- моделирование взаимосвязей между вероятностью неразорения и характеристиками процесса рисков, активов, объемом инвестирования и перестрахования;
- разработка методики формирования стратегий инвестирования
- в безрисковые активы;
- в рисковые активы;
- в рисковые и безрисковые активы;
- разработка методики формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования.
Объект исследования Ч вероятность неразорения, как характеристика платежеспособности страховой компании.
Предмет исследования Ч методы и модели оценки вероятности неразорения страховой компании.
Область исследования - 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.
Теоретическая и методологическая база исследования В качестве теоретической основы диссертационной работы использовались труды отечественных и зарубежных авторов по страхованию и актуарной математике, теории вероятностей, случайным процессам, математической статистике, численному анализу. Численное моделирование реализовано с помощью среды разработки программ Delphi 7.0.
В качестве информационной базы исследования использованы данные страховой компании РЕСО-Гарантия.
Научная новизна заключается в моделировании зависимостей вероятности неразорения от характеристик процесса риска, рискового и безрискового активов, позволяющих формировать стратегии инвестирования и перестрахования для повышения платежеспособности страховой компании.
Наиболее существенные научные результаты: предложена и реализована процедура математического моделирования взаимосвязей между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой, относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом, вероятностью неразорения и доходностью рискового и безрискового активов, вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива и др., позволяющих количественно оценить влияние характеристик процесса риска и активов на характеристики платежеспособности страховой компании;
- разработана методика формирования стратегий инвестирования в рисковые и/или безрисковые активы на основе построенных моделей, характеризующих взаимосвязи между вероятностью неразорения и объемом инвестирования; объемом инвестирования и начальным капиталом, применение которых позволяет повышать платежеспособность страховой компании;
- предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования на основе построенных моделей, описывающих зависимости между характеристиками платежеспособности и объемом собственного удержания, реализация которых позволяет повышать вероятность неразорения страховой компании.
Практическая значимость Результаты исследования приняты к внедрению в страховой компании РЕСО-Гарантия (Оренбургский филиал), используются при рассмотрении вопросов, связанных с обеспечением высокого уровня неразорения. Теоретические и практические результаты, полученные в ходе исследования, используются в курсе учебной дисциплины Страхование и актуарные расчеты.
Апробация работы Основные теоретические и практические положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:
- Всероссийская научно-практическая конференция Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2008 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция Финансовая и актуарная математика (г. Нефтекамск, НФБашГУ, 2009 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция "Многопрофильный университет как региональный центр образования и науки" (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2009 г.).
Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано 8 работ, общим объемом 2.43 п.л.(1.565 п.л. автора), в том числе 2 статьи - в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложениях приведены информационно-справочные материалы, илюстрирующие и допоняющие основное содержание исследования. Диссертационная работа
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Яркова, Ольга Николаевна
Заключение
Проведенный анализ моделей и методов оценки платежеспособности страховой компании позволил сделать вывод о неисследованности количественной оценки влияния на вероятность неразорения таких характеристик, как относительная рисковая надбавка, доходность рискового и безрискового активов, волатильность цен рискового актива, доля инвестирования в рисковые и безрисковые активы, объем собственного удержания при перестраховании.
В работе предложена и реализована процедура моделирования взаимосвязей между характеристиками платежеспособности страховой компании и характеристиками процесса риска, активов, объема ч инвестирования и перестрахования позволяющих:
- количественно оценить размеры относительной рисковой надбавки, обеспечивающей заданную вероятность неразорения при фиксированном начальном капитале в различных условиях инвестирования;
- количественно оценить размеры относительной рисковой надбавки в зависимости от размера начального капитала, гарантирующей фиксированный уровень вероятности неразорения в различных условиях инвестирования;
- количественно оценить влияние доходности безрискового актива, доходности рискового актива, волатильности цен рискового актива на вероятность неразорения страховой компании.
Разработана и реализована методика формирования стратегий инвестирования в рисковые активы; в безрисковые активы; в рисковые и безрисковые активы обеспечивающие требуемый уровень вероятности неразорения в зависимости от соотношения между характеристиками активов и характеристиками процесса риска.
Разработана и реализована методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования на основе построенных моделей, характеризующих взаимосвязи между вероятностью неразорения и объемом собственного удержания; объемом собственного удержания и начальным капиталом, применение которых позволяет повышать платежеспособность страховой компании.
Разработанные в диссертационной работе методы и модели внедрены в практику работы страховой компании РЕСО-Гарантия (Оренбургский филиал) и используются при рассмотрении вопросов, связанных с обеспечением высокого уровня неразорения.
Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Яркова, Ольга Николаевна, Оренбург
1. Малолетнее, А. М., Янин А. Е., Самиев 77. А. Рынок розничного страхования: эволюция спроса //Аналитический отчет агентства Эксперт РА и Национального Агентства Финансовых Исследований (НАФИ), -2008,-23с.
2. Lundberg F. Approximerad framsallning av sannolikhets funktionen; aterforsakring av kollektiv risker // Uppsala: Almqvist-Wiksell., 1903.
3. Lundberg F. Forsakringsfceknisk riskutjamning // F. Englunds boktryckeri A.B., - 1926.
4. Grandell J. Risk Theory and Geometric Sums // Информационные процессы. Том 2. №2, 2002. - С. 180-181
5. Grandell, J. Simple Approximations of Ruin Probability // Insurance Math. Econom. 26. 2000. -P. 157-173.
6. De Vylder, F.E. Advanced Risk Theory. A Self-Contained Introduction // Editions de l'Universite de Bruxelles and Swiss Association of Actuaries. -1996.
7. De Vylder, F.E. A Practical Solution to the Problem of Ultimate Ruin Probability // Scand. Actuar. J.- 1978. -P. 114-119.
8. Andersen E. Sparre. On the collective theory of risk in the case of contagion between claims // Transaction XV International Congress of Actuaries.-1957.-Vol. II.-P. 219-229
9. Cramer H. Collective Risk Theory, Jubille Volume of F. Skandia. 1955.
10. Cramer H. On the martingal theory of risk // Stockholm: Skandia Jubilee Volume. 1930.
11. Цициашеили Г.Ш., Шкварник E. С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска // Труды Первой Всероссийской ФАМ'2002 конференции. Красноярск: ИВМ СО РАН. -2002. -310 с.
12. Grandell J. and Segerdahl С. О. A Comparison of Some approximations of Ruin Probabilities // Skand. Aktuar. Tidskr. 1971. -P. 144-158.
13. Paulsen J. Risk theory in a stochastic economic environment // Stochastic Process and their Applications. 46. -1993. -P. 327-361.
14. Paulsen J. Sharp conditions for certain ruin in a risk process with stochastic return on investments // Stochastic Process and their Applications. 75. -1998.-P. 135-148.
15. Paulsen J. and Gjessing H.K. Ruin theory with stochastic return on investments // Advances in Applied Probability. 29. -1997. P .965-985.
16. Browne. S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: Exponential utility and minimizing the probability of ruin // Mathimatics of Operations Research. 20. -1995. -P. 937-958.
17. Мельников, A.B. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной промышленной математики. -1995. Т.2. №4. С. 514-526.
18. Мельников А.В. Математика финансовых обязательств. -М.: ГУ ВШЭ, 2001.- 260с.
19. Asmussen S. Subexponential asymptotic for stochastic process: extremal behaviour, stationary distributions and first passage probabilities // The Annals of Applied Probability. 8 . -2000. -P. 354-374.
20. Asmussen S. and Nielsen H.M. Ruin probabilities via local adjustment coefficients // Journal of Applied Probability. 32. -1995. -P. 376-755.
21. Schmidli H. Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk process in the small claim case // Информационные процессы. Том 2. №2. -2002. -С. 257-258.
22. Schmidly Н. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting // Scand. Actuarial J. -2001. -P. 55-68.
23. Hipp C. and Plum M. Optimal investment for inshurers // Inshurance Math. Econom. -2000. -P. 215-228.
24. Понятие рисков в экономической деятельности. Еремин Б. А., Романенко Д. В. Научная сессия профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов по итогам НИР 2002 года Ч сборник докладов. ФФКиМЭО СПБГУЭиФ. Ч 2003.
25. Шапкин А. С. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций / Шапкин А.С., Шапкин В.А. / М.: -2006. -880с.
26. Финансовый менеджмент / Под ред. Е.С. Стояновой М.: Перспектива. -1993.
27. Риски в современном бизнесе / П.Г. Грабовый, С.Н. Петрова, С.И. Потавцев и др./ М.гИздательство Алане. -1994
28. Алъгин, А.П. Риск и его роль в общественной жизни. М.: Мысль.1989.
29. Тэпман, JI.H. Риски в экономике / М:Юнити. -2002.
30. Гвозденко А. А. Страхование / М.: ТК Веби, Изд-во Проспект. -2006. 464 с.
31. Гражданский кодекс РФ ст. 928
32. Яковлева Т.А., Шевченко О.Ю. Страхование : Учеб. пособие / Яковлева Т.А., Шевченко О.Ю. Ч М: Экономистъ. -2004. с. 217.
33. Emiliano A., Valdes Ruin probabilities with dependent claims. -2002. Ч33p.
34. Thorin O. Ruin probabilities prepared for numerical calculation // Skandinavsk Aktuarial Journal. -1977. -P. 121-142.
35. Bohman H. Ruin probabilities // Skandinavsk Aktuarietidskrift. -1971. -P. 159-163.
36. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of lage claim // Insurance: Mathematics and Economics 1. 1982. - P. 55-72.
37. Gerber H. and Yang H. Absolute ruin probabilities in a jump diffusion risk model with investment // North American Actuarial Journal. 11. -2007. -P. 159-169.
38. Paulsen J., Kasozi J. and Zeitouny O. Ruin probability in the presence of risky investments // Stochastic Process and their Applications. 116. -2006. -P. 267278.
39. Zhu J. and Yang H. Estimates for the absolute ruin probability in the compound Poisson risk model with credit and debit interest // Advances in Applied Probability. 40. -2008. -P. 818-830.
40. Kalashnikov V. and Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments // Stochastic Process and their Applications. 98. -2002. -P. 211-228.
41. Kalashnikov V. and Norberg R. Ruin probability under random interest rate // Working paper, Lab. Of Actuarial Math., Univesity of Copenhagen. -1999. -P. 1-18.
42. Малиновский В. К. Некоторые вопросы исследования платежеспособности страховых компаний // Страховое дело №6. -1995. -С. 46-52.
43. Garcia Jorge М. A. Explicit solutions for survival probabilities in the classical risk model/Astin bulletin. Vol. 35. No 1. -2005. -P. 113 130.
44. Саблин Д. Инвестиционная деятельность страховых компаний: навстречу рынку // Рынок ценных бумаг №19. -2006.
45. Корнилов И. А. Основы страховой математики / Уч.пособ. М.:Юнити-Дана. -2004. -400с.
46. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании -М.: Российский Юридический Издательский дом. -1994.
47. Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска: учебное пособие для вузов. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, -2005.-400с.
48. Грызлова А.А. Компьютеризация страхового дела. М.ЖИПУ РАН. -1999. -245с.
49. Кудрявцев А.А. Актуарные модели финансовой устойчивости страховых компаний / СПб.: Институт страхования. -1997. -62с.
50. Страховое дело / уч. пособие под ред. Л.И. Рейтмана М.: РоСТо. -1992. -524с.
51. Бауэре Н., Гербер X., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. -М.:Янус-К. 2001. -с.656.
52. Гвозденко А.А. Основы страхования. -М.: Финансы и статистика. -1999. -300с.
53. Lemaire J. Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance // Kluwer Academic Publishers. Buston Dordrecht bonders. -1995.
54. Gomez E., Perez J., Hernandez A., and Vazquez-Polo F.J., Measuring sensitivity in a Bonus-Malus System // Insurance: Mathematics and Economics. 31.-2002. -P. 105-113.
55. Pitrebois S., Walhin J-F., Denuit M., Bonus-malus systems with varying deductibles // Astin Bulletin Vol 35. №1. -2005. -P. 261-274.
56. Grandell, J. Risk Theory and Geometric Sums // Информационные процессы. Том 2. №2. 2002. -P. 180-181.
57. Wikstad N. Exemplication of Ruin Probabilities // Astin Bulletin 6: -1971. -P. 147-152.
58. Panjer, H.H. and Willmot, G.E. Insurance Risk Models // Society of Actuaries, Schaumburg. -1992.
59. Burnecki, K., Mista, P., and Weron A. What is the Best Approximation of Ruin Probability in Infinite Time //Appl. Math. (Warsaw). -2004.
60. Kalashnikov V. Mathematical methods in the ruin probability theory // Lecture notes. Copehagen. 1991.
61. Asmussen S. Ruin Probabilities // World Scientific Singapore. 2000.
62. Embrechts P., Kl 'uppelberg C., and Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance // Springer, Berlin. -1997.
63. Реннер А.Г., Ерофеев A.B. Анализ вероятности неразорения в колективных моделях риска // Вестник ОГУ. 2007. №8. - С. 69-72.
64. Usabel М. Ultimate ruin probabilities for generalized gamma-convolutions claim sizes. -1999.
65. Burnecki K., Mista P. and Weron A. A New De Vylder Type Approximation of the Ruin Probability in Infinite Time // Research Report HSC/03/05. -2003.
66. Goovaerts M.J and De Vylder F. A stable recursive algorithm for evaluation of ultimate ruin probabilities // ASTIN Bulletin 14. -1984. -P. 53-59.
67. Dickson D.C.M. Recursive calculation of the probability and severity of ruin// Insurance: Mathematics and Economikc. 8. -1989. -P. 145-148.
68. Dickson, D.C.M. and Waters H.R. Recursive calculation of survival probabilities //Astin Bulletin 21. -1991. -P. 199-221.
69. Tinney W.F. Comments on using sparsity techniques for power systems problems // In Willoughby. -1967. -P. 25-34.
70. Culliim J. and Willoughby R.A. Computing eigenvalues of very large symmetric matrices. An implementation of a Lanczos algorithm with no reorthogonalization // J. Comp. Phys. 44. -1981. -P. 329-358.
71. Brayton R.K., Guastavson F.G. and Willoughby R.A. Some Results on sparse matrices // Math. Comput. 24. -1970.-P. 937-954.
72. Usabel M. Ultimate ruin probabilities for generalized gamma-convolutions claim sizes. -1999.
73. Ramsay C.M. and Usabel M.A. Calculating ruin probabilities via product integration // Astin Bulletin. Vol 27. No 2. -1997. -P. 263-271.
74. O. Thorin Some remarks on the ruin problem in case the epochs of claims form a renewal process // Skandinavsk Aktuarietidskrift. -1970. -P. 29-50.
75. O. Thorin Further remarks on the ruin problem in case the epochs of claims form a renewal process // Skandinavsk Aktuarietidskrift. -1971. -P. 14-38.
76. H. Bohman Fourier Inversion-Distribution functions-Longe tailse // Skandinavsk Aktuarial Journal. -1974. -P. 43-45.
77. H. Seal Numerical calculation of the Bohman-Esscher family of convolution-mixed negative binomial distribution functions // Mitt. Verein. schweiz. Versich.-Mathr. -1971. -P. 71-94.
78. H. Seal The numerical calculation of U(w,t), the probability of non-ruin in an interval (0,t) // Scan. Act. Journal. -1974. -P. 121-139.
79. H. Seal Numerical inversion of characteristic function // Scan. Act. Journal. -1977.-P. 48-53.
80. Heckman and G.Mayers The calculation of aggregate loss distributions from claim severity and claim count distributions // Proceedings of the Casuality Actuarial Society LXX. -1983. -P. 22-61.
81. Kendall M.and Stuart A. The Advanced Theory of Statisticse // Vol I, 4th Editions MacMillan. 1977.
82. Davies B. and Rabinowitz P. Methods of numerical integration // Second edition, academic Press Inc. Boston. -1984.
83. Dufresne F., Gerber H. U. Three Methods to Calculate the Probability of Ruin//Astin Bulletin Vol 19. №1. -1989. -C.71-90.
84. Burnecki K., Mista P. and Weron A. A New De Vylder Type Approximation of the Ruin Probability in Infinite Time // Research Report HSC/03/05. -2003.
85. Segerdahl C.O. Uber einige risikotheoretisch Fragestellungen // Skandinavsk Aktuartidsskrift. 25. -1942. -P. 43-83.
86. Embrechts P. and Schmidli H. Ruin estimation for a general inshurance risk model // Advances in Applied Probability. 26. -1994. -P.404-422.
87. Sundt B. and Teugels J.L. Ruin estimates under interest force // Inshurance, Mathematics and Economics. 16. -1995. -P. 7-22.
88. Schmidli H. Risk theoiy in a economic environment and Markov process // Mitteilangen der Vereinigung der Versicherungsmatematiker. 51. -1994. -P. 5170.
89. Frolova A.G., Kabanov Y. and Pergamenschikov S.M. In the inshurance business risky investments are dangerouse // Finance and Stochastics. 6. -2002. -P. 227-235.
90. Nyrhinen, H. Finite and infinite time ruin probabilities in a stochastic economic environment // Stochastic Process and their Applications. 92. -2001. -P. 265-285.
91. Grandits P. A Karamata-type theorem and ruin probabilities for an insurer investing proportionally in the stock market // Inshurance, Mathematics and Economics. 34. -2005. -P. 297-305.
92. Schmidli H. Asimptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance and investment policies: The large claim case // Queueing Systems. 46. -2004. -P. 149-157.
93. Paulsen J. Ruin models with investment income // Probability Surveys Vol.5. -2008. -P. 416-434.