Кластерные методы минимизации риска портфеля ценных бумаг тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
Автореферат
| Ученая степень | кандидат экономических наук |
| Автор | Койбаева, Марина Ханджериевна |
| Место защиты | Владикавказ |
| Год | 2006 |
| Шифр ВАК РФ | 08.00.13 |
Диссертация
Автореферат диссертации по теме "Кластерные методы минимизации риска портфеля ценных бумаг"
На правах рукописи
Кой бае в а Марина Ханджериевна
КЛАСТЕРНЫЕ МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА ПОРТФЕЛЯ ДЕННЫХ БУМАГ
08.00.13 - Математические
и инструментальные метода экономики
Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук
Ставрополь - 2006
Диссертация выпонена в Северо-О сетинском государственном университете имени К.Л. Хетагурова
Научный руководитель -
Официальные оппоненты:
Ведущая организация -
доктор технических наук, профессор ВИНТИЗЕНКО ИЮНЬ ГЕОРГИЕВИЧ
доктор экономических
наук, профессор КАЛИНИЧЕНКО
ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ
кандидат экономических наук, доцент ТИНЯКОВА ВИКТОРИЯ ИВАНОВНА
Ивановский государственный
химико-технологический
университет
Защита состоится л бдекабря 2006 г. в 12 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДМ 222.256.06 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009 Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 2.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета.
Автореферат разослан л 6 ноября 2006 года.
Учёный секретарь диссертационного совета, доктор социологических наук, доцент
И.В. НОВИКОВА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования.
Операции на рынке ценных бумаг и в банковском менедж-1 менте всегда связаны с рисками. Классически математический риск банковского портфеля ценных бумаг (H. Markowitz, 1952; A. Sharp; D. Tobin, 1958; В. Millet) определяется через величину среднего квадратичного отклонения (стандарта) или дисперсии, т.е. сугубо статистически. Количественные оценки принимаемых решений основаны на математических методах, а сами банковские процессы стохастичны. Появление в последние десятилетия финансовой, страховой, актуарной математики, финансовой инженерии и достигнутые ими успехи приводят нас к выводу, что математические и инструментальные подходы становятся главенствующими в финансовой теории и практике. Решение задач на финансовых рынках количественными методами принципиально отличается по постановке, созданию математической модели, представлению критерия оптимальности и интерпретации результатов от задач общенаучных, что привносит в экономику не только прагматическую, но и научную новизну.
Любое исследование, рассчитанное на решение проблем в финансовом секторе, естественно, желает получать в каком-то смысле наилучшие результаты. Бели оно касается изучения доходов и рисков портфеля ценных бумаг банка, то главным достижением исследования будет оптимальное управление портфелем с максимизацией дохода и минимизацией риска. Оно дожно быть конструктивным, отвечая на вопрос менеджера банка что и когда делать с тем или иным активом? и давая инструмеотальную технологию для работы с портфелем.
Всё это определило тему, цель, задачи, логику диссертационного исследования, которое посвящено оценке банковских рисков и оптимальному управлению портфелем ценных бумаг, где лоптимальное управление подразумевает, в первую очередь, минимизацию риска портфеля при a priori заданном доходе в условиях неопределённости финансового рынка. Потребовалось разработать новые, научно обоснованные методы подбора групп ценных бумаг в кластеры, минимизирующие суммарный риск портфеля, разработать адекватные методы управления финансовыми инструментами и способы прогнозирования, что особенно актуально в современной непредсказуемой российской действительности на сто хаотичном рынке ценных бумаг.
Финансовые инструменты со своими статистическими характеристиками при помещении в портфель начинают интерферировать друг с другом, придавая портфелю новые интегральные свойства. Эта неаддитивность, составляющая главную проблему управления портфелем с минимумом его риска, дожна быть учтена и представлена.
В условиях, когда в портфеле имеются многие сотни ценных бумаг с тысячами параметров, а к формальным математическим кри-
териям большего или меньшего риска присоединяются неформальные, особую актуальность приобретают методы наглядной визуализации сравнительного состояния активов и их рискованности. С другой стороны, окончательные решения дожны сопровождаться точным математическим расчетом и нахождением области Парето минимальных рисков, что при удачном сочетании формальных критериев и интуитивных представлений менеджера будет давать не просто формальный оптимальный результат, но еще и практически полезный.
Так или иначе, в работах по минимизации риска портфеля приходится сочетать все возможные пары активов, что делает задачу комбинаторной, с ростом числа активов быстро растет число пар таких сочетаний, с вычислительной точки зрения задача становится КР-поной (ГР-бычислимой). Естественно, что предложение любой эвристики, т.е. агоритма для сокращения перебора вариантов при поиске решения, полезно, оно вылилось в предварительную декомпозицию общего числа активов на несколько групп: не дающих уменьшения риска; незначительно уменьшающих риск; сильно уменьшающих риск. Это приводит к резкому сокращению числа рассматриваемых вариантов и времени решения задачи, к её лучшей лобозримости.
Математическая постановка задач минимизации риска портфеля ценных бумаг, модели, методы, агоритмы отличаются оценками быстродействия или вычислимости, возможными иррегулярными ситуациями, в том числе и отсутствием решений. Все это заставляет в прикладных исследованиях прибегать к высокоэффективным, проверенным догой практикой, хорошо известным математическим методам с их надёжной компьютерной реализацией. Методы дожны иметь агоритмы, встроенные в системы компьютерной математики и настраиваемые на решение конкретных задач. В случае кластерной декомпозиции активов портфеля модель, позволяющая экономно выбрать походящие их пары, дожна успешно работать на персональном компьютере со средними операционными характеристиками.
Актуальность и недостаточная разработанность точных математических методов и наглядных способов агрегирования ценных бумаг для минимизации рнска портфеля, новых эвристик во множестве пар финансовых активов при их декомпозиции иа кластеры, необходимость использова1шя систем компьютерной математики, пространственной визуализации вариантов, привлечения интуитивных оценок финансового менеджера предопределили выбор темы исследования.
Степень разработанности проблемы.
История минимизации риска портфелей ценных бумаг начинается с работ Г, Марковича и Дж. Тобина, Нобелевских лауреатов. Большой вклад в развитие финансовой математики внесли зарубежные ученые, это: СДж. Браун, Ю. Бригхем, Л. Гапенски, Е. Кочович, Н.П.- Крицмен, Б, Милер, Дж. ОТЗрайен, К. Паррамоу, Д.Г. Сигел, Дж. Сорос, Р. Томас, Т. Дж. Уотшем, Э. Хефсрт, А. Шарп, Д.К. Шим.
Из отечественных ученых особо отметим П.В. Акинина, М.Ю. Алексеева, И.Т. Балабанова, Г.П. Башарина, В.А, Галанова, A.A. Горчакова, В.В. Давниса, Е.Ф. Жукова, О.О. Замкова, В.В, Иванова, А.Н, Ильченко, В.И. Калиннченко, В.А. Кардаша, В.В. Киселева, В.И. Колесникова, В.А. Аялик, И.С. Меньшикова, И.Г. Наталуха, В.А. Перепелицу, Е.В. Попову, Ф.Б. Риполь-Сарагоси, Б.П. Рязанова, В.И. Тиняко-ву, Н.Х. Токаева, Е.М. Четыркина, А.Н. Ширяева и др.
В отечественной и зарубежной литературе по проблеме минимизации рисков портфеля денных бумаг исследуются и применяются различные парадигмы, концепции, способы, модели, методы, базирующиеся на статистическом понятии риска и использующие стохастическую природу процессов на финансовом рынке. Среди работ по минимизации рисков следует отметить труды Ю. Бригжема, Л. Гапен-ски, К. Паррамоу, Э. Хеферта, М.М. Агаркова, Г.П. Башарина, A.B. Михеева, A.A. Первозванского, В.Д, Покровского, Т.Г. Стрункова, А.Н. Ширяева. Проблемами прогноза в задачах минимизации финансовых рисков серьёзно и плодотворно занимаются A.B. Горчаков, И.Г. Наталуха, В.А. Перепелица, Е.В. Попова, Б.П. Рязанов, P.A. Фатхутдинов и др. Методы кластерного анализа, достаточно нового для экономики и финансового менеджмента математического аппарата, представлены в работах по многомерной статистике, в первую очередь стоит отметить классиков Ч это Б. Дюран и П. Одел.
Тем не менее, при большом числе серьёзных работ, широте исследований, обилии полученных результатов в задачах минимизации рисков вообще и риска портфеля ценных бумаг, в частности, всё ещё находятся разделы этой проблемы, которые могут улучшить, ускорить решение, проще и нагляднее представить результаты для использования на практике. Тогда в помощь строгим математическим аналитическим критериям необходимо привлекать аналитические, численные и графические решения, а также неформализованные оценки рисков.
Объектом исследования являются фондовые биржи, отделы ценных бумаг коммерческих банков регионального, российского и международного масштабов.
Предметом исследования выступают сложные многофакторные динамические процессы на рынке ценных бумаг, проявляющиеся в рисках локальных активов и интегрально в риске портфеля ценных бумаг в условиях общей экономической нестабильности, жёсткой конкуренции участников рынка, стохастично-сти и непредсказуемости финансовых процессов на нём.
Цель и задачи диссертационного исследования.
Целью диссертационной работы является совершенствование методов оценки и расчёта риска портфеля ценных бумаг при условной фиксации его дохода с привлечением к минимизации риска портфеля агоритмов кластеризации, выделяющих из множества активов портфеля те пары, которые способствуют минимизации его глобального
риска. Вспомогательные цели: привлечение новых эвристик при декомпозиции множества финансовых инструментов на кластеры с минимизацией времени перебора; привлечение интуиции финансового менеджера, располагающего наряду с количественными характеристиками графическими образами для визуального отсеивания пар активов и кластеров, не ведущих к минимизации риска портфеля.
В соответствии с поставленными целями в работе решались следующие задачи:
проведен системный анализ проблемы;
выбрана стохастическая модель риска финансового актива;
предложен метод оптимальной декомпозиции активов на кластеры, когда под оптимальным понимается такой размер кластера, при котором минимизируется время перебора подходящих пар;
Исследованы способы органйзации кластеров по критериям различных мер (расстояний): евклидова, ii-норма, сгопремум-норма, мера Махалаиобиса и др. Выбрана мера Джеффриса-Матуситы, наилучшим образом соответствующая содержательному смыслу задачи;
рабочим агоритмом кластеризации в расширенном трёхмерном статистическом пространстве выбран агоритм Сокала- Мичен ера;
построена и реализована динамическая оптимизационная модель кластерного представления портфеля, демонстрирующая в виде точек и обобщающих их кластеров в трёхмерном пространстве множества Парето многокритериальной оптимизационной задачи;
синтезирована система поддержки принятия решений, базирующаяся на системе компьютерной математики МАРЬЕ 9.5;
на базе рабочих моделей портфелей ценных бумаг - индексы американских, английских фондов, фондовых бирж, банков и АРТ-банка г. Владикавказа PCO-Алании (Республика Северная Осетия-Алания) -проведены численные эксперименты при широкой вариации параметров ценных бумаг, норм близости кластеров, допустимых точностей прогноза, получены практически важные результаты.
Основная идея исследования состоит в том принципиальном положении, что для минимизации риска портфеля в кластеры следует объединять не активы с близкими свойствами, что составляет основу кластерного анализа, а пары активов с противоположными статистическими свойствами, это заставило искать новые подходы, в частности, предложить модель трёхмерного пространства оптимальной кластеризации, найти новую методику в проблеме поиска минимума риска банковского портфеля.
Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальностей ВАК (по экономическим наукам).
Работа выпонена в соответствии с п. J.б Паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики: Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и
актуарных расчётов.
Теоретические и методологические основы исследования
составляют труды зарубежных и российских экономистов и математиков по математическим и инструментальным методам моделирования, анализа, визуализации экономических и финансовых процессов. В исследовании применялись базовые принципы системного, структурного и экономического анализа, теория финансового менеджмента, дискретная математика, математическая статистика, включая методы многомерной статистики, кластерный анализ, ГР-вычислимость. Инструментом исследования стала созданная система поддержки принятия решений на базе системы компьютерной математики МАРЬЕ 9.5.
Эмпирическую базу исследования составили собранные статистические сведения о рынках ценных бу-!з\1аг как за рубежом, так и в России, о Составе йг динамике портфеля ценных бумаг коммерческого АРТ-банка (Владикавказ, РСО-Алания).
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:
1. Возможности математического аппарата кластерного анализа систематически исследованы и модернизованы для адекватного решения финансовых задач о минимизации риска портфеля ценных бумаг.
2. Найдена эвристика оптимальной предварительной декомпозиции ансамбля объектов на кластеры, число и размеры которых минимизируют время поного переборного поиска риска портфеля.
3. Предложена методика расширенной кластеризации активов при использования трёхмерного статистического пространства с N объектами, где объектом становится агрегированная пара активов, а область Парето образуется в трёхмерном пространстве с координатами X = Л - Щеп, У = А, = И^-ст; и г = рц.
4. На базе известных функций расстояния (метрик) кластерного анализа выбрана редко используемая функция расстояния - мера Джеф-фриса-Матуситы, репрезентативная как сути решаемой задачи, так и ускоряющая вычислительное снижение суммарного риска портфеля.
5. Построенные в работе агоритмы декомпозиции и расширенной кластеризации основаны на строгом математическом аппарате, обеспечивают нахождение области Парето в трёхкритериальной проблеме минимизации риска портфеля за наименьшее время вычислений.
6. Своеобразие предложенных объектов кластеризации опирается на новую четырёхступенчатую схему решения задачи:
- построение трёхмерного модельного пространства оптимальной кластеризации с агрегированием в пары статистически оппозитных активов, которые могут минимизировать суммарный риск портфеля;
- предпроектная оптимальная декомпозиция, минимизирующая время перебора за счёт выбора размера и числа кластеров;
- минимизация суммарного риска портфеля решением задачи о назначениях;
- прямой синтез кластеров двухгрупповым методом Сокала-Мичене-ра с использованием метрики (меры) Джеффриса-Матуситы. 7. Создана система поддержки принятия решений, включающая в себя агоритмы предварительной декомпозиции, расширенной трёхмерной (кластеризации активов, агоритмы назначения, позволившая автоматизировать расчёты по предложенным методикам и указать в первом кластере области Парето те пары активов, которые минимизируют риск портфеля наиболее значительно.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные методы, методики, агоритмы могут быть использованы для решения широкого круга задач финансового менеджмента, где достижение общей цели сопровождается декомпозицией системы на части, решением частных задач, синтезом общего решения из_частных. Поэтом процессе для поно-переборных по своей сути задач экономится время решения, визуализируется в трёх измерениях выделенная часть, что даёт возможность обзора всего решения и наглядного выбора финансовым менеджером рационального варианта с введением в решение неформальных, интуитивных оценок и возможным осознанным сдвигом математически точного оптимума. Это актуально для оценки рисков финансовых активов, когда формализация не может охватить все возможные ситуации. Созданная система поддержки принятия решений применяется для решения описанного комплекса и других одиночных задач актуарной математики.
Обоснованность н достоверность научных положений, выводов и рекомендаций диссертации
подтверждается применением: системного, структурного подходов; современных представлений о стохастичности финансового рынка и методах работы на нём финансового менеджера; экономико-математических методов, включая такие разделы, как прогностика, Р-вычислимость, теория графов, теория декомпозиции, кластерный анализ; математических моделей; проверенных агоритмов кластеризации при разнообразии функций расстояния (метрик) в кластерном анализе; современных инструментальных средств и информационных технологий; документальным характером использованных числовых данных по объекту приложений (активы фондовых бирж, портфели ценных бумаг коммерческих банков) предложенных моделей и методов.
На защиту выносятся следующие положения, результаты и выводы:
1. Сложное эндогенное взаимодействие активов финансового рынка и их связь с глобальными экзогенными экономическими изменениями диктует необходимость применения системного анализа, современных математических и инструментальных методов (кластерного анализа, теории систем, численных методов, прогностики, информационных технологий, систем компьютерной математики и др.).
2. Математическая трактовка риска финансового актива как
величины среднеквадратичного отклонения (СКО, стандарта) или дисперсии требует использования стохастической парадигмы, статистических подходов, моделей и методов.
3. Организационно-технологическая специфика операций на рынке ценных бумаг позволяет декомпозировать всё множество пар активов на кластеры, не влияющие, слабо влияющие, сильно влияющие на уменьшение риска портфеля, с выбором требуемого кластера.
4. В методике декомпозиции активов портфеля на кластеры из известных норм расстояний кластерного анализа обоснован выбор нормы Джеффриса-Матуситы, вдемпотентной сути поставленной задачи.
5. Предложена процедура оптимальной предварительной декомпозиции множества пар активов портфелей ценных бумаг, которая генерирует такое число кластеров и с такими размерами, чтобы они минимизировали время решения задачи подий о' перебора'пар. "
6. Предложенная в работе математическая модель кластеризации базируется на известных, математически строгих и хорошо проверенных агоритмах декомпозиционных построений и кластерного анализа. Новый подход к кластеризации активов основывается не на одном классическом показателе (коэффициенте коварнашш), а на трёх (средние квадратичные отклонения двух активов и их коэффициент корреляции), что переводит задачу в многокритериальную. Первый кластер вбирает в себя только те активы, которые наиболее сильно уменьшают риск при заданном фиксированном доходе портфеля КР
7. Изложенная методика построения кластеров ценных бумаг, наглядно показывающая кластеры тех пар активов, чьё сочетание приводит к уменьшению риска портфеля, оправдала себя, а сами модели (предварительной оптимальной декомпозиции, кластеризации и оптимального назначения) прошли процесс испытаний путём их погружения в различные модельные и реальные портфели.
8. Разработанные подходы, методы, модели, применённый математический аппарат, инструментальные средства и информационное обеспечение могут быть использованы для решения широкого класса задач финансовой, страховой и актуарной математики с конструктивным получением и визуализацией оптимальных результатов.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Результаты полученных оптимальных управленческих решений для портфеля ценных бумаг коммерческого АРТ-банка РСО-Алании (г. Владикавказ) переданы его администрации для использования при агрегировании таких ценных бумаг, которые обеспечивают минимизацию риска портфеля не только в настоящем времени, но и при трендовом прогнозировании рынка на ближайшую перспективу.
Результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку:
о на научно-практической конференции преподавателей С.-О.ГУ (РСО-Алания, г. Владикавказ, Северо-Осетинский государственный
университет имени К.Л. Хетагурова, 26-28 октября 2004 г.); о на VI Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 25-26 апреля 2004 г.);
о на VII Международном симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии {г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 23-24 апреля 2005 г.);
о на IV Всероссийской научно-практической конференции Прогнозирование и программирование социально-экономических процессов в регионе (г. Пенза, 15 июля 2006 г.);
о на Международной научно-практической конференции Инновационные процессы в менеджменте (г. Пенза, 22 июня 2006 г.); о результаты исследований обсуждались на совместном заседании кафедр Финансы и кредит, Информационные системы в экономике Ставропольского государственного университета 27 июня 2006 г.
Результаты диссертации используются в учебном процессе экономических вузов и включены в структуру учебных дисциплин Основы актуарных расчётов, Рынок ценных бумаг, Финансовая математика, Методы статистических исследований в экономике.
Публикации.
Основные результаты диссертационного исследования отражены в пяти опубликованных работах автора общим объёмом 2.55 п. л., в том числе автора Ч 2.45 п.л.
Структура и объём диссертации.
Диссертация состоит из введения, трёх разделов, основных положений, итогов, предложений, результатов, рекомендаций и выводов диссертационного исследования, библиографического списка использованных материалов. Её объём - 149 страниц основного текста, она содержит 16 рисунков, 12 таблиц. Библиографический список использованных материалов содержит J 59 наименований работ зарубежных и российских авторов.
Работа выпонена в соответствие с планом научно-исследовательских работ Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л. Хетагурова.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Во введении обосновывается выбор темы диссертационной работы, содержится общая постановка проблемы, излагаются цель и задачи исследования, его философская, понятийная, математическая и эмпирическая базы, определяются его научная новизна, актуальность и практическая значимость.
В первом разделе Риски в финансовом менеджменте даётся классификация основных объектов исследования, проводится анализ ситуации и процессов на рынке ценных бумаг, рассмотрена сущность ценной бумаги (2Л); дан обзор видов ценных бумаг (2.2);
проведен системный анализ рынка денных бумаг (J.3); показана многочисленность и сложность взаимодействий внутренних и внешних факторов, формирующих рынок таких бумаг, с их рисками (1.4); определена стохастичность рынка; построены математические статистические модели; дано математическое определение риска ценной бумаги* и приведены характеристики рынка, влияющие на риск актива (1.5); выявлены и использованы в построении математической модели специфические системные черты портфеля ценных бумаг (З.б); показано, что значит риск портфеля (1.7). Всё это позволило однозначно определить комплекс исходных данных для построения модели и системы поддержки принятия решений с учётом сложного взаимодействия большого числа инвесторов (кредиторов, заёмщиков) и эмитентов, а также трейдеров (арбитр ажёров) на фондовом рынке.
Во вторйм разделе Кластерные методы в финансовом менеджменте, опенке н минимизации рисковл приводятся основные сведения из кластерного анализа (2.1-2.3) и известные применения кластерных методов к оценке и минимизации рисков [2.4-2.7). Это позволило приступить к поиску новых (названных в работе расширенными) методов кластеризации, ведущих к минимизации риска при условном фиксированном доходе портфеля RP
Пусть портфель состоит из N активов (i л 1..N) с доходами по каждому активу Rt (iХ 1..N). Относительные веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, обозначим через Wi (i = 1..N). Известно 1^39}, [157], что когда мы комбинируем активы в портфеле, доходы по каждому активу складываются в линейной форме. Тогда удельный до-
ход портфеля Rp = . Аналогично можно определить математи-
ческое ожидание доходов, доходности портфеля M(RP):
, где M(R) - математическое ожидание (среднее за
отрезок времени f = 1..Т) доходности актива Ft. Риск ценной бумаги (рискованность дохода) в стохастической постановке определяется либо как среднее квадратичное отклонение (СКО или стандарт) доходов
по активу RISK, = <т, = ^/Д , либо как дисперсия RISKs = А - t2 доходов по этому активу. Между каждой парой активов Fi и Fj существует взаимосвязь, количественно выражающаяся коэффициентом кова-
__ СО,
риации F,' и Fj - сощ или коэффициентом корреляции -Р<>~ , ко-
(7, - и}
торый удобен тем, что не зависит от абсолютных значений Л и Fj и изменяется в узких, логически понятных пределах -1 "pyi" +1.
Классическое использование формулы Марковица [157] предполагает, что величина риска портфеля аддитивна и состоит из двух
частей: сумма дисперсий всех активов и двойная сумма произведения стандартов активов Рл и Fj на их коэффициент корреляции p,j. Риск может быть уменьшен только за счёт обращения второго слагаемого в отрицательную величину, что возможно лишь при рц < О. Анализируя риск портфеля Ор3, заметим, что принципиально его минимизируют те Ai-Aj-py, которые, во-первых, отрицательны, во-вторых, максимальны по абсолютной величине.
В этом разделе предлагается новая методика расширенной кластеризации, куда оказываются вовлечёнными не только коэффициент корреляции /V, а еще два параметра, зависящих от Ft и Fj - это стандарты o?, a. При этом увеличивается мерность задачи, так как
при N активах число их возможных и разных пар будет л--^-.
Одновременное изучение совместной вариации трёх стохастических признаков и их связей означает переход к многомерным задачам статистики. Развитие статистического анализа приводит к рассмотрению взаимосвязи большого числа переменных, теперь уже речь идёт о зависимости решений от нескольких переменных, о множественной корреляции, дисперсионном анализе и т.д. По мере возрастания размерности задачи все более теряется обозримость результатов. Закономерность распыляется на множество зачастую малозначащих связей.
После этого возникает задача обратного сведения множества характеристик к небольшому ряду обобщающих итогов, выражающему действительно существенное, закономерное для явления. Задача состоит в объединении отдельных признаков, в замене целых гроздей их одним, неизбежно искусственным, построенным на их основе. К разделам многомерного анализа, реализующего эту задачу, относятся: кластерный анализ, таксономия, распознавание образов, метод главных компонент, факторный анализ.
Выбор в диссертационном исследовании кластерного анализа как математического аппарата обусловлен его двумя подкупающими принципами: единая мера (метрика), охватывающая целый ряд признаков; количественная характернстика группировки объектов наблюдений. Первые работы по кластерному анализу относятся к началу XX века (Yule G.U., 1912), хотя переломным годом.считается 1960-и, после которого число работ по кластерному анализу и их роль в многомерном статистическом анализе резко увеличивается {2.8-2.11).
Множество индивидов F л* {Ft, F2, Fj, Fu} обозначает N объектов или активов, где каждый индивид F обладает множеством показателей С - {Сз,С2, .. , Сг, .. , Cv}. Через Xr обозначается двумерный результат измерения r-ой характеристики Cr j-го объекта Fj. Тогда для множества измерений прямоугольная матрица X будет иметь вид X Щ {X, Х12, X, .. , Xvn) или, представляя X в виде векторов-строк Хг, получим X в виде строкового множества X = {Хг, Хг, .. , Хг, .. , Xv}. От-
метим одно из достоинств кластерного представления - множество X представлено наглядно как набор N точек в ^-мерном евклидовом пространстве Еу. При V <= 2, 3 естественная наглядность мажет быть использована работником банка для внесения интуитивных поправок, неформализуемых с точки зрения математического оптимума риска портфеля, в распределение активов по кластерам.
При О < N задача классического кластерного анализа состоит в том, чтобы на основании данных из X разбить множество ^ на О кластеров (непересекающихся подмножеств) так, чтобы каждый объект Я) принадлежал одному и только одному кластеру и чтобы объекты, принадлежащие одному и тому же кластеру, были сходными.
ХСходство объектов йн^в кластерном анализе (2.4) задается функцией расстояния или метрикой й(Хи X)): арСь Х^^О при ЪХ1,Х, изЕу-/ <й(Х^) - О при Х{ Ч (X, Х}) = сШ ХО; с1(Х{, X]) ^<Ц(ХЬ Хк) + (Хк, ХЦ.
Различают несколько метрик: евклидово расстояние; норма; сюпремум-норма; 4>-норма; расстояние Махаланобиса; мера Джеффриса-Матуситы; коэффициент дивергенции и другие (2.б).
Теперь объектом (в = 1..Щ становится пара активов, каждая пара активов (Х^ Х^) имеет три координаты ОЩ 5 т " 1.. V, У=3): Аи, Ар, раз, или следующий объект Сип = т - I.. V, У=3) - пара {к,!} с координатами Ак1, Аи, рш. Расстояние между объектами в V-мерной евклидовой метрике
(<7.-С.)' а & У-мерной метрик
а & У-мерной метрике Джеффриса-Матуситы
В трёхмерном пространстве расширенной кластеризации = ^(Д -АьУ+^-А,)3 +(р, - д,)'];
ВОМ3 = ^[4 +А^+Ак+А1+р11+ри~2^А1-А, - 2Х А, - 2^рч Х ри ]
В качестве меры или метрики в настоящем исследовании используется мера Джеффриса-Матуситы. Евклидова мера неудобна по той причине, что наличие квадратов Ар в размерностях составляющих кластеров приводят к операциям с четвертыми степенями переменных И^-о;* ({ л что при расширенной кластеризации и максимальных статистических расстояниях, которыми приходится пользоваться для подбора пар активов, приводит к большим погрешностям.
Простая и эффективная мера Джеффриса-Матуситы определяет расстояние между точками (Хс, Х[) и {Хк, Х1). В трёхмерном пространстве предлагаемой расширенной кластеризации по первой оси X откладывается Л( = Ш{-01, по второй оси УЧ Aj " Щ'О), по третьей оси 2- ру.
Сам по себе выбор метрики, наиболее поно и точно удовлетворяющей сути задачи, не тривиален. Например, в классических применениях кластерного анализа к финансовому менеджменту часто используется мера линейного сходства или коэффициент корреляции.
Важными характеристиками кластерного представления являются меры сходства, которыми кластеры вбирают в себя вершины и которые же разделяют кластеры между собой (2.7). Мера сходства есть понятие, противоположное расстоянию между Х( и X], 5(Х1, X]) = Основные аксиомы для мер сходства: ' О <?Б(Х1, ХУ < 1 для 3(Х, Х0 - 1; 3{ХЬ = 5Р0, ХО-
Для объединения вершин в кластер требуется ввести понятие критерия оптимизации, устанавливающего меру достижения желательного разбиения. Также необходимо ввести меру внутренней однородности кластера и меру разнородности кластеров между собой (2.7).
В литературе поно представлены кластерные методы, основанные на евклидовой метрике, в частности, на минимизации внут-ригрупповых сумм квадратов отклонений. Известны многочисленные процедуры и агоритмы формирования кластеров на евклидовой базе (Соренсен, МакНотон и Смит, Ворд, Сокал и Миченер, Ланс и Уильяме, Боннер, Хиверинен, Бол и Хол, МакКвин, Себестьен, Дженси, Форд-жи, Фридман и Рубин). Агоритмов кластеризации [2.9-2.101 много и они могут значительно и принципиально различаться. Малый их перечень: агоритм последовательной кластеризации; кластеризация поным перебором; кластеризация на основе динамического программирования (Дженсен); кластеризация с использовшше м целочисленного программирования (Вайнод, Рао); кластеризация на базе оценивания функции плотности; использование матриц сходства и дендограмм.
Необходимо заметить, что в кластерном анализе имеется одна неформализуемая, сложная и практически очень важная проблема -выбор необходимого числа кластеров (2.11), Если при исследовании риска портфеля число образовавшихся кластеров чрезмерно, то для агрегирования ценных бумаг, минимизирующего риск портфеля, придётся искусственно и как-то разумно уменьшать число кластеров.
Изложенное в разделе 2 служит отправной точкой для нового взгляда на решение трёхкритериальной проблемы кластеризации финансовых активов и минимизации риска портфеля.
Третий раздел Обобщённая система кластерной оценки и минимизации риска портфеля включает в себя описание нескольких впервые предлагаемых взаимосвязанных решений.
В (3.1-3.2) описывается новое трёхмерное пространство расширенной оптимальной кластеризации и рассматривается задача кластеризации пар активов, риск портфеля стал теперь функцией от трёх переменных: RISKp ** f(m, а}, рц) Ч> min для всех возможных пар VXi,Xj. Для более точного и быстрого получения минимума риска необходимо учитывать все его составляющие. В работе кластеры создаются в пространстве размерности 3 с Е точками (J2 парами активов).
В (3.3-3.5) обсуждаются способы ускорения вычислений. Известно, что переборные задачи с точки зрения теории вычислимости являются iVP-поными или JVP-трудными, т.е. время их решения экспоненциально зависит от числа Е, в нашем случае - от числа пар активов, входящих в состав портфеля, т.е. Т(Е) - СР. В связи с тем, что кластеризация в предлагаемом расширенном пространстве увеличивает число переменных в 3 раза, то время Т(З-Е) - Обрастёт гораздо быстрее и проблема вычислимости обостряется. Поэтому предлагается предварительный декомпозиционный способ сокращения времени решения исходной задачи разбиением её на фрагменты. Так как кластеризация сама уже делит задачу на части, то предлагаемый агоритм декомпозиции намечает первоначальное число кластеров и количественный состав разбиения пар активов так, чтобы минимизировать время решения. Временной выигрыш получается при замене степенной функции с большим показателем степени суммой степенных функций с меньшими показателями. Покажем, что существует оптимальное число фрагментов и соответствующих каждому фрагменту пар активов, дающее минимум отношению суммарного времени решения частных задач к времени решения лобщей задачи.
Пусть N - общее количество элементов в системе, тогда общее время решения переборной ГР-поной задачи будет Г = а-2ш, где а и Ь - произвольные коэффициенты. Пусть система декомпозируется на Q
фрагментов (кластеров) г = i. где ty - число элементов в /-ом блоке
(кластере). Время решения частной задачи tj=a-2 j = 1..Q, а суммарное время последовательного решения частных задач
Т' = а^,2 1 _ Оставляем в стороне здоровую идею паралельного реше-j->
ния частных задач как заявку на продожение исследований, тогда время паралельного решения будет Г* = sup(tj), j = 1..N, что при а,Ь =
const даёт Г*= Искомое отношение
1 j-t Для равных размеров фрагментов (кластеров)
= ;./ = 1 ..<2; С = е И отношение ^
------
0 1 [ I | ,
Г^ 1 1 1 о 1 7 13 19 25 У
Рисунок I Ч Результат работы предварительной процедуры поиска оптимального числа кластеров, минимизирующего время решения. Относительное время решения задачи со значениями Ь, равными (7), (2), (3), (4) при поиске оптимальной декомпозиции портфеля. Хорошо виден выявляемый минимум отношения времён при некотором <2
Несколько зависимостей {Те*/Т)(0) при разных значениях Ъ и N приведены на рис. 1. Минимум последнего отношения в зависимости
от искомого значения переменной <3 находится: 1 Ч^ , откуда
количество кластеров, при котором время решения задачи будет минимальным, Ояпп - Ъ-И-1п2; аналогично находится оптимальное число элементов в каждом кластере при их равенстве в разных кластерах _ Д -1
"" ~ Ь~п 2' г'5е и соответствующее - число кластеров О и
элементов ту в каждом _/-том кластере, когда время решения задачи по частям относительно времени решения лобщей задачи минималь-
но. При <3 ~ Отт само оптимальное отношение = . В
диссертации подробно исследовано поведение искомой функции
(Qmi,) внутри и на концах интервала, рассмотрены более сложные
случаи неравных размеров кластеров (3.5) и т.п.
В (3.7) подробно исследуются метрики, быстрее и точнее приводящие к поиску минимального риска портфеля, Et классическом кластерном анализе кластер собирается из объектов, имеющих близкими все характеристики Xi, Xj, т.е. когда расстояние d(Xi, Xj) между объектами мало для всех пар VXi, Xj. Совсем Ш!ачс обстоит дело в кластеризации банковских рисков в предлагаемой методике трёхмерной расширенной кластеризации активов. Объединяются активы, находящиеся как бы на противоположных концах интервала, они своими противоположными статистическими характеристиками допоняют друг друга. В одну пару собираются актив, начинающий терять при- -быльность, с активом, приобретающим её в один и тот же момент времени, делая весь портфель ценных бумаг менее рискованным.
Этот подход заставляет принципиально изменить нахождение кластеров активов, вычисление расстояний между кластерами и определение риска портфеля. Обратимся к классической формуле Мар-
ковица [157]. Риск портфеля: = "<7'?-cr'*cry''Di/, где
i-i =1 j>i
Wi (Wj) - удельный (относительный) вес Хего (Л^-го) активов в портфеле,
т.е. ~ ^ Х Преобразуем эту формулу, вводим новые переменные: 1-/
Wi-Oi - At, Wj-CTj - А/, которые имеют следующий экономический смысл -это удельные риски активов i и j, приведённые к одному портфелю.
Тогда ^ -Р,
1-1 1-1 JH
Теперь графическое представление влияния Хсго и Xj-to активов на риск портфеля будет следующим: в трёхмерном пространстве с В объектами каждый объект G (кортеж длины два, пара или точка (Хе, XjJ) будет иметь три координаты: на оси X: Ai (i = 1..N}; на оси Y: Aj (j = 1..N); на оси Zl pa (i = l..N,j - 1..N).
Рассмотрим три возможных способа декомпозиции риска портфеля на составляющие. В этой проблеме следует приветствовать любые формы декомпозиции, облегчающие поиск риска портфеля по двум причинам: сами по себе методы кластеризации суть сначала декомпозиция множества объектов, а только потом их агрегация; операции с парами активов G выпоняются при их значительном количестве, поэтому всякое возможное уменьшение их числа приводит к сокращению времени решения и к лучшей обозримости результатов.
Первая из этих возможных декомпозиционных форм риска портфеля состоит во введении количественной характеристики каждого 1-го актива АР. Тогда цель достигается при подборе в один кластер активов со следующими характеристиками:
i^l JX \ j J i-i
что возможно при VAi-tmin, где Л = 'Рд j и Ai-p. Виден
первый обязательный параметр минимизации - А,-, чем он меньше, тем меньше каждое слагаемое и тем меньше риск портфеля Ср2. Далее второй сомножитель каждого слагаемого Р min, если второе слагаемое ^^^-j'Po отрицательно, что возможно только при отрицатель-
ном коэффициенте корреляции рц- Чем больше при этом коэффициент Aj при отрицательном ptj, тем больше отрицательная часть. Окончательно для минимизации риска портфеля нужно многомерно (г - 1..N, j = 1..N) стремить все составляющие: рц -J, Aj тах, А{ min.
Таким образом, мы декомпозируем общую цель (ишгор2) на частные, к которым дожны быть устремлены статистические составляющие отдельных активов At, Aj и коэффициент корреляции их пар Хру, переводя задачу в многокритериальный случай. Собирая в один кластер как можно больше пар активов такого вида, мы показываем операционисту банка, какое сочетание активов минимизирует риск портфеля быстрее всего, в наибольшей степени и наилучшим образом.
Итак, весь портфель имеет JV активов и риск
= S 4' Л" = R1SKC Л," Л" т'п, разделим его на состав-i-j
ляющие с (N - Ni) активами, RISKc которого никакими объединениями в пары Л*-го и Тг-го активов не минимизируется, так как Vpu > О. Будем называть кластер, состоящий из таких активов, фоновым кластером. Тогда риск можно уменьшить только за счёт той составляющей с Ni активами, которая образует пары с Vpij < О и может принципиально уменьшить риск портфеля.
Представим графически картину (схему) расширенной кластеризации (рис. 2), минимум ар2 будет иметь место при движении Ai к началу координат по оси X, Aj - от начала координат по оси Y, р$ при движении вниз по оси Z, В первой декомпозиционной форме характеристикой каждого i-ro объекта (финансового актива) становится один параметр Ai = Ai-AP, риск портфеля аддитивен и дожен стремиться к минимуму при минимизации всех слагаемых.
Для погружения теоретических положений в практику в ка-
честве проверочных моделей используем фрагменты известных портфелей. В диссертации в (3.8-3.1С) рассмотрены портфели Na 1, А и В, приведены результаты, полученные при работе с этими модельными портфелями ценных бумаг (данные портфеля А Ч на рис. 2-3 и в табл." 1-2, портфеля В - на рис. 4-6 и в табл, 3-5), В одном из них Ч в портфеле А - представлено 4 актива: это (J)- индекс FTSE100 (фондовый индекс газеты Financial Times' для 100 компаний); (2)- британские государственные облигации; (3)- индекс S&P500 (индексы Standard and Poor's для 500 предприятий) и (4)- обменный курс фунт/долар.
Доход портфеля RP ищется как = w>' ^ где Wi - относи-
тельный объём каждого актива в портфеле; Ri - доходность 1-го актива. Каждый раз при поиске минимального риска доход портфеля, будучи величиной относительной, изменяется и переечитывается, восстанавливаясь к одному и тому же начальному значению RP
в расширенном трёхмерном пространстве кластеризации, которые одновременно влияют на его риск. Поиск оптимума при трёхмерной расширенной кластеризации производится разложением на тройку составляющих со стремлением каждого составляющего к своей цели.
Определяется кластер, минимизирующий риск портфеля сгр2_
Возможные связи активов портфеля удобно представлять в виде графа Ь(Х,11;Р}, где X - множество вершин графа или множество активов портфеля, VЧ множество рёбер графа или множество связей с соответствующими коэффициентами корреляции, Р Ч предикат или иицидентор графа, показывающий, какую пару вершин х, и X] соеди-
няет ребро ик, т.е. какие активы стоит связывать в пары. Результат декомпозиции представляется в виде графов ьа и кл на рис. 3.
( X, а? СП А1 Аг* Я.
1 0.578 22.1724 4.709 0.25 1.17725 1.38592 42.0
2 1.314 5.9540 2.440 0.25 0.61000 0.37210 39.6
3 0.523 10.8000 3.286 0.25 0.82150 0.67486 51.8
4 -0.098 16.2160 4.027 0.25 1.00675 1.01354 26.7
пар (рёбер) будет /и /= 6. Интересных с точки зрения минимизации риска портфеля А будет только три ребра, для связей которых коэффициент корреляции отрицателен (сплошные линии на рис. 3), граф Ьа превращается в граф Кёниге^КдС рёбрами, минимизирующими риск. Таблица 2 - Коэффициенты ко вариации, корреляции и величины пар активов портфеля А
Пара, Коэффициент кооариации Величина Коэффициент корреляции
(1,2) 1.8211 1.98552 0.1584
(1,3) 10.3124 3.34974 0.6664
(1,4) -5.2266 1.74618 -0.2756
(2,3) 0.0745 1.05628 0.0093
(2,4) -1.1723 1.23900 -0.1193
<3,4) -0.4195 1.63600 -0.0317
Расчёт расстояний по метрике Джеффриса-Матуситы показывает, что все вершины портфеля А в парах (1,4), (2,4), (3,4) близки и образуют один кластер. Из-за малого количества пар, оптимизирующих риск, нет необходимости в предварительной декомпозиции, поэтому же нет смысла решать задачу об оптимальном назначении.
Таким образом, описываемый портфель А с минимальным числом активов и их пар, минимизирующих риск, используется в работе как очень простая демоверсия для показа принципиальных преимуществ методологии трёхмерной расширенной кластеризации.
Вторая декомозиционная форма риска портфеля вводится через новую переменную , которая определена следующим образом: = А? + Ар + 2-Ал-Ауру, откуда
Вторая форма удобна тем, что она симметрична относительно I и Графически ,4 легко представить как вектор из произвольной точки {Аь плоскости XV (или ДсД,), направленный паралельно оси 2 /или рц). Концы подобных векторов образуют лес значений, которые можно рассортировать по разным кластерам.
Плотный граф 1-4 и его рлавыцнп ш смев графа внпга Ка А1 А2 А1
Рисунок 3 - Плотный граф Ьа и его интересующая нас с точки зрения минимизации риска реализация в виде б ахроматического графа Ка
Можно предложить и третью декомозиционную форму риска портфеля через переменную щ. Определим новую переменную эдтак: щ - АР + 2-А?Аур$.
Сразу же заметим отсутствие свойства коммутативности этой формы, т.е. 17ц щ. Риск портфеля через щ найдём в виде
= ~1. где L = .
Величины щ также графически образуют кластеризованный лес значений в точках (Аи на поле XV по коордиснате
Следующим рассмотрим также реальный, но более сложный портфель В, в котором 13 активов. Это - акции Нью-Йоркской фондовой биржи (МУКЕ); (2) - акции Американской фондовой биржи (ДМЕХ); (3) - акции во внебиржевом обороте (ОТС) и т.д. до (12) - казначейских векселей и (.2.3) - изменения стоимости золота. Аналогично условно фиксируем постоянство дохода портфеля В Ч в?р
отрицательные коэффициенты корреляции только Ез = 22 пары. Вот лексикографическая сортировка пар активов, которые принципиально могут уменьшить риск портфеля В: (1,11); 0,12); (1,13); {2,6); {2,11); (2,12); (2,13); <3,6); 0,11); <3,12); <3,13); <4,6); (4,11); (4,12); <5,6); <5,11); <5,12); (6,11); (6,13); <7,11); <7,13); <11,12). Первоначальное распределение активов в портфеле равномерно, их 10 с "0.1 (табл. 4).
Представим генерацию пар активов, минимизирующих риск портфеля, в виде графа Ьв(Х, II;Р) и его кёнигова аналога Кв(Х',Х", 17;Р) (рис. б), где XЧ множество активов (вершин графа), и Ч множество
пар активов (рёбер графа), а в графе Кёнига Х'сХ, Х"аХ, Х'/пХ" д 0. Матрица гаэффл^ентоа корреляции активов портфеля В
номер ороиН
номер стобца |
Рисунок 4 - Объёмное наглядное изображение исходной симметричной матрицы коэффициентов корреляции портфеля В. Система компьютерной математики МАРЬЕ 9.5. Картина перевёрнута, чтобы показать область отрицательных коэффициентов корреляции_
Кёнигов граф показывает нам все возможные пары (Хх,Х^}3 изменением объёмов которых И5 в актах купли и продажи активов возможна минимизация риска портфеля. Так как число возможных вариантов ещё велико, а каждый актив при стационарных а, рц уменьшает риск портфеля сильнее в какой-то одной конкретной паре, то возникает ещё одна задача Ч надо найти такие пары, чтобы каждый актив входил только в одну из них и суммарное уменьшение риска такими парами было наибольшим. Эта задача в теории графов называется задачей о назначениях (о максимальных паросочетаниях).
На рис. б показано возможное максимальное паросочетание кёнигова графа Кв(Х\ Xя, и;Р). Известно, что число пар в максималь-
ном паросочетамии /т/ =* т/{/Х'/,/Х'/}. Решение задачи о назначениях производится для получения минимума сумм рисков от как можно большего числа пар активов, диверсифицирующих портфель, В при^ мере на рис. б при 1x1 -10 X'! = 6, Х*1 - 4, т = 4 и максимальное паросочетание {{3,11), (3,12), (6,2), (7,13)} уменьшает риск портфеля всего четырьмя парами активов. Рассчитанные щ сводам в матрицу размером 10-10, в ней по уже упомянутым причинам опущены стобцы и строки 8, 9, 10 {табл. 5)._
Кластеризация к тренивряои расширенном пространстве параметров портфеля б. влияющих ив его риск
Рнсунок 5 - Объёмное представление кластеризованного портфеля В в расширенном статистическом пространстве. Система компьютерной математики МАРЬЕ 9.5. Все характеристики минимизирующих риск пар активов портфеля В и соответствующие три кластера представляются в нижней части картины. Фоновый* четвёртый кластер образуется парами активов, расположенных над плоскостью_
На рис. 5 изображено построенное объёмное представление кластеризованного портфеля В. Вариант предварительной декомпозиции находит, что наименьшее время вычислений будет достигаться при Огшп = 3. С помощью агоритма Сокала-Миченера и меры Джеф-фриса-Матуситы находим три кластера, показанные на рис. 5. В объекты Оз (пары активов первого кластера) попадают пары: (3,11\ (6,2), (5,12) и (7,13), полученные также при решении задачи об оптимальных назначениях. Кластер д = 1 минимизирует риск портфеля наибо-
лее сильно. Кластер д = 2 требует гораздо большего числа итераций и манипуляций с активами, усилий и времени от операциониста банка по своему преобразованию, чтобы заметно уменьшить риск. Кластер <у = 3 очень слабо или почти не влияет на риск портфеля. Вершины {8, 9; 10}, принципиально не участвующие в кластеризации пар портфеля и минимизации его риска, остаются в фоновом кластере д = 4. Пустые элементы матрицы назначений (табл. 5) запонены знаком да.
Таблица 3 - Корреляционная матрица рд активов портфеля В
У 1 2 3 4 5 в 7 8
1 1.000 0.851 0.900 0.618 0.237 0.091 0.341 0.010
2 0,851 1.000
3 0.900 0.897 1.000
4 0.618 0.689 0.651 1.000
5 0.237 1X244 0.391 1.000
6 0.091 -0.153 -0.094 -0.130 -0.005 1.000
7 0.341 0.058 0.110 0.095 0.022 0.912 1.000
8 0.010 0.078 0.097 0.345 0.084 0.290 0.269 1.000
9 0.159 0.227 0.138 0.268 0.218 0.036 0.107 0.249
10 0.123 0.213 0.090 0.207 -0.080 -0.039 -0.039 0.293
11 -0.164 -0.093 -0.223 -0.097 -0.003 -0.256 -0.255 0.103
12 -0.055 -0.063 -О.160 -0.169 -0.157 0.111 0.094 0.244
13 -0.094 -0.024 -0.067 0.032 0.046 -0.252 -0.316 0.107
Таблица 4 - Исходные статистические парам ет-
9 10 11 12 13
0.159 0.123 -0.164 -0.055 -0.094
1.000
0.493 1.000
0.016 0.214 1.000
0.685 0.428 -0.053 .1.000
0.219 0.586 0.517 0.179 1.000
i Щ СП А
1 0.1 96.4 9.64
2 0.1 87.7 8.77
3 0.1 40.2 4.02
4 0.1 71.8 7.18
5 0.1 17.1 1.71
б 0.1 29.6 2.96
7 0.1 33.5 3.35
8 0 - -
9 0 - -
10 0 4.9 0
11 0.1 51.0 5.10
12 0.1 67.4 6.74
13 0.1 49.3 4.93
Рассмотрим реальную технологию процесса минимизации риска портфеля. Полученные кластеры рассматриваются финансовым менеджером отдела ценных бумаг банка. Так как статистические параметры о;, о) и рц накоплены за достаточно догое время, они доста-
точно стабильны, то операционист начинает уменьшать и увеличивать IV/ той пары активов, которая располагается в первом кластере, то есть продавать активы х и покупать активы соответственно уменьшая Аг и увеличивая Л/. Одновременно он может уменьшать и увеличивать объёмы активов и И5 ещё нескольких пар активов из первого кластера, которые также уменьшают риск портфеля. Таблица 5 - Матрица возможных назначений щ в те пары активов
портфеля В, которые могут принципиально минимизировать его риск
Х1-Х1 1 2 3 4 5 б 7 11 12 13
1 76.80 85.79 84.00
2 63.96 68.58 69.75 74.80
3 13.92 7.02 7,49 13.50
4 46.02 < 44.45 35.20
5 " 2.87 2.87 0
б 68.96 13.92 46.02 2.87 1.41
7 2.51 0.78
11 76.80 68.58 7.02 44.45 2.87 2.51 22.37
12 85.79 69.75 7.49 35.20 0 22.37
13 84.00 74.80 13.50 1.41 0.78
тт 76.80 68.58 7.02 35.20 0 1.41 0.78 2.51 0 0.78
Состав портфеля изменяется, могут измениться все (5 = 1..Щ оставаясь в сумме равными единице; подсчитываете^ доход
портфеля и приводится к первоначальному фиксиро-
ванному показателю КР
Новый шаг расширенной кластеризации с изменёнными = снова образует объёмное представление портфеля. Вели состав кластеров изменяется незначительно, то процесс минимизации риска портфеля продожается теми же парами активами {I, ])> {к, У и т.д. Появление в первом кластере новых пар (или кортежей длины два) означает появление следующих возможностей снижения риска портфеля. Процесс перманентный, но не очень догий, так как уже при достаточно большом времени лигры с активами изменяются их статистические характеристики сп, <У], рц, они вносятся в соответствующие матрицы (табл. 3 или 4) и начинают изменять состав и число кластеров.
Особенностью предлагаемых методов и агоритмов является их конструктивность, т.е. доведение теории до реальных управляющих воздействий на портфель со стороны операциониста банка.
Основные итоги, положения, предложения, результаты, рекомендации н выводы диссертационного исследования.
В выводах и предложениях диссертационного исследования
рассмотрим результаты работы новых подходов, отметим основные положения, подведём итоги работы, дадим рекомендации, имеющие как теоретическую*, так и практическую значимость: 1. Выбор кластерного анализа как основного математического аппарата для определения рисков портфеля при его фиксированной доходности показал свою профессиональную пригодность при работе на рынке ценных бумаг. Он, являясь конструктивным методом, отслеживает как среднесрочные конъюнктурные изменения рынка ценных бумаг со стороны спекулятивно настроенных меких владельцев акций с быстрой сменой пар активов в первом кластере, так и трендово-предсказуемое поведение стратегических инвесторов со стабильностью статистики и состава нескольких первых кластеров._
1"рМ> ц> пар активов, минимизирующих риск портфеля В, ,.-->. - . ^^ - вг1>Рванза1<иявграф*КвнигаКЬ
Рисунок 6 - Граф Ьв пар активов, потенциально минимизирующих риск портфеля В. Пунктиром показаны временно опущенные связи с большими коэффициентами корреляции. Показан кёнигов граф Кв десяти пар активов портфеля В, имеющих наименьшие коэффициенты корреляции. Результат решения задачи о назначениях для, /т/ -in.fiX'!, /Х"/} = 4 пар активов портфеля В выделен жирными линиями
2. Применение в качестве основы кластерного агоритма Сокала и Миченера с мерой Джсффриса-Матуситы в расширенном трёхмерном статистическом пространстве всесторонне оправдало себя, позволяя определять риски портфеля, агрегируя пары активов с учётом не одного какого-то параметра, а трёх: сп, с%> рц, таким образом наиболее поно и точно реализуя многокритериальный подход.
3. Предложенный агоритм универсален в том смысле, что он позволяет достаточно просто менять меры (евклидову, ^-норму, сюпре-мум-норму, меру Джеффриса-Матуситы и т.д.), вводить переменные во времени статистические (от, о], рц) параметры финансового рынка,
4. Предложенная методика оптимальной декомпозиции с определением числа кластеров, минимизирующих время решения переборной задачи, оказалась конструктивной, наилучшим образом проявив себя в многошаговых процедурах оптимизации, определяя предваритель-ный размер кластера, ускоряя при этом получение точного решения.
5. Решение задачи об оптимальных назначениях допонительно сократило число вариантов и уточнило суммарный состав портфеля.
6. Модельные эксперименты и реальные расчеты с портфелями ценных бумаг фондовых рынков и банков США и Англии, а также АРТ-банка РСО-Аланни (г. Владикавказа) при вариации моделей, критериев оптимизации, функций расстояний (метрик), в том числе мер внутренней однородности кластера и мер разнородности кластеров между собой, при вариации необходимого числа кластеров, которое минимизирует время решения переборных задач, при изменении способов" 4 кластеризации и т.д. показали, что вычисляемые риски стали гораздо более понятными при реальном управлении портфелем, подтвердили теоретические посыки и выводы, поноту релевантности предложенных математических моделей, точность и валидность решений,
7. Создана система поддержки принятия решений, в состав которой включена профессиональная система компьютерной математики MAPLE 9.5, она содержит как типовые агоритмы кластеризации системы МАРЬЕ 9.5, так и разработанные агоритмы синтеза оптимальной декомпозиции. Она показала свою работоспособность m персональных компьютерах IBM среднего класса (использовася Centrum IV-2.8 GH/1GB/120GB/3.5я/DVD-CD-ROM 50х/17* LCD Samsung},
8. Система может быть использована в коммерческих банках как для расчёта сиюминутных, текущих рисков портфелей ценных бумаг, так и оценки будущих.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
Монография
1. Койбаева М.Х. Некоторые вопросы моделирования финансовой деятельности банка. Научное издание. - Владикавказе Издательство Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л. Хета-гурова, 2005. - 24 с. 1.5 п.л.
Статьи в изданиях из перечия ВАК РФ
2. Койбаева М.Х. Информационная безопасность банковской деятельности: технологии и модели//- Экономический вестник Ростовского государственного университета. - 2005. -Й4/1.- С. 13-20. 0.4 п.л,
3. Винтизенко А.М., Койбаева М.Х. Минимизация рисков портфеля ценных бумаг кластерными методами//- Экономический вестник Ростовского государственного университета. - 2006. - Ns 1. - Март. - С. 2627. 0.15 п.л., в том числе автора 0.1 п.л.
Статья в материалах Международных и Всероссийских
конференций
4. Койбаева М.Х. Способы минимизации рисков в процессах управления. Научные труды Международной научно-практической конференции Инновационные процессы в менеджменте. - Пенза: Издательство Пензенского государственного университета, Привожского Дома знаний, 2006. - С. 14-17. 0.25 п.л.
5. Койбаева М.Х., Яковенко B.C. Анализ и прогнозирование экономической деятельности фазовыми методами. Сборник трудов IV Всероссийской научно-практической конференции Прогнозирование и программирование социально-экономических процессов в регионе. Ч Пенза: Издательство Пензенского государственного университета, Привожского Дома знаний, 2006. - С. 88-92. 0.25 п.л., в том числе автора 0.2 п.л.
Подписано в печать 02,11.2006 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская Na I. Гарнитура Bookman Old Style. Усл.-печ. л. 1.2. Тираж 110 экз. Заказ 598, Издательский
центр Квсловодского института экономики и права. Лицензия на полиграфическую деятельность ВРО 100558 Лицензия на издательскую деятельность ВРО 100559357700, 357700, Россия, г. Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42
Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Койбаева, Марина Ханджериевна
ВВЕДЕНИЕ.
1 РИСКИ В ФИНАНСОВОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ.
1.1 Сущность ценной бумаги.
1.2 Виды ценных бумаг.
1.3 Системный анализ рынка ценных бумаг.
1.4 Виды рисков на рынке.
1.5 Математическое определение риска ценной бумаги.
1. б Портфель ценных бумаг.
1.7 Риск портфеля.
2 КЛАСТЕРНЫЕ МЕТОДЫ В ФИНАНСОВОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ, ОЦЕНКЕ И МИНИМИЗАЦИИ РИСКОВ.
2.1 Основные идеи кластерного анализа.
2.2 Обозначения и определения.
2.3 Основная задача кластерного анализа.
2.4 Функции расстояния в кластерных методах.
2.5 Меры сходства.
2.6 Мера рассеяния (разнородности) множества активов.
2.7 Расстояние между кластерами и их сходство.
2.8 Кластерные методы, основанные на евклидовой метрике.
2.9 Агоритмы кластеризации.
2.10 Агоритм последовательной кластеризации.
2.11 Выбор необходимого числа кластеров.
3 ОБОБЩЁННАЯ СИСТЕМА КЛАСТЕРНОЙ ОЦЕНКИ И МИНИМИЗАЦИИ РИСКА ПОРТФЕЛЯ.
3.1 Иерархический подход в кластеризации активов.
3.2 Кластеризация в расширенном статистическом пространстве.
3.3 Проблемы вычислимости, NP-трудностъ и временная сложность агоритмов.
3.4 NP-понота задачи кластеризации. Декомпозиционные принципы сокращения времени её решения.
3.5 Выигрыш времени при решении задачи кластеризации с неравными размерами кластеров.
3.6 Задача о назначениях активов в пары, минимизирующие суммарный риск портфеля.
3.7 Выбор метрики в расширенном трёхмерном кластеризованном статистическом пространстве.
3.8 Оценки и минимизация рисков реальных портфелей. Портфель N
3.9 Оценки и минимизация рисков реальных портфелей. Портфель А.
3.10 Оценки и минимизация рисков реальных портфелей. Портфель В.
3.11 Практическая технология минимизации риска портфеля в коммерческом банке.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ИТОГИ, ПРЕДЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ, РЕКОМЕНДАЦИИ И ВЫВОДЫ
ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Кластерные методы минимизации риска портфеля ценных бумаг"
Тема исследования актуальна в связи с тем, что операции на рынке ценных бумаги в банковском менеджменте всегда связаны с рисками. Математически риск банковского портфеля ценных бумаг (Я. Markowitz, 1952; A. Sharp; D. Tobin, 1958; В. Millet), как и любой риск, определяется в классике через величину дисперсии или среднего квадратичного отклонения (стандарта), т.е. сугубо статистически. Количественные оценки принимаемых решений основаны на математических методах, а сами банковские процессы стохастичны. Появление в последние десятилетия финансовой, страховой, актуарной математики, финансовой инженерии и достигнутые ими успехи приводят нас к выводу, что математические и инструментальные подходы становятся главенствующими в финансовой теории и практике. Решения задач на финансовых рынках количественными методами, начиная от классической работы Г. Марковица [157], принципиально отличаются по постановке, созданию математической модели, представлению критерия оптимальности, интерпретации результатов от задач общенаучных, что привносит в экономику не только прагматическую, но и научную новизну.
Любое исследование, рассчитанное на решение проблем в финансовой области, естественно, желает получить наилучшие в каком-то смысле результаты. Если оно касается изучения доходов и рисков портфеля ценных бумаг банка, то главным достижением исследования будет оптимальное управление портфелем с максимизацией дохода и минимизацией риска. Оно дожно быть конструктивным, отвечая на вопрос менеджера банка: что, когда и как делать с тем или иным активом? и давая инструментальную технологию работы с портфелем.
Всё это определило тему, цель, задачи, логику диссертационного исследования. Оно посвящено оптимальному управлению портфелем ценных бумаг банка, где лоптимальное управление подразумевает синтез портфеля с минимальным риском при a priori заданном доходе в условиях существенной стохас-тичности финансового рынка. Наличие в портфеле нескольких сот выпусков ценных бумаг с различными параметрами необозримы для менеджера банка. Потребовалось разработать новые, научно обоснованные методы подбора ценных бумаг в группы (кластеры), минимизирующие суммарный риск портфеля, разработать адекватные методы управления финансовыми инструментами и способы прогнозирования получаемых доходов, что особенно актуально на современном российском фондовом рынке в столь непредсказуемой экономической действительности.
В условиях, когда в портфеле имеются многие сотни ценных бумаг с тысячами параметров, а к формальным математическим критериям большего или меньшего риска присоединяются неформальные, особую актуальность приобретают методы наглядной визуализации сравнительного состояния активов и меры их рискованности. С другой стороны, окончательные решения дожны сопровождаться точным математическим расчётом и нахождением области Парето минимальных рисков, при удачном сочетании формальных критериев и интуитивных представлений менеджера это будет давать не просто формальный оптимальный результат, но еще и практически полезный.
Финансовые инструменты со своими статистическими характеристиками при помещении в портфель начинают интерферировать друг с другом, придавая портфелю новые интегральные свойства. Эта неаддитивность, составляющая главную проблему управления портфелем с минимумом его риска, дожна быть учтена, математически реализована и представлена.
Так или иначе, в работах по минимизации риска портфеля приходится сочетать все возможные пары активов, что делает задачу комбинаторной, с ростом числа активов быстро растет число пар таких сочетаний, с вычислительной точки зрения задача становится iVP-поной (iVP-вычислимой). Естественно, что предложение любой эвристики, т.е. агоритма для сокращения перебора вариантов при поиске решения, полезно, оно вылилось в предварительную декомпозицию общего числа активов на несколько групп: не дающих уменьшения риска; незначительно уменьшающих риск; сильно уменьшающих риск. Это приводит к резкому сокращению числа рассматриваемых вариантов и времени решения задачи, к её лучшей лобозримости.
Математическая постановка задач минимизации риска портфеля ценных бумаг, модели, методы, агоритмы отличаются оценками быстродействия или вычислимости, возможными иррегулярными ситуациями, в том числе и отсутствием решений. Все это заставляет в прикладных исследованиях прибегать к высокоэффективным, проверенным догой практикой, хорошо известным математическим методам с их надёжной реализацией. Методы дожны иметь агоритмы, встроенные в системы компьютерной математики и настраиваемые на решение конкретных задач. В случае кластерной декомпозиции активов портфеля модель, позволяющая экономно выбрать походящие их пары, дожна успешно работать на персональном компьютере со средними операционными характеристиками.
Актуальность и недостаточная разработанность точных математических методов и наглядных способов агрегирования ценных бумаг для минимизации риска портфеля, поиск новых эвристик во множестве финансовых активов при их декомпозиции на кластеры, необходимость использования систем компьютерной математики, пространственной визуализации вариантов, привлечения интуитивных оценок степени риска финансовым менеджером предопределили выбор темы исследования.
История минимизации риска портфелей ценных бумаг начинается работ Г. Марковича и Д. Тобина, Нобелевских лауреатов. Большой вклад в развитие актуарной математики внесли зарубежные ученые: Э. Аким, С.Дж. Браун, Ю. Бригхем, А. Гапенски, Н. Джордан, К. Карберг, Е. Кочович, М.П. Крицмен, Дж. О'Брайен, К. Паррамоу, Д.Г. Сигел, Дж. Сорос, Р. Томас, Т. Дж. Уотшем, Э. Хеферт, А. Шарп, Д.К. Шим.
Из отечественных ученых отметим П.В. Акинина, М.Ю. Алексеева, И.Т. Балабанова, Г.П. Башарина, В.А. Галанова, А.А. Горчакова, В.В. Давниса, Е.Ф. Жукова, О.О. Замкова, В.В. Иванова, В.И. Калиниченко, В.А. Кардаша, В.В. Киселёва, В.И. Колесникова, В.А. Лялик, И.С. Меньшикова, И.Г. Наталуха, В.А. Перепелицу, Е.В. Попову, Ф.Б. Риполь-Сарагоси, Б.П. Рязанова, Н.Х. Токаева, Е.М. Четыркина, А.Н. Ширяева и др.
Методы кластерного анализа, достаточно нового многомерного статистического математического аппарата, хорошо представлены в работах по дискретным методам, в первую очередь это монография Б. Дюрана и П. Одела [54].
В отечественной и зарубежной литературе по проблеме минимизации рисков портфеля ценных бумаг исследуются и применяются различные способы, модели, методы - они все базируются на статистическом понятии риска и используют стохастическую природу процессов на финансовом рынке. Среди работ по минимизации рисков следует отметить труды Ю. Бриг-хема, А. Гапенски, К. Паррамоу, Э. Хеферта, М.М. Агаркова, Г.П. Башарина, А.В. Михеева, И.Г. Наталухи, АЛ. Первозванско-го, В.Д. Покровского, Т.Г. Стрункова, А.Н. Ширяева.
Проблемами прогноза в задачах минимизации рисков много и успешно занимаются В.А. Буторов, И.Г. Наталуха, В.А. Перепелица, Е.В. Попова, Б.П. Рязанов, Р.А. Фархутдинов и др.
Тем не менее, при большом числе серьёзных работ, широте исследований, обилии полученных результатов в задаче минимизации рисков вообще и риска портфеля ценных бумаг, в частности, всё ещё находятся разделы этой проблемы, которые могут улучшить, ускорить решение, проще и нагляднее представить результаты для использования на практике. Тогда в помощь строгим математическим аналитическим критериям необходимо привлекать численные и графические решения, человеческие интуитивные неформализованные оценки рисков.
Объектом исследования являются фондовые биржи, коммерческие банки регионального, российского и международного масштабов, крупные предприятия, лиграющие на фондовом рынке. Предметом исследования выступают сложные многофакторные процессы на рынке ценных бумаг, проявляющиеся в рисках локальных активов и интегрально в риске портфеля ценных бумаг в условиях общей экономической нестабильности, жёсткой конкуренции участников рынка, стохастичности и непредсказуемости финансовых процессов.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является совершенствование методов оценки и расчёта риска портфеля ценных бумаг при условной фиксации его дохода с привлечением к минимизации риска портфеля агоритмов кластеризации, выделяющих из множества активов портфеля те пары, которые способствуют минимизации его глобального риска. Целями являются также привлечение новых эвристик при декомпозиции множества финансовых инструментов на кластеры с минимизацией времени перебора; привлечение интуиции финансового менеджера, располагающего наряду с количественными характеристиками графических образов для допонительного отсеивания пар активов и кластеров, не ведущих к минимизации риска портфеля.
В соответствие с поставленными целями в работе решались следующие задачи: о проведен системный анализ проблемы; о выбрана стохастическая модель риска финансового актива с дисперсией в качестве показателя; о предложен метод оптимальной декомпозиции пар активов на группы (кластеры), под оптимальным понимается такой размер кластера, при котором минимизируется время перебора подходящих пар; о исследованы способы организации кластеров по критериям различных мер (расстояний): евклидово расстояние, -норма, сюпремум-норма, мера Махаланобиса и др. Выбрана необычная мера Джеффриса-Матуситы, наилучшим образом соответствующая содержательному смыслу задачи; о в качестве рабочего агоритма кластеризации в расширенном трёхмерном статистическом пространстве выбран агоритм Сокала-Миченера; о построена и реализована динамическая оптимизационная модель кластерного представления портфеля, демонстрирующая в виде точек и обобщающих их кластеров в трёхмерном пространстве множества Парето решение трёхкритернальной оптимизационной задачи; о синтезирована система поддержки принятия решения для персонального компьютера, базирующаяся на системе компьютерной математики МАРЬЕ 9.5; о на базе рабочих моделей портфелей ценных бумаг - индексов американских, английских фондов, фондовых бирж, банков и АРТ-банка г. Владикавказа (Республика Северная Осетия-Алания) - проведены численные эксперименты при широкой вариации параметров ценных бумаг, расстояний, норм близости кластеров, допустимых точностей прогноза, получены практически важные результаты.
Основная гипотеза, идея исследования состоит в том принципиальном положении, что для минимизации риска портфеля в кластеры объединяются не индивидуумы с близкими статистическими свойствами, что составляет концепцию кластерного анализа, а пары активов с наиболее далеко отстоящими статистическими свойствами, это заставило найти новые подходы, в частности, построить трёхмерное пространство оптимальной кластеризации в проблеме поиска минимума риска портфеля ценных бумаг.
Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальностей ВАК (по экономическим наукам). Работа выпонена в соответствии с пунктом 1.6 Паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики: Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчётов.
Теоретические и методологические основы исследования составляют труды зарубежных и российских экономистов и математиков по математическим и инструментальным методам моделирования, анализа, визуализации, прогнозирования экономических и финансовых процессов. В исследовании применялись базовые принципы системного, структурного и экономического анализа, теория финансового менеджмента, дискретная математика, математическая статистика, включая методы многомерной статистики и NP-вычислимости, кластерный анализ. Инструментом исследования стала созданная система поддержки принятия решений на базе современных информационных технологий и системы компьютерной математики МАРЬЕ 9.5.
Эмпирическую базу исследования составили собранные статистические сведения о рынках ценных бумаг как за рубежом, так и в России, о составе и динамике портфеля ценных бумаг коммерческого АРТ-банка РСО-Алании (г. Владикавказ).
Научная новизна диссертационного исследования:
1. Возможности математического аппарата кластерного анализа систематически исследованы и модернизованы для адекватного решения финансовых задач о минимизации рисков портфеля ценных бумаг.
2. Найдена эвристика (методика) оптимальной предварительной декомпозиции ансамбля объектов на кластеры, число и размеры которых минимизируют время поного переборного поиска риска портфеля ценных бумаг.
3. Предложена методика расширенной кластеризации активов с построением модели статистического пространства с N объектами, где объектом становится агрегированная пара активов, а трёхмерная область Парето образуется в трёхмерном пространстве с множеством координат А[ = Wi-cn,, Aj = W/-qj и pij.
4. На базе проанализированных известных функций расстояния (метрик) кластерного анализа рассмотрена и преобразована редко используемая функция расстояния - мера Джеффриса-Мату- ситы, репрезентативная как сути решаемой задачи, так и ускоряющая снижение суммарного риска портфеля.
5. Построенные в работе эвристики, агоритмы декомпозиции и расширенной кластеризации основаны на строгом математическом аппарате, обеспечивают нахождение области Парето в трёхкритериальной проблеме минимизации риска портфеля за оптимальное (наименьшее) время вычислений.
6. Своеобразие предложенных объектов кластеризации опирается на новую четырёхступенчатую схему решения задачи:
- построение трёхмерного модельного пространства оптимальной кластеризации с агрегированием в пары статистически оп-позитных активов с минимизацией суммарного риска портфеля;
- предпроектная оптимальная декомпозиция, минимизирующая время перебора за счёт выбора размеров и числа кластеров;
- минимизация суммарного риска портфеля решением задачи о назначениях;
- прямой синтез кластеров двухгрупповым методом Сокала-Миченера с использованием меры Джеффриса-Матуситы.
7. Создана система поддержки принятия решений, включающая в себя агоритмы предварительной декомпозиции, расширенной трёхмерной кластеризации активов, агоритмы назначения, позволившая автоматизировать расчёты по предложенным методикам и указать в первом кластере области Парето те пары активов, которые минимизируют риск портфеля значительным образом.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные методы, методики, агоритмы могут быть использованы для решения широкого круга задач финансового менеджмента, где достижение общей цели сопровождается декомпозицией системы на части, решением частных задач, синтезом общего решения из частных. В этом процессе для поно-переборных по своей сути задач предложенной эвристикой экономится время решения, визуализируется в трёх измерениях выделенная часть, что даёт возможность обзора всего решения и наглядного выбора финансовым менеджером рационального варианта с введением в решение неформальных, интуитивных оценок с возможным осознанным сдвигом математически точного оптимума. Это актуально для оценки рисков финансовых активов, когда формализация не охватывает все возможные ситуации. Созданная система поддержки принятия решений применяется для решения предложенного комплекса и других одиночных задач актуарной математики.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций диссертации подтверждается применением: системного, структурного подходов; современных представлений о стохастичности финансового рынка и методах работы на нём финансового менеджера; экономико-математических методов, включая такие разделы, как прогностика, NP-вычислимость, теория графов, теория декомпозиции, кластерный анализ; математических моделей; проверенных агоритмов кластеризации при разнообразии функций расстояния (метрик) и агоритмов кластеризации; современных инструментальных средств и информационных технологий; документальным характером использованных числовых данных по объекту приложений (активы фондовых бирж, портфели ценных бумаг коммерческих банков) предложенных моделей и методов.
На защиту выносятся следующие положения и выводы:
1. Сложное эндогенное взаимодействие активов финансового рынка и их связь с глобальными экзогенными экономическими изменениями диктует необходимость применения системного анализа, современных математических и инструментальных методов (кластерного анализа, теории систем, численных методов, прогностики, информационных технологий, систем компьютерной математики и др.).
2. Математическая трактовка риска финансового актива как величин дисперсии или среднеквадратичного отклонения (СКО или стандарта) требует использования стохастической парадигмы, новых статистических моделей и методов.
3. Организационно-технологическая специфика операций на рынке ценных бумаг позволяет декомпозировать всё множество пар активов на кластеры, не влияющие, слабо влияющие, сильно влияющие на уменьшение риска портфеля с выбором требуемого кластера для практического применения.
4. В методике декомпозиции активов портфеля на кластеры среди известных норм расстояний кластерного анализа обоснован выбор нормы Джеффриса-Матуситы, идемпотентной сути поставленной задачи.
5. Предложена процедура (эвристика) оптимальной предварительной декомпозиции множества пар активов портфелей ценных бумаг, которая генерирует такое число кластеров и с такими размерами, чтобы они минимизировали время решения задачи поного перебора пар.
6. Предложенная в работе математическая модель кластеризации базируется на известных, математически строгих и хорошо проверенных эвристиках и агоритмах декомпозиционных построений и кластерного анализа. Новый подход к кластеризации активов основывается не на одном классическом показателе (коэффициенте ковариации), а на трёх (средние квадратичные отклонения двух активов и их коэффициент корреляции), что перевело задачу в многокритериальную. Первый кластер вобрал в себя те активы, которые наиболее сильно уменьшают риск при заданном фиксированном доходе портфеля Rp
7. Изложенная методика построения кластеров ценных бумаг, наглядно показывающая кластеры тех пар активов, чьё сочетание приводит к уменьшению риска портфеля, оправдала себя, а сами модели (предварительной оптимальной декомпозиции, кластеризации и оптимального назначения) прошли процесс испытаний путём их погружения в различные реальные портфели.
8. Разработанные подходы, методы, модели, применённый математический аппарат, инструментальные средства и информационное обеспечение могут быть использованы для широкого класса разовых и системных задач финансовой, страховой и актуарной математики с конструктивным получением и визуализацией оптимальных результатов.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты полученных оптимальных управленческих решений для портфелей ценных бумаг АРТ-банка РСО-Алании (г. Владикавказ) переданы его администрации для использования при агрегировании таких ценных бумаг портфеля, которые обеспечивают минимизацию риска портфеля не только в настоящем времени, но и при трендовом прогнозировании фондового рынка на ближайшую перспективу.
Результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку: о на первой научно-практической конференции преподавателей С.-О.ГУ (РСО-Алания, г. Владикавказ, Северо-Осетинский государственный университет имени К.Л.Хетагурова, 26-28 октября 2004 г.); о на VI Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, КИЭП, 2526 апреля 2004 г.); о на VII Международном симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, КИЭП, 23-24 апреля 2005 г.); о на IV Всероссийской научно-практической конференции Прогнозирование и программирование социально-экономических процессов в регионе (г. Пенза, 15 июля 2006 г.); о на Международной научной конференции Инновационные процессы в менеджменте (г. Пенза, 22 июня 2006 г.); о результаты исследований обсуждались на расширенном заседании кафедр Финансы и кредит, Информационные системы в экономике Ставропольского государственного университета 27 июня 2006 года.
Результаты диссертации используются в учебном процессе экономических вузов и включены в структуру учебных дисциплин С.-О.ГУ имени К.Л.Хетагурова Основы актуарных расчётов, Рынок ценных бумаг, Финансовая математика, Методы статистических исследований в экономике.
Основные результаты диссертационного исследования отражены в пяти опубликованных работах автора общим объёмом 2.55 п. л., в том числе автора - 2.45 п.л.
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Койбаева, Марина Ханджериевна
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ИТОГИ, ПРЕДЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ, РЕКОМЕНДАЦИИ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
В этой части диссертации рассмотрим результаты работы новых подходов, отметим достоинства основных положений и предложений диссертационного исследования, подведём его итоги, сделаем полезные выводы и дадим рекомендации, имеющие как теоретическую, так и практическую значимость.
1. Выбор кластерного анализа как основного математического аппарата для определения рисков портфеля ценных бумаг при его фиксированной доходности показал свою профессиональную пригодность при работе с портфелем на фондовом рынке. Он, являясь конструктивным методом, отслеживает как среднесрочные, конъюнктурные изменения рынка ценных бумаг со стороны спекулятивно настроенных меких владельцев акций, тогда быстро меняются веса пар активов в первом кластере, так и трендово-предсказуемое поведение стратегических (отраслевых) инвесторов со стабильностью статистики и состава нескольких первых кластеров.
2. Построенное трёхмерное модельное пространство оптимальной кластеризации с агрегированием пар активов в объекты кластеров обнаружило новые свойства, использованные для решения практической задачи определения риска портфеля ценных бумаг.
3. Предпроектная оптимальная декомпозиция с определением числа кластеров, минимизирующих время перебора, позволила определить их первоначальное число и состав.
4. Минимизация суммарного риска портфеля решением задачи о назначениях упростила операционисту банка процедуру выбора активов, покупкой и продажей которых удаётся оптимизировать риск портфеля денных бумаг. Решение этой задачи допонительно сократило число вариантов и уточнило суммарный оптимальный состав активов портфеля.
5. Применение в качестве основного кластерного агоритма Сокала и Миченера с мерой Джеффриса-Матуситы в расширенном трёхмерном кластерном статистическом пространстве всесторонне оправдало себя, позволяя определять риски портфеля, агрегируя пары активов (Ii, Ij) с учётом не одного какого-то параметра (ад), а трёх: (a, oj, рд), таким образом наиболее поно и точно реализуя многокритериальный подход.
6. Разработанная методология универсальна в том смысле, что она позволяет достаточно просто менять меры (евклидову, Ь-норму, сюпремум-норму, меру Джеффриса-Матуситы и т.д.), вводить переменные во времени статистические (о?, о], рд) параметры финансового рынка.
7. Созданная методика оптимальной декомпозиции с определением числа кластеров, минимизирующего время решения переборной задачи, оказалась конструктивной, наилучшим образом проявив себя в многошаговых процедурах оптимизации, определяя предварительный размер кластера, число кластеров и, таким образом, ускоряя получение точного решения.
8. Модельные эксперименты и реальные расчеты с портфелями ценных бумаг международных фондовых бирж, рынков и банков США и Англии, а также коммерческого АРТ-банка г. Владикавказа (Республика Северная Осетия-Алания) при вариации моделей, критериев оптимизации, функций расстояний (метрик), в том числе мер внутренней однородности кластера и мер разнородности кластеров между собой, при вариации необходимого числа кластеров, которое оптимизирует время решения переборных задач, при изменении способов кластеризации и т.д. показали, что вычисляемые риски существующих портфелей стали гораздо более понятными при реальном управлении ими, подтвердили теоретические посыки и выводы, поноту и меру релевантности предложенных математических моделей, точность и валидацию решений.
9. Созданная система поддержки принятия решений, в состав которой включена профессиональная система компьютерной математики МАРЬЕ 9.5, которая содержит как типовые агоритмы кластеризации системы МАРЬЕ 9.5, так и разработанные агоритмы синтеза оптимальной декомпозиции, показала валид-ность результатов и свою работоспособность на персональных компьютерах ЮМ среднего класса (использовася Pentium IV-2.8 GH/1GB/ 120GB/3.57DVD-CD-ROM 50х/17" LCD Samsung).
10. Система используется в коммерческом АРТ-банке г. Владикавказа Республики Северная Осетия-Алания как для расчёта сиюминутных, текущих, так и оценки будущих рисков портфелей ценных бумаг.
Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Койбаева, Марина Ханджериевна, Владикавказ
1. Агарков М.М. Учение о ценных бумагах. М.: 1997
2. Айвазян С.А., Енюков И.О., Мешакин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.
3. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Том 1. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Издательское объединение ЮНИ-ТИ, 1998. - 1024 с.
4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Издательское объединение ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2001.-656 с.
5. Айвазян С.А. Том 2. Основы эконометрики. М.: Издательское объединение ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 432 с.
6. Акофф Р.Л. Планирование в больших экономических системах/Перевод с английского. Под редакцией И.А.Ушакова. -М.: 1972.
7. Аладьев В., Шишаков М. Автоматизированное рабочее место математика. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 654 с.
8. Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. Анализ данных на ЭВМ (на примере СИТО). М.: Финансы и статистика, 1990. - 192 с.
9. Алексеев М.Ю. Рынок ценных бумаг. М: Финансы и статистика, 1992. - 352 с.
10. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. - 360 с.
11. Алёхин В.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовыеоперации. М.: Финансы и статистика, 1991
12. Ален Р. Математическая экономия. М.: 1963.
13. Атунин А.Е., Семухин М.В. Модели и агоритмы принятия решений в нечётких условиях. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.
14. Анализ и прогнозирование региональных экономических процессов. Деньги и кредит. -1996. - № 12. - С. 27-35.
15. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. - 756 с.
16. Анесянц С.А. Основы функционирования рынка ценных бумаг. М.: Контур, 1998. - 368 с.
17. Ахо А., Хопкрофт Дж. Построение и анализ вычислительных агоритмов. М.: Мир, 1979. - 536 с.
18. Багриновский К.А., Егорова Н.Е. Имитационные системы в планировании экономических объектов. М.: 1980.
19. Баззел Р., Кокс Д., Браун Р. Информация и риск в маркетинге. М.: Финстатинформ, 1993. - 96 с.
20. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. М.: Финансы и статистика, 1997. - 384 с.
21. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИН-ФРА-М, 1998. - 160 с.
22. Беляева И.П. Практические приложения интервального анализа. Переславль-Залесский: ВЦ СО АН СССР, 1988. - 156 с.
23. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. - 540 с.
24. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2001. - 368 с.
25. Бернар И., Коли Ж.К. Прогноз. Токовый экономический ифинансовый словарь. Том 2. М.: Мир, 1994. - С. 386-387.
26. Фон Берталанфи А. Общая теория систем критический обзор//Исследование по общей теории систем/Перевод с английского.-М.: 1969.
27. Бессонов В.А. Введение в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода. М.: Центральный экономико-математический институт РАН, 2003. - 151 с.
28. Бизнес на рынке ценных бумаг. Российский вариант. Справочно-практическое пособие. М.: Граникор, 1992
29. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1. - 288 е., Вып. 2. -197 с.
30. Борель Э. Вероятность и достоверность. М.: Наука. Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.-120
31. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. полный курс в двух томах. СПб.: Экономическая школа, 1997. Том 1-497 е., Том 2-669 с.
32. Брилинджер Д. Временные ряды. М.: Мир, 1980. - 536 с.
33. Валютный портфель/Книга финансиста. Книга коммерсанта. Книга банкира. М.: СОМИНТЕК, 1995. - 681 с.
34. Васильев В.И., Красилышков В.В., Плаксий С.И., Тягунова Т.Н. Статистический анализ многомерных объектов произвольной природы. Введение в статистику качеств. М.: Издательство ИКАР, 2004. - 382 с.
35. Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. М.: Перспектива, 1996. - 82 с.
36. Вексель и вексельное обращения в России. М.: Банковское дело, 1994
37. Винн Р., Ходен К. Введение в прикладной эконометрический анализ. М.: Финансы и статистика, 1981. - 294 с.
38. Винтизенко A.M., Койбаева М.Х. Минимизация рисков портфеля ценных бумаг кластерными методами//- Экономический вестник Ростовского государственного университета. 2006. - № 1 (март). - С. 26-27
39. Галанов В.А. Рынок ценных бумаг. М.: 1998
40. Гиляровская Л.Т., Ендовицкий Д.А. Финансово-инвестиционный анализ и аудит коммерческих организаций. М.: Издательство ВГУ, 1997
41. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели: Учебное пособие. М.: Компьютер ЮНИТИ, 1996. - 136 с.
42. Горчаков А.А., Рязанов Б.Б. Гауссовская модель прогнозирования на российском фондовом рынке. Рынок ценных бумаг.- 1998. № 4-5
43. Гранберг А.Г. Статистическое моделирование и прогнозирование/Под ред. А.Г.Гранберга. М.: Финансы и статистика, 1990.- 383 с.
44. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно-решаемые задачи./Пер. с английского Е.В. Левнера и М.А. Фру-мкина под редакцией А.А. Фридмана. М.: Мир, 1982. - 416 с.
45. Дембаускас А.П. Финансовая информатика. М: Финансы и статистика, 1987. - 205 с.
46. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M., Шамардин Ю.В. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1996. - 167 с.
47. Джонстон Д.Ж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980. - 444 с.
48. Долан Э.Дж. и др. Деньги, банковское дело и денежно-кредитная политика/Перевод с английского под общей редакцией В. Лукашевича, М. Ярцева. СПб.: 1994. - 496 с.
49. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и синергетической экономики в управлении. Отрадная: Ростовский государственный экономический университет; Институт управления, бизнеса и права; ОГИ, 2001. - 577 с.
50. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 2001. -402 с.
51. Дьяконов В. MAPLE 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. -608 с.
52. Дюран В., Одел П. Кластерный анализ. М.: Статистика, 1977. - 128 с.
53. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985. - 32 с.
54. Ефремов И.А. Государственные ценные бумаги и обязательства: обращение, операции, учёт, налогообложение: М.: ИСТ-СЕРВИС, 1995. - 329 с.
55. Жуков Е.Ф. Менеджмент и маркетинг в банках: Учебноепособие для вузов. М.: ЮНИТИ, 1997. - 191 с.
56. Закс А. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976
57. Замков О.О., Тостопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Издательство Дис, 1998. -368 с.
58. Занг В.-Б. (Вэй-Бин Занг) Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. - 335 с.
59. Иванов В.В. Как надёжно и выгодно вкладывать деньги в коммерческие банки: надёжность банка. Финансовые инструменты: вексель, депозит, ГКО. Прибыльность вложения /Рекомендации клиентам. М.: ИНФРА-М, 1996. - 416 с.
60. Иванов Д.П. Вексель. М.: Консатбанкир, 1993. - 208 с.
61. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1994. - 416 с.
62. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория М.: Прогресс, 1975. - 608 с.
63. Кардаш В.А. Основы системных исследований и математического моделирования. Кисловодск: КИЭП, 1998. - 274 с.
64. Кардаш В.А. Компромиссный анализ рыночной экономики. -Ростов-на-Дону: Издательство Северо-Кавказского Научного Центра Высшей школы, 2002. 140 с.
65. Кардаш В.А. Конфликты и компромиссы в рыночной экономике. М.: Наука. Российская Академия Наук. Отделение общественных наук. Секция экономики. Серия Экономическая Наука Современной России, 2006. - 248 с.
66. Кендал М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений/Перевод с английского В.В.Сазонова, А.Н.Ширяева/Под редакцией А.Н.Комогорова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 588 с.
67. Кендал М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи/Перевод с английского Л.И.Гальчука, А.Т.Терёхина/Под редакцией А.Н.Комогорова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 899 с.
68. Кендэл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.
69. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981.- 199 с.
70. Киселёв В.В. Управление банковским капиталом. М.: 1998
71. Клас А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в экономет-рическое моделирование. М.: Статистика, 1978. - 151 с.
72. Ковалёв В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчётности. М.: Финансы и статистика, 1995. - 432 с.
73. Ковалёв В.В. Методы и приёмы финансового анализа и прогнозирования/Финансовый анализ. М.: 1998. - С. 48-62.
74. Ковалёва Л.Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М.: Статистика, 1980. - 102 с.
75. Козаева О.Т., Токаев Н.Х. Эффективность функционирования механизма использования финансово-бюджетных ресурсов субъекта РФ. Владикавказ: Олимп, 2004. - 136 с.
76. Койбаева М.Х. Некоторые вопросы моделирования финансовой деятельности банка. Научное издание. Владикавказ: Издательство Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л.Хетагурова, 2005. - 24 с.
77. Койбаева М.Х. Информационная безопасность банковской деятельности: технологии и модели//Экономический вестник Ростовского государственного университета. 2005. - № 4/1. - С. 1320
78. Кокс Д.Р., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. - 192 с.
79. Колесников В.И. Ценные бумаги. М.: Финансы и статистика, 1997.-416 с.
80. Количественная теория денег. М: Эльфапресс, 1997
81. Количественные методы финансового анализа./Под редакцией С. Дж. Брауна, М.П. Крицмена. М.: Издательство ИНФРА-М, 1996. - 336 с.
82. Компьютерные экономико-математические модели. М: 1997
83. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры. Вопросы конъюнктуры. - 1925. - Т. 1. - Выпуск 1. - С. 28-79
84. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 832 с.
85. Костина H.I., Алексеев А.А., Василик ОД. Финансово прогно-зування: методы та модели Киев: Товариство Знания КОО, 1997. - 144 с.
86. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансовых расчетов: перевод с сербского./Предисловие Е.М. Четыркина. М.: Финансы и статистика, 1994. - 268 с.
87. Ланкастер К. Математическая экономика. М.:
88. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Наука, 1987. -510 с.
89. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. М.: Финансы, 1998. - 339 с.
90. Лялик В.А. Ценные бумаги и фондовая биржа. М.: 1998
91. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика, 1975. Выпуск 1. - 1976. Выпуск 2. - 1977.
92. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Информационно-издательский дом Филинъ, 1998. - 240 с.
93. Математические методы анализа экономики. М.: Издательство Московского государственного университета, 1983. - 152 с.
94. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.
95. Мельников А.В. Финансовые рынки М.: ТВП, 1997
96. Меньшиков И.С. Финансовый рынок ценных бумаг. Курс лекций. М.: Финансы и статистика, 1998
97. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 344 с.
98. Месарович М., Такахара И. Общая теория систем: математические основы./Перевод с английского. Под редакцией С.В.Емельянова. -М.: 1978
99. Миркин Я.М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Перспектива, 1995. 550 с.
100. Михеев А.В., Струнков Т.Г. Учёт процентного риска при управлении портфелем ГКО. Рынок ценных бумаг. - 1997. - № 24
101. Мэнкью Н. Грегори Принципы экономике. (Серия Учебники), 2-е издание, сокращённое. СПб.: Питер, 2003. - 496 с.
102. О'Брайен Дж., Шривастова С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами (FAST). М.: 1995
103. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечёткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 208 с.
104. Павловский Ю.Н. Декомпозиция моделей управляемых систем. М.: Знание, 1985. - 41 с.
105. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Агоритмы и сложность. М.: Мир, 1985. - 512 с.
106. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт и риск. М.: ИНФРА-М, 1994. - 192 с.
107. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского государственного университета, 2001. - 126 с.
108. Перепелица В.А., Попова Е.В. Фрактальный анализ поведения природных временных рядов. Современные аспекты экономики. - 2002. - № 9 (22). - С. 185-200
109. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка/Перевод с английского. М.: Мир, 2000. - 333 с.
110. Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. - 304 с.
111. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.
112. Покровский В.Д. Способы страхования риска на рынке ГКО. Рынок ценных бумаг. - 1996. - № 15
113. Портфель конкуренции и управления финансами (Книга конкурента. Книга финансового менеджера. Книга антикризисного управляющего)/Ответственный редактор Рубин Ю.Б. М.: СОМИНТЕК, 1996. - 736 с.
114. Прохоров Г.В., Леденёв М.А., Кобеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. Компьютерное издание. 198 с.
115. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределённости. М.: Наука, 1977. - 408 с.
116. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. - 376 с.
117. Риполь-Сарагоси Ф.Б. Финансовый и управленческий ана-лиз./Учебное пособие. М.: Издательство ПРИОР, 1999. - 224 с.
118. Рыночная экономика. Энциклопедический словарь
119. Сигэл Эндрю Ф. Практическая бизнес-статистика: Перевод с английского. М.: Издательский дом Вильяме, 2002. -1056 с.
120. Современный рынок ценных бумаг: Справочник. М.: ИКОН, 1995
121. Современный философский словарь/Под общей редакцией д.ф.н., проф. В.Е.Кемерова. 2-е издание, исправленное и допоненное. - Лондон: - Франкфурт-на-Майне: - Париж: - Люксембург: - Москва: - Минск: Панпринт, 1998. - 1064 с.
122. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах. М.: Интернет-трейдинг, 2003. - 400 с.
123. Сорос Дж. Ахимия финансов. М.: ИНФРА, 1996. - 416 с.
124. Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике/Под редакцией
125. B.Н.Тамашевича./Учебное пособие. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. -598 с.
126. Справочник по прикладной статистике. В двух томах./ Перевод с английского. Под редакцией Э.лойда, У.Ледермана,
127. C.А.Айвазяна, Ю.Н.Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1990. -432 с.
128. ТахаХ. Введение в исследование операций. М.: Мир, 1985
129. Терехов Л. Л. Кибернетика для экономистов. М.: Финансы и статистика, 1983. - 288 с.
130. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. М.: Статистика, 1965. - 238 с.
131. Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М.: Издательство Дело и Сервис, 1999. -432 с.
132. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. М.: Русская Деловая Литература, 1999. - 240 с.
133. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. М.: Мир, 1981. - 696 с.
134. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ на компьютере. М.: ИНФА-М, 1998. - 528 с.
135. Уикс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. -274 с.
136. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для студентов вузов/Перевод с английского. Под редакцией М.Р. Ефимовой. М.: Финансы. Издательское объединение ЮНИТИ, 1999. - 528 с.
137. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: Наука, 2000. - 431 с.
138. Фелер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1./Перевод с английского Р.А.Добрушина, А.А.Юшкевича, С.А.Мочанова. Под редакцией Е.Б.Дынкина. М.: Мир, 1964. - 498 е.; Том 2./Перевод с английского Ю.В.Прохорова. -М.: Мир, 1967. - 752 с.
139. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений. -М.: Наука, 1978. 298 с.
140. Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. М.: Финансы и статистика, 1981. - 168 с.
141. Хеферт Э. Техника финансового анализа. Под редакцией Л.П. Белых. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1996. - 663 с.
142. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. Издание 2-е, 1972. - 400 с.
143. Хот Р., Барнес С. Планирование инвестиций./Перевод с английского. М: Дело ТД, 1994. - 120 с.
144. Хоскинг А. Маркетинг: планирование, исследования и прогнозирование. Курс предпринимательства. М.: 1993. - С. 136162
145. Черновский А.Е. Формирование портфеля ГКО с учётом характеристики процентного риска. Рынок ценных бумаг. - 1996. -№ 2
146. Чесноков А.С. Ценные бумаги: Справочник акционера.1. М.: Паимс, 1994
147. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник для вузов. М.: Дело ТД, 2000. - 400 с.
148. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчётов. Издание 2-е, переработанное и допоненное. М.: Дело ТД, 1996. - 320 с.
149. Шим Дж.К., Сигел Дж.Г. Финансовый менеджмент (Экономика для практиков). М.: Филинъ, 1996. - 400 с.
150. Ширяев A.M. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. Т.1. М.: ФАЗИС, серия Стохастика, выпуск 2, 1998
151. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. Т.2. М.: ФАЗИС, серия Стохастика, выпуск 3, 1998
152. Экономико-математические методы и прикладные модели/ Учебно-методическое пособие. М.: Финстатинформ, 1997
153. Lance G.N., Williams W.T. A generalized sorting strategy for computer classifications. Nature. - 1966. - v. 212. -p. 218
154. Markowitz H.M. Portfolio Selection. Journal of Finances. -1952.-v. 7.-Nq 1. -pp. 77-91
155. Sokal R.R., Michener C.D. A statistical method for evaluating systematic relationships. University of Kansas Scientific Bulletin. -1958. - Nq 20. - March, -pp. 1409-1438
156. Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk. Review of Economical Studies. - 1958. - v. 25. - Nq 1. - pp. 65-86
Похожие диссертации
- Управление рисками и надежностью банков
- Системный анализ и оценка эффективности процессов управления корпоративными слияниями
- Управление развитием малого инновационного предпринимательства на основе формирования эффективных механизмов инфраструктурного обеспечения
- Формирование стратегии управления банковскими рисками
- Выбор оптимальной структуры банковского портфеля с учетом ликвидности