Определение функции
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задание 1
Дан треугольник АВС. Требуется найти
1)Длину стороны АВ
2)Уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент
)Уравнение медианы, проведенной из вершины В
)Координаты точки пересечения медиан
)Уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ
)Расстояние от вершины С до стороны АВ
)Уравнение окружности, для которой АВ есть диаметр А (5; 3); В (2; - 1); С (-4; 7).
Решение
1)Расстояние d между двумя точками A(x1; y1) и B(x2; y2) плоскости определяется по формуле
Применяя эту формулу, найдем длину стороны АВ
АВ=5
2)Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1; y1) и B(x2; y2) имеет вид
Подставляя вместо x1; y1; x2; y2 координаты точек А и В, получаем
,
Отсюда
Искомое уравнение прямой мы привели к уравнению с угловым коэффициентом, т.е. к уравнению вида .
Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой .
3)Пусть точка D - середина отрезка АС. Для определения координат точки D применяем формулы деления отрезка пополам:
; .
Находим координаты точки D:
;
Подставив координаты точек В и D в уравнение , находим уравнение медианы ВD:
4)Чтобы найти координаты точки пересечения медиан, необходимо написать уравнение еще какой-нибудь одной медианы, например, СК. Для этого сначала найдем середину отрезка АВ (координаты точки К) по формулам:
; .
;
К (3,5; 1).
Напишем уравнение медианы СК:
Теперь найдем точку пересечения медиан. Для этого необходимо решить систему уравнений:
Получаем x=1; y=3. Следовательно, точка пересечения медиан M (1; 3).
)Нам необходимо написать уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. Уравнение стороны АВ (из п. 2): . Поскольку высота перпендикулярна стороне АВ, то их угловые коэффициенты и удовлетворяют условию перпендикулярности двух прямых, т.е. .
Так как , то . Зная координаты точки С (-4; 7) и угловой коэффициент и пользуясь уравнением прямой , проходящую через данную точку, составляем уравнение искомой прямой ; .
6)Чтобы найти расстояние от точки С до стороны АВ, нам необходимо найти точку пересечения высоты СS со стороной АВ. Для этого решим систему уравнений:
Получаем x=3,68; y=1,24. То есть S (3,68; 1,24). Теперь можем определить CS по формуле
получим
.
7)Уравнение окружности с центром O (a, b) и радиусом R имеет вид
Так как по условию АВ-диаметр, то середина отрезка АВ, то есть точка ; является центром окружности.
Кроме того, АВ=5 (из п. 1), поэтому АЕ=ЕВ=2,5. Следовательно, радиус окружности R=2,5.
Подставив в уравнение R=2,5; а=3,5; b=1, получим уравнение искомой окружности
Задание 2
Найти область определения функции
Решение
Функция определена при тех значениях х, для которых
То есть D(y)=(0; 1).
Задание 3
Найти предел
Решение
Здесь мы имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. После этого можно будет сократить на (x+8) и воспользоваться теоремой о пределе дроби.
1.
Здесь мы имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, воспользуемся тригонометрической формулой преобразования суммы в произведение в числителе.
Поскольку (замечательный предел), то имеем
Задание 4
Найти производную функции
Решение
Задание 5
Сумма длин высоты и диаметра основания конуса равна 6. При какой длине радиуса основания объем конуса будет наибольшим?
Решение
Где Vк-объем конуса, R-радиус основания конуса, H - его высота. Так как сумма высоты и диаметра основания конуса равна 6, то
.
Тогда
Исследуем функцию на максимум:
То есть R=2.
То есть в точке R=2 функция Vк(R) имеет максимум.
Значит, при R=2 объем конуса будет наибольшим.
Задание 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
уравнение производная функция площадь
Задание 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
Задание 8
В партии, содержащей 20 изделий, имеется 4 изделия с дефектами. Наудачу отобрали 3 изделия для проверки их качества. Случайная величина Х - число дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке. Найти закон распределения случайной величины Х и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) и среднее квадратичное отклонение . Построить график функции распределения F(x).
Решение
В выборке из трех изделий может не оказаться ни одного дефектного изделия, может появиться одно, два или три дефектных изделия. Следовательно, случайная величина Х может принимать только 4 значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Найдем вероятность этих значений:
Следовательно, данная случайная величина X имеет закон распределения:
X0123PОтметим, что .
Найд