Описанные и вписанные окружности
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
2.3.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
Пусть S площадь правильного n угольника, аn его сторона, Р периметр, а, r и R радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что
S = Pr. (1)
В самом деле, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна аnr ( см.рис.п.2.2)
Следовательно,
S = nanr = (nan) r = Pr.
Выведем далее следующие формулы:
an = 2R sin , (2)
r = R . (3)
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О
А1 = = ? 1800 = 900 - .Следовательно, аn = 2А1Н1 = 2R cos ( 900 - ) = 2R sin , а r = OH1 = R sin ( 900 - ) = R cos .
Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
а3 = 2R sin = 2R sin 600 = 2R ? = R ; (4)
а4 = 2R sin = 2R sin 450 = 2R ? = R ; (5)
а6 = 2R sin = 2R sin 300 = 2R ? = R; (6)
2.4. Решение задач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
Для иллюстрации применения данных формул (1) (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.
Задача № 1. Для квадрата со стороной а, вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
NRra4PS1362436224161634163243,5728495841616
Решение.
a4 = 2R sin = 2R sin 450 = 2R ? = R;
r = R cos = R cos 450 = R;
P = 4a; S = a2 .
1) a4 = R, R = , R = = .
r = ? = 3.
P = 4a = 4?6 = 24, S = a2 = 36.
- R =
, R = 2,
a4 = ? = 4,
P = 4?4 = 16, S = 16.
- r = 4?
= ,
a4 = 4? = ,
P = 4? = , S = 32.
- a4 = 28 : 4 = 7,
R = = 3,5?,
r = 3,5? = 3,5,
S = 49.
- a4 = 4, P = 16,
R = = ,
r = ?= 8.
Задача № 2. Для правильного треугольника со стороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
NRra3PS131,539210342412124515526
Решение.
а3 = 2R sin = 2R sin 600 = 2R? = R;
r = R cos = R cos 600 = R? = ;
P = a + b + c = 3a,( т.к. а = b = c), S = .
1) r = = 1,5, a3 = ,
P = 3? = , S = .
2) a3 = = = ,
R = = 2?? = 2? = ?,
r = : = ? =
P = ?2 = .
3) r = 2?2 = 4, a3 = ,
P = 3? = , S = = .
4) R = = ,
r = : = ? = ,
P = 3?5 = 15, S = .
5) a3 = 6 : 3 = 2, S = = ,
R = = ,
r = : = ? = .
Используя решенные задачи, можно составить таблицу зависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружности для всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.
Количество сторон
n
а
r
S342R26R
2.5 Площади правильных многоугольников.
В таблице приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (a означает длину стороны), вычисленные по формуле (1) пункта 2.3.
НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВЧисло сторонНазвание многоугольникаПлощадь правильного многоугольника3Треугольник0,433a24Четырехугольник1,000a25Пятиугольник1,720a26Шестиугольник2,598a27Семиугольник3,634a28Восьмиугольник4,828a29Девятиугольник6,182a210Десятиугольник7,694a2nn-угольник.......
3. Построение правильных многоугольников.
3.1. Способы построения правильных многоугольников.
Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
Задача 1. Построение правильного треугольника.
Задача 2. Построение правильного четырехугольника (квадрата).
Для построения правильных n угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.
Задача 3. Построение правильного многоугольника, сторона которого равна данному отрезку.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (6). Пусть PQ данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А1. Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6. Соедин?/p>