О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
?ендарной личностью. Даже первокурсникам в те годы было ясно, что теория чисел в духе Харди и Рамануджана устарела и блестящее будущее её не ждёт. Сам Харди в лекции о ?-функции Рамануджана назвал этот сюжет одной из тихих заводей математики. Значения ?-функции это коэффициенты ряда:
?
?
?
?(n) xn1 = ?24(x) =
?
(1 xn)24,
n=1
n=1
(1)Рамануджан открыл ряд замечательных арифметических свойств ?(n).
Доказательство и обобщение этих свойств Морделлом, Гекке и другими сыграли важную роль в развитии модулярных форм. Но сами ?-функции по-прежнему оставались тихой заводью, далёкой от основного русла математики, где дилетанты могли плескаться в своё удовольствие, не тревожимые конкуренцией с профессионалами. Уже став физиком, много лет спустя, я сохранил сентиментальную привязанность к ?-функции и отдыхал от такого серьёзного дела, как физика, время от времени возвращаясь к работам Рамануджана и размышляя над многими увлекательными проблемами, которые он оставил нерешёнными. Четыре года тому назад (статья Дайсона написана в 1972 году Д. Ф.), во время такого отдыха от физики, я нашёл новую формулу для ?-функции, столь красивую, что просто поразительно, как сам Рамануджан не додумался до неё. Выглядит она так:
?(n) =
?
(a b)(a c)(a d)(a e)(b c)(b d)(b e)(c d)(c e)(d e)
1! 2! 3! 4!
.
(2)
Суммирование ведётся по всем пятёркам целых чисел a, b, c, d, e, имеющих при делении на 5, соответственно, остатки 1, 2, 3, 4, 0 и таких, что a + b + c + d + e = 0, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 10n. Пользуясь (1), можно записать эту формулу в виде выражения для ?24(x) (сравните с приведённым выше выражением для ?8(x) Д. Ф.).
Я пришёл к ней под влиянием письма Винквиста, получившего похожее выражение для ?10(x).
Продолжая своим доморощенным способом исследования этих тождеств, я обнаружил существование столь же красивой формулы, как (2), для n-х степеней ? в тех случаях, когда n принадлежит следующей последовательности целых чисел:
n = 3, 8, 10, 14, 15, 21, 24, 26, 28, 35, 36...(3)(вот они, избранные показатели! Д. Ф.). На этом я остановился. Довольно недолго я разглядывал странную последовательность (3). Будучи в то время теоретиком-числовиком, я ничего в ней не увидел. Перегородки в сознании помешали мне заметить, что я неоднократно встречал эти числа в качестве физика. Попадись они мне на глаза в контексте какой-нибудь физической задачи, я бы, наверное, узнал в них размерности конечномерных простых алгебр Ли, если не считать число 26. Почему сюда попало 26 не знаю до сих пор.
Простите, я забыл, что вы не знаете, что такое простые алгебры Ли. Это неважно. Я постараюсь объяснить вам, что такое числа (3). Вспомните, что вращения плоскости вокруг фиксированной точки зависят от одного параметра угла поворота. Вращения трёхмерного пространства зависят от трёх параметров широты и долготы оси вращения и угла поворота. Вообще, вращения n-мерного пространства зависят от n(n 1) параметров, а вращения n-мерного комплексного пространства от n2 1 параметров. К числам n(n 1) и n2 1 (то есть 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... и 3, 8, 15, 24, 35, ...) нужно присоединить пять особых размерностей 14, 52, 78, 133 и 248. Если ещё выбросить, как это и делает Дайсон, числа 1 и 6, получится последовательность (3), которую, конечно, твёрдо помнит любой физик-теоретик.
Так я упустил возможность заметить глубокую связь между модулярными формами и алгебрами Ли только потому, что Дайсон теоретик-числовик не поговорил с Дайсоном физиком.
У этой истории счастливый конец. Неизвестный мне в то время английский математик Ян Макдональд получил эти же формулы, как частный случай более общей теории. Алгебры Ли входили в его теорию с самого начала, а связь с модулярными формами появилась нежданно-негаданно. Так или иначе, Макдональд выявил эту связь и использовал возможность, которую я упустил. Выяснилось также, что Макдональд находился в Институте высших исследований в Принстоне, когда мы оба работали над этой проблемой. Поскольку наши дочери учились в одном классе, мы виделись время от времени в течение всего его годичного пребывания в Принстоне. Но так как он был математиком, а я физиком, мы не говорили о своей работе. То, что мы думали над одним и тем же вопросом, находясь столь близко друг от друга, выяснилось лишь по его возвращении в Оксфорд. Вот упущенная возможность, но не столь драматичная, поскольку Макдональд прекрасно во всём разобрался и без моей помощи.
7. Заключение
Изложенная здесь теория совсем не ограничивается вычислением степеней функции Эйлера: имеется большое количество замечательных формул, в левой части которых стоят бесконечные произведения иного типа. Я надеюсь, что когда-нибудь вы пожелаете познакомиться с этим предметом более серьёзно. Напоследок я покажу вам ещё два тождества, которые Гаусс доказал одновременно с тождеством из п. 4:
(1 x)2(1 x2)(1 x3)2(1 x4)(1 x5)2(1 x6)... = 1 2x + 2x4 2x9 + 2x16 2x25...,
(1 x2)(1 x4)(1 x6)(1 x8)...
(1 x)(1 x3)(1 x5)(1 x7)... = 1 + x + x3 + x6 + x10 + x15 + x21 + ... .Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта