О категории множеств
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?ю на этом множестве можно ввести только одним способом: 1010=10, , 1111=11. тогда для любых объектов категории выполняется закон тождества и закон ассоциативности.
3.3. Категория 3
Эта категория имеет три объекта и шесть стрелок.
объекты: 0,1,2
стрелки: .
Стрелки - единичные.
Композицию определяем следующим образом:
1010=10, 1111=11, 1212=12, . Тогда выполняется закон тождества и закон ассоциативности.
3.4. Категории предпорядка
Категория, в которой любые два объекта p и q связаны не более чем одной стрелкой pq, называется категорией предпорядка. Если Р совокупность объектов категории предпорядка, то на ней определено следующее бинарное отношение R: R pq. Отношение R обладает следующими свойствами:
- рефлексивность (вытекает из того, что для любого объекта категории существует единичная стрелка)
- транзитивность (вытекает из того, что стрелка pq дает в композиции со стрелкой qs стрелку ps)
Первые три примера являются и примерами категории предпорядка. Но в них отношение предпорядка удовлетворяет еще свойству антисимметричности, а именно если pq и qp, то p=q. Антисимметричное отношение предпорядка называют отношением частичного порядка. Простейшим примером категории предпорядка, но не частичного порядка является двухобъектная категория с четырьмя стрелками: в этой категории существуют стрелки p>q и q>p, но рq.
3.5. Дискретные категории
Категория называется дискретной, если в ней имеются только единичные стрелки, т.е. каждая стрелка является единичной для некоторого объекта. Отождествляя объекты с единичными стрелками, можно заметить, что дискретная категория есть не что иное, как совокупность объектов. Действительно, любое множество X можно превратить в дискретную категорию, добавив единичные стрелки для каждого xX.
3.6. Категория N
В этой категории ровно один объект, обозначаемый через N. Также категория имеет бесконечную совокупность стрелок из N в N. По определению этими стрелками являются натуральные числа 0,1,2,3… . Каждая стрелка имеет одно и то же начало и конец, а именно единственный объект N. Композиция двух стрелок (чисел) m и n есть снова число. Положим mn=m+n. Итак, диаграмма коммутативна по определению. Закон ассоциативности для стрелок вытекает из ассоциативности сложения.
Единичная стрелка 1N объекта N задается числом 0. Диаграмма коммутативна, так как 0+m=m n+0=n.
Литература
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.
- Голдблат Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.
- Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
- Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. М.: Наука, 1974.