О градиентных методах и сопряженных задачах при идентификации теплофизических параметров
Контрольная работа - Физика
Другие контрольные работы по предмету Физика
О градиентных методах и сопряжённых задачах при идентификации теплофизических параметров
В.К. Толстых, (доктор ф.-м. наук., доц., ДонНУ)
Н.А. Володин (канд. ф.-м. наук, доц. ДонНТУ)
В.Е. Бодряга (зав. лаб., ДонНУ)
Вступление
Решается задача идентификации коэффициента температуропроводности непрерывнолитого стального цилиндрического слитка. Температуропроводность представляется полиномиальной зависимостью от температуры процесса с весовыми коэффициентами. Задача рассматривается как оптимизационная. Минимизация целевой функции осуществляется методом сопряженных градиентов. Рассматриваются методы поиска градиента функции с помощью сопряженной задачи и численного дифференцирования. Приводятся сравнительный анализ расчётов задачи идентификации для обоих методов.
Идентификация, оптимизация, градиент, непрерывный слиток.
При идентификации параметров в задачах теплофизики приходится численно минимизировать функционалы от состояния системы - критерии качества идентификации. Наиболее часто здесь используются градиентные алгоритмы [1, 2]. Если искомые параметры являются пространственными или временными функциями, то градиент критерия качества также является пространственно-временной функцией и находится через решение сопряжённой задачи, например, - [3,4]. Если искомые параметры является функциями состояния системы, то их представляют различными рядами относительно состояния с множеством коэффициентов. Такие коэффициенты образуют вектор идентифицируемых параметров, и здесь градиент критерия качества превращается в вектор сопряжённого пространства, например, - [4]. При этом градиент для вектора искомых параметров может быть получен и без сопряжённой задачи, а численным дифференцированием критерия качества идентификации, как это было реализовано в [5]. Возникает ряд вопросов, в каком случае следует использовать технику сопряжённых задач, а в каком - численное дифференцирование, что эффективнее, проще в реализации? Именно поиску ответов на данные вопросы, применительно к задачам параметрической идентификации в теплофизических, возможно нелинейных системах, посвящена настоящая работа.
Постановка задачи
В работе рассматривается проблема математического моделирования процессов затвердевания слитков, в частности, - в машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ). Точность моделирования, в основном, определяется точностью задания параметров, входящих в уравнения конвекции и тепломассопереноса. Такие уравнения довольно громоздки, при численном решении требуют значительных ресурсов компьютеров и не гарантируют желаемой точности. Значительное снижение вычислительных затрат может быть достигнуто введением эффективных коэффициентов теплопроводности и диффузии, что позволяет отказаться от расчета уравнений конвекции и существенно снизить число определяемых параметров [2, 5]. Естественно, что достоверные значения этих параметров могут быть получены только из решения задач параметрической идентификации.
Математическая модель установившегося теплового процесса в цилиндрическом непрерывном слитке может быть представлена следующим квазилинейным параболическим уравнением [2]:
, , (1)
, ,
, , (2)
где - скорость литья, - температура слитка, - эффективный коэффициент температуропроводности, - эффективный радиус слитка, - длина вертикальной части МНЛЗ, - температура слитка в зоне кристаллизатора, - температура заливаемого в установку металла, - нижняя граница кристаллизатора, - температура охладителя в зоне вторичного охлаждения (ЗВО), , - коэффициент теплоотдачи в ЗВО, - теплоемкость, - плотность. На рис. 1 схематично изображена часть МНЛЗ с затвердевающим слитком.
Предположим, что все теплофизические параметры модели (1)-(2) заданы точно, за исключением эффективного коэффициента температуропроводности .
Рис. 1. Принципиальная схема затвердевающего слитка в МНЛЗ вертикального литья:
- кристаллизатор, 2 - слиток, 3 - вторичный охладитель
Качество идентификации эффективного коэффициента будем оценивать интегральным расхождением модельной и экспериментально наблюдаемой температурами по объёму слитка:
(3)
В работе [4] показано, что идентификация эффективного коэффициента температуропроводности традиционными полиномами в общем случае невозможна, однако удается получить хорошее решение при использовании полинома вида:
(4)
где - коэффициент масштабирования, - температура затвердевания металла, - коэффициенты полинома. При этом задача идентификации модели (1)-(2) сводится к задаче параметрической идентификации вектора размерности , а минимизируемый функционал (3) превращается функцию .
Минимизацию будем осуществлять методом сопряженных градиентов:
, (5)
где ,
а число рассчитывалось с использованием метода Вульфа [6].
Для оценки эффективности методов идентификации вектора по алгоритму (5) градиент в мерном пространстве будем рассчитывать двумя способами: численным дифференцированием и с использованием сопряженной задачи.
При численном дифференцировании градиент целевой функции рассчитывался по формуле [6]:
, , (6)
где число , - единичный вектор вд?/p>