Нечеткие множества в системах управления
Информация - Философия
Другие материалы по предмету Философия
°чается и определяется так:
"xE = m A(x) + mB(x)-mA(x)mB(x).
Для операций {, } выполняются свойства:
- коммутативность;
- ассоциативность;
A = , A = A, AE = A, AE = E
- теоремы де Моргана.
Не выполняются:
- идемпотентность;
- дистрибутивность;
а также A = , A = E.
Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.
Для примера докажем свойство: . Обозначим mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab.
Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A(BC) (AB)(AC). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при aa2.
Замечание. При совместном использовании операций {, ,+,} выполняются свойства:
А(BC) = (AB)(A C);
А (BC) = (AB)(AC);
А(BC) = (AB)(AC);
А(BC)=(AB)(AC).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.
На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое множество Aa определяется функцией принадлежности mAa = maA(x). Частным случаем возведения в степень являются:
CON(A) = A2 - операция концентрирования,
DIL(A) = A0,5 - операция растяжения,
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что am A(x)1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:
maA(x) = amA(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2,.., An - нечеткие множества универсального множества E, а w1, w2, ..., wn - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:
"xE mA(x1, x1,..., xn) = w1mA1(x) + w2mA2(x) + ... + wnmAi(x).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно. Декартово произведение A = A1A2 ...An является нечетким подмножеством множества E = E1E2 ...En с функцией принадлежности:
mA(x1, x1, ..., xn) = min{ mA1(x1), mA2(x2) , ... , mAi(xn) }.
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех xE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
Ф(A, K) = mA (x)K(х),
где mA(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда
Ф(A,K) = mA(1) K(1) mA(2)K(2) mA(3)K(3) mA(4)K(4) =
= 0,8(1/1+0,4/2) 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =
= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:
Aa ={x/m A(x)a}, где a1.
Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,
тогда A0.3 = {x3,x4},
A0.7 = {x4}.
Достаточно очевидное свойство: если a1 a2 , то Aa1 Aa2 .
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:
A = aA a, где aAa - произведение числа a на множество A, и a "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.
Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:
A = 0,1(1,0,1,1) 0,7(0,0,1,1,) 1(0,0,0,1)=
= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4) (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)
(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .
Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a1 a2 a3 ... an, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:
A = aiAai,
т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aa1, Aa2, ..., Aai}, где Aa1 Aa2 , ..., Aai.
Расстояние между нечеткими множествами, индексы нече