НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Федеральная Авиационная Служба России
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
Кафедра прикладной математики
Курсовая работа защищена
с оценкой _________________.
.__________________________.
Руководитель
доцент, к.т.н. Лукина О. П.
.__________________________.
подпись
КУРСОВАЯ РАБОТА
по теме
НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ
(Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы)
Работу выполнили
студенты 5-го курса
специальности 01.02
Козлов Сергей Александрович
/Козлов С.А./------------------------.
Семенчихин Владимир Владимирович
/Семенчихин В.В./------------------------.
28.X/1999 года.
МОСКВА - 1999
АННОТАЦИЯ
В данной курсовой работе рассмотрен принцип нахождения корней алгебраического многочлена следующими численными методами: метод бисекции, метод хорд и касательных, метод разложения на множители с учетом определяемой точности и проверки кратности корней, а также в среде Visual Basic for Applications 6.0 была разработана программа, реализующая этот поиск и проверку. В пояснительной записке приводится описание как самих численных методов, так и программы, включая примеры и экранные копии.
- ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Разработать программу для вычисления корней алгебраического многочлена следующими численными методами : методом половинного деления, методом хорд и касательных, методом разложения на множители, а также обеспечить вычисление значений корней с указываемой точностью и проверку кратности корней. Среда разработки программы произвольная.
- ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ
2.1. Описание численных методов
Численные методы позволяют найти решения определенных задач, заранее зная, что полученные результаты будут вычислены с определенной погрешностью, поэтому для многих численных методов необходимо заранее знать уровень точности, которому будет соответствовать полученное решение.
В этой связи задача нахождения корней многочлена вида (1)
F(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (1)
представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыскать корни многочлена, степень которого равна, например, 5 то без помощи численных методов не обойтись, тем боле, что вероятность наличия у такого многочлена натуральных (или целых, или точных корней с с короткой дробной частью) довольно мала, а формул для нахождения корней уравнения степени, превышающей 4, не существует. Де-факто все дальнейшие операции будут сводиться лишь к уточнению корней, интервалы которых приблизительно известны заранее. Проще всего эти приблизительные корни находить, используя графические методы.
Для нахождения корней многочлена существует несколько численных методов, но мы остановимся на тех из них: методе итераций, методе хорд и касательных и методе половинного деления.
2.2.1. Метод хорд и касательных (комбинированный)
Данный метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим сжатием этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.
Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Однако преимущество комбинированного метода заключается в двустороннем сжатии рассматриваемого отрезка.
Рассмотрим следующий случай:
- дана функция F(x) и построен ее график;
- определена допустимая погрешность Q
на основании графика определен отрезок [a,b], на котром график функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке
рис.1
- существует корень рассматриваемого многочлена. (обозначим его через A)
Дальнейший алгоритм сводится к следующим действиям:
- строим касательную к графику функции в точке F(b)
- вычисляем координату х пересечения касательной с осью абсцисс по формуле (3) и обозначаем ее через b
- строим к графику функции хорду, проходящую через точки F(a) и F(b).
- Вычисляем точку пересечения хорды с осью абсцисс по формуле (2) и обозначаем ее через a.
a=a- Da , где(2)
b=b- Db , где (3)
Таким образом мы получаем новый отрезок [a , b], котроый (по определениям хорды и касательной) по-прежнему содержи решение уравнения A.