Научная контрреволюция в математике
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ематика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего.
Есть еще один парадокс, связанный с теорией Кантора. Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного "покушения на устои" и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться - у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью "Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)", опубликованную в журнале "Доклады РАН" (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам - более популярное, но не менее строгое изложение в работе "Ошибка Георга Кантора", опубликованной в журнале "Вопросы философии" (2000 год, номер 2, стр. 45-48).
Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к сожалению, содержит один существенный недостаток. Она неконструктивна, поскольку в ней не содержится критерий, по которому было бы возможно отличить нормальный, здоровый, естественный "абстракционизм" математики от метаматематического "бурбакизма". Думаю, указать такой критерий невозможно в принципе.
Поэтому я лично вижу два способа профилактики "левополушарной преступности", о которой говорит Арнольд. Первый путь - радикально-юмористический: искоренение причин, порождающих этот вид "преступности". Второй путь - не менее конструктивный: истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей. Если это действительно Истина и если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем видеть одно и то же. И никто при всем желании уже не сможет, прикрываясь камуфляжем "бурбакизма", выдать ложь за истину, а пустое место - за выдающееся научное достижение.
И в заключение - давайте не будем забывать, что математика все-таки - "королева всех наук, а теория чисел - королева математики", а также и о ?/p>