Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Контрольна робота з теми:
Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
1. Основні напрямки теорії ймовірностей. Безпосередній підрахунок ймовірностей
Подією (або випадковою подією) називається будь-який факт, що внаслідок експерименту може відбутися або не відбутися.
Ймовірністю події називається чисельна міра ступеня обєктивної можливості цієї події. Ймовірність події А позначається .
Достовірною є подія , яка внаслідок експерименту неодмінно повинна відбутися:
.
Неможливою є подія, яка внаслідок експерименту не може відбутися:
.
Ймовірність будь-якої події знаходиться між нулем та одиницею:
.
Декілька подій утворюють повну групу, якщо внаслідок експерименту неодмінно повинна відбутися хоча б одна з них, тобто поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірна подія.
Декілька подій в даному експерименті називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.
Декілька подій є рівноймовірними, якщо немає підстав вважати яку-небудь з них більш можливою, ніж будь-яку іншу.
Кожний з можливих результатів випробування є елементарним наслідком. Вони утворюють повну групу, несумісні та рівноймовірні.
Елементарні наслідки є такими, що сприяють події, якщо поява цих виходів спричиняє появу події.
Відповідно до класичного визначення, ймовірність події обчислюється за формулою:
,
де загальне число елементарних наслідків, число наслідків, що сприяють події .
При безпосередньому підрахунку ймовірностей використовують основні формули та правила комбінаторики.
Перестановками є комбінації, що складаються з однакових елементів і відрізняються лише порядком розташування цих елементів. Число всіх перестановок дорівнює :
.
Розміщеннями є упорядковані комбінації, що складаються з m різних елементів даної n- елементної множини. Число розміщень дорівнює:
.
Сполученнями є неупорядковані комбінації, що складаються з m різних елементів даної n- елементної множини. Число сполучень дорівнює:
ймовірність теорія теорема байєс
.
Правило суми. Якщо деякий обєкт А можна вибрати з сукупності обєктів m способами, а інший обєкт В може бути вибраний n способами, то вибрати або А, або В можна способами.
Правило множення. Якщо обєкт А можна вибрати з сукупності обєктів m способами, і після кожного такого вибору обєкт В можна вибрати n способами, то пара обєктів А і В може бути вибрана способами.
Приклад 1.
Кидають одночасно дві гральні кості. Знайти ймовірності таких подій:
1) А сума очок, що випали, дорівнює 8;
2) В добуток очок, що випали, дорівнює 8;
3) С сума очок, що випали, дорівнює 8, а добуток 15.
Розвязок.
1) А сума очок, що випали, дорівнює 8.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту дорівнює , оскільки кожна кістка дає 6 наслідків, а кожний з наслідків кидання "першої" кості може поєднуватися з кожним з наслідків кидання "другої" (правило множення). Наслідки, що сприяють нашій події (сума очок дорівнює 8), є такі: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), тобто . Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних наслідків: .
2) В добуток очок, що випали, дорівнює 8.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту залишилося незмінним , а число наслідків, що сприяють події В, дорівнює: . Тоді .
3) С сума очок, що випали, дорівнює 8, добуток 15.
Загальне число можливих елементарних наслідків експерименту залишилося . Сприяють шуканій події тільки ті наслідки, для яких виконуються дві умови: сума очок, що випали, дорівнює 8, а добуток 15: . Тоді .
Приклад 2.
У ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання витягнули 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих деталей рівно 3 стандартні.
Розвязок.
Подія А серед витягнутих деталей рівно 3 стандартні.
Загальне число можливих наслідків випробування дорівнює числу способів, якими можна витягнути 4 деталі зі 100. Підрахуємо число наслідків, що сприяють нашій події. Три стандартні деталі з 90 можна витягнути способами, а одна бракована деталь, що залишилася, може бути витягнута з 10 бракованих деталей способами. Отже, число наслідків, що сприяють нашій події, дорівнює: Тоді шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до числа всіх елементарних наслідків:
.
Приклад 3.
На десяти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Три з них виймаються навмання і викладаються на стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що:
1) в порядку появи цифр вийде число 245;
2) з отриманих цифр можна скласти число 245.
Розвязок.
1) А в порядку появи цифр вийде число 245.
Число всіх елементарних наслідків експерименту це число можливих розміщень з 10 елементів по три (отримані комбінації елементів можуть відрізнятися одна від одної або самими елементами, або їх порядком): .
З загального числа наслідків експерименту тільки один є для нашої події таким, що сприяє, тобто . Шукана ймовірність:
.
2) В з отриманих цифр можна с?/p>