Наближені методи розв’язку нелінійних рівнянь
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Міністерство освіти та науки України
Вінницький національний технічний університет
Інститут АЕКСУ
Кафедра АІВТ
Курсова робота
з дисципліни
Обчислювальні методи та застосування ЕОМ
Вінниця-2006
Анотація
В цій курсовій роботі розглянуто наближені методи розвязку нелінійних рівнянь, для вказаних методів складено блок-схеми та написано програму, за якою розвязується задане рівняння. Проведено аналіз як самого рівняння і методів його розвязання так і результатів обрахунку.
вступ
В наш час, коли надзвичайно швидкими темпами розвивається наука і техніка, людина освоює все нові і нові галузі, все більше проникає як в надра землі так і за її межі, зявляється багато нових і досить складних задач, рішення яких потребує нових методів і нових підходів. Зокрема надзвичайно велика кількість задач електроніки, електротехніки, механіки, кібернетики та ряду інших галузей науки вимагають від вчених інженерів вирішення досить складних математичних задач які вимагають певного аналізу та нестандартного підходу до вирішення.
Зявляються задачі які не можна розвязати за допомогою класичної математики і отримати точний розвязок, і в загалі досить часто про отримання точного розвязку не доводиться говорити, оскільки отримати його при існуючих умовах просто неможливо. Тож ставляться задачі отримати приблизні розвязки, але якомога близькі до точних. Тому в таких задачах використовуються різні наближені методи рішення тієї чи іншої задачі.
КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
В залежності від конкретного виду та типу задачі використовуються різні методи та специфічні підходи до вирішення цієї задачі. Зокрема якщо мова йде про вирішення нелінійних рівнянь, то існує ряд методів для рішення такої задачі. Найбільшого поширення отримали метод половинного ділення, метод хорд, метод Ньютона та метод простої ітерації.
Розглянемо суть цих методів.
Метод половинного ділення: в цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках що розташовані через рівні інтервали на осі х. Коли f(xn) i f(xn+1) мають протилежні знаки, знаходять , f(xcp). Якщо знак f(xcp) збігається зі знаком f(xn), то надалі замість хn використовується хср . Якщо ж f(xcp) має знак, протилежний f(xn), тобто збігається зі знаком f(xn+1), то на хср замінюється xn+1 . За умову припинення ітераційного процесу доцільно брати умову | xn+1 xn| < , де - задана похибка. Похибка розвязку через n ітерацій знаходиться в межах ?<
Метод хибного положення (хорд) полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів xn+1 , хn не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці . Після цього визначають f(xn+1) і порівнюють його з f(xn). Надалі користуються xn+1 замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо | xn+1 xn| < , то вся процедура повторюється спочатку.
В цій курсовій роботі розглядаються два методи розвязку нелінійних рівнянь це метод Ньютона та простої ітерації тому розглянемо їх більш детально.
Суть цих методів досить схожа але все ж є деякі відмінності.
Метод Ньютона полягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступне наближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ. В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора: . Члени що містять h у другому і більших степенях відкидаються і врезультаті отримується наближена формула для оцінки хn+1: Хn+1=Xn , але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певну похибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступної умови: < ?, де дельта певна задана похибка. Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f (x)перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f (x) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.
Початкове наближення слід вибирати з умови: .
Наступний метод це метод простої ітерації. Цей метод дуже схожий до попереднього, але його можна використовувати лише якщо доведена збіжність ітераційного алгоритму. В цьому методі процес розвязання потрібно починати з пошуку інтервалу збіжності. Умовою збіжності є те що максимальне значення І-ї похідної правої частини рівняння Х=g(x) (1) (до такого вигляду потрібно привести вихідне рівняння f(x)=0 ) повинна бути менша за 1. Якщо умова не виконується, то алгоритм не збіжний. Коли в інтервалі збіжності немає коренів, треба застосовувати інші методи або приходити до рівняння (1) через інші способи. Грубо оцінити похибку для обох методів можна так: ? де М2 найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [xn, xn+1]. Похибка ж методу на n ій ітерації обчислюється так: ?<.
Аналіз заданого рівняння
В цій роботі необхідно розвязати нелінійне рівняння 5-го порядку яке відповідно матиме пять коренів. Для того щоб розвязати це рівняння заданими методами, а саме ньютона і простої ітерації, необхідно визначити початкове приблизне наближення, це можна зробити за допомогою графіка цього рівняння( рисунок 2.1 ), побудувавши його за допомогою математичног?/p>