Моделі і методи прийняття рішень
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
?ристовуються ейлерові шляхи. Ейлеревими називають шляхи, які проходять через кожне ребро графу один раз. Якщо початковий вузол є кінцевим, то такий граф називається ейлеревим циклом.
Задача про Кенігсбергські мости.
Теорема. У графі існує ейлерів шлях тільки тоді, коли граф звязний і містить не більше двох вершин непарного ступеня.
Знаходження найкоротших шляхів у графі
Потрібно знайти мінімальний шлях (контур) у навантаженому графі, де d(u,v) - відстань між вершинами u і v, якщо не існує шляху, то d(u,v)=.
4. Загальна схема алгоритму Харта, Нельсона і Рафаеля
Узагальненням алгоритмів пошуку найкоротшого шляху на графах є алгоритм Харта, Нельсона і Рафаеля.
Введемо такі позначення:
s - початкова вершина;
q - цільова вершина;
c(i,j) - довжина ребра між вершинами і та j;
d(i, j) - довжина найкоротшого шляху між і-ю та j-ю вершинами;
g(n) - довжина найкоротшого шляху між від початкової вершини до n-ї;
h(n) - довжина найкоротшого шляху між від n-ї вершини до цільової;
f(n) - довжина найкоротшого шляху між від початкової вершини до цільової, які проходять через вершину n, при цьому f(n)=g(n)+h(n);
g*(n) оцінка довжини найкоротшого шляху між від початкової вершини до n-ї;
h*(n) евристична функція, яка задає оцінку довжини найкоротшого шляху між від n-ї вершини до цільової;
f*(n)=g*(n)+h*(n) - оцінка f(n);
L(n) - множина всіх наступників вершини n.
Введемо робочі множини: OPEN I CLOSE.
Загальна схема пошуку найкоротшого шляху:
- Сформувати шраф пошуку G, який спочатку складається з початкової вершини s. Занести s до OPEN. Прокласти g*(s)=g(s)=0.
- Сформувати множину CLOSE, яка спочатку буде порожня.
- Якщо множина OPEN порожня, то вихід потрібного шляху не існує;
- Взяти з множини OPEN перший елемент m (відповідно до порядку, встановленого кроком 9), вилучити m з OPEN та занести її до CLOSE.
- Якщо m - цільова вершина, то успіх. Відновити шлях від s до m на основі відновлюючи вказівників, що встановлені на кроках 6-8 і завершити алгоритм.
- Розкрити вершину m, отримати множину наступників L(m). Додати до графу G всі вершини, які належать L(m), але не належать G, разом з відповідними дугами. Додати ці вершини до OPEN. Для кожної вершини
обчислити оцінки f*(k)=g*(k)+h*(k), поклавши g*(k)=g*(m)+c(m,k), встановити з k до m відновлюючий вказівник;
- Для кожної вершини n з тих, які потрапили до L(m), але вже належали OPEN або CLOSE, переобчислити оцінки g*(n)=min((g*(m)+c(m,n), g*(n)). Якщо оцінка зменшилася, то перевстановити з неї відновлюючий вказівник до m.
- Для всіх вершин з L(m), які до цього знаходилися в CLOSE, перевстановити відновлюючи вказівними для кожного з наступників цих вершин у напрямі найкоротшого шляху.
- Перевпорядкувати множину OPEN за зростанням значень f*.
- Повернутися на крок 3.
Якщо евристична функція не використовується, тобто h*(n)=0 і f*(n)=g*(n), то отримується алгоритм Дейкстри.
Якщо взяти g*(n)=0, утворюється алгоритм Дорана і Мічі.
4.1 Планування в просторі задач. І-АБО граф
Планування в просторі задач полягає в розбитті задачі на підзадачі, поки під задача не зведеться до елементарної (для якої існує готовий алгоритм розвязку).
Для планування в просторі задач втрадиційно використовують І-АБО графи.
І-АБО графом називають орієнтований граф, вершини якого відповідають задачам, а дуги відношенням між задачами (І - АБО).
І-АБО графи фактично є фрагментами мереж виведення продукційних систем. Розглянемо продукцій ну систему
A > C
B > C
D, C > G
Для такої системи існує І-АБО граф
Рис.15.1. І-АБО граф
Вершина C повязана з вершинами A i B відношенням АБО (достатньо виконання однієї підзадачі), а вершина G повязана з вершинами D i C відношенням І (необхідне виконання всіх підзадач).
4.2 Метод „Поділяй і пануй”
Нехай потрібно вирішити задачу для елементів масиву початкових даних від p до q.
Метод „поділяй і пануй”, або поділ на підзадачі, можна записати у вигляді рекурсивної процедури SubTask.
Булeва функція Small(p, q) визначає, чи не зведена під задача до елементарної. Якщо задача елементарна, то знаходиться її розвязок за допомогою функції G(p,q).
Якщо задача не елементарна, то вона ділиться на дві частини функцією Divide(p,q). Процедура Combine рекурсивно викликає на виконання процедуру SubTask, але для меншої розмірності вхідних даних. Процес рекурсивно продовжується до тих пір, поки всі задачі не будуть зведені до елементарних.
procedure SubTask(p, q:integer);
Var m:integer;
Begin
if Small(p, q) then G(p,q);
else
begin
m:=Divide(p,q); { p <= m < q }
Combine (SubTask(p,m), SubTask(m+1,q));
end;
End;