Многомерные и многосвязные системы
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Контрольная работа
Многомерные и многосвязные системы
Задание
Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:
1. Передаточную функцию ;
2. Частотную передаточную функцию ;
3. Годограф;
4. Импульсную характеристику ;
5. Переходную характеристику ;
6. ЛАЧХ ;
7. ФЧХ .
Составить структурную схему системы.
Дано:
;
;
.
Решение:
1. Передаточная функция
Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:
,
.
Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:
;(1)
,(2)
где
;;
лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.
Преобразуем уравнение (1):
Выносим за скобки:
где
единичная матрица.
Умножаем слева на обратную матрицу:
Откуда получаем:
.
Подставляем в уравнение (2):
Получаем:
Выражение называют передаточной функцией системы.
Находим её:
Находим обратную матрицу:
Подставляем:
.
2. Частотная передаточная функция
Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :
,
получаем:
.
Выделим действительную и мнимую части:
,
для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённый знаменатель:
;
;
;
.
3. Годограф
Годограф это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.
Результат расчёта записываем в таблицу 1.
Таблица 1. Расчёт годографа
02,87500000,000000010-0,05127190,4570747200-0,000180,02000812,72307690,984615420-0,01634350,2074170300-0,0000780,01333621,95000001,900000030-0,00755000,1355448400-0,0000440,01000130,83448281,986206940-0,00430300,1009350500-0,0000280,00800140,22500001,550000050-0,00277050,0804792600-0,0000190,00666750,01306241,161103060-0,00193020,0669441700-0,0000140,0057156-0,05000000,900000070-0,00142090,0573176800-0,0000190,0050007-0,06450300,726977780-0,00108930,0501171900-0,0000090,0044458-0,06346150,607692390-0,00086140,04452671000-0,0000070,0040009-0,05781130,5216604100-0,00069820,04006002000-0,0000020,002000
Можно построить график на комплексной плоскости рис.1.
Рис.1. Годограф
4. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:
.
Найдём полюса передаточной функции:
Видим полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию на простые дроби:
.
Используя табличные значения, находим:
,
.
Таким образом, получаем:
.
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. Импульсная характеристика
00,511,522,533,544,55-411,2862,69100,8-167,1-1236-239520972385454578-15944
Строим график импульсной характеристики рис.2.
Рис.2. Импульсная характеристика
5. Переходная характеристика
Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:
.
Найдём полюса передаточной функции:
;.
Видим полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:
.
Приводим к общему знаменателю:
.
Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:
,
,
.
Откуда находим:
,
,
.
Используя табличные значения, находим:
,
,
.
Таким образом, получаем:
.
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3. Переходная характеристика
00,511,522,533,544,5500,65417,5962,5269,32-243-1209-174438302415142653
Строим график переходной характеристики рис.3.
Рис.3. Переходная характеристика
6. ЛАЧХ
Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:
.
далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:
.
Это и есть выражение для ЛАЧХ.
Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ децибелы (дБ).
Таблица 4. ЛАЧХ
-10,19,174060,11,258939,208911,215,8489-11,426-0,90,125899,174820,21,584899,082431,319,9526-13,614-0,80,158499,176010,31,995268,705641,425,1189-15,738-0,70,199539,177880,42,511897,830661,531,6228-17,818-0,60,251199,180770,53,162286,233751,639,8107-19,869-0,50,316239,185190,63,981073,949601,750,1187-21,902-0,40,398119,191820,75,011871,269461,863,0957-23,923-0,30,501199,201350,86,30957-1,50501,979,4328-25,936-0,20,630969,214000,97,94328-4,19822100-27,944-0,10,794339,22792110-6,74592,1125,893-29,950019,234831,112,5893-9,14702,2158,489-31,953
Строим график ЛАЧХ рис.4.
Рис.4. ЛАЧХ
7. ФЧХ
ФЧХ угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты:
.
Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Разме?/p>