Методы решения систем нелинейных уравнений
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
искомое решение х* =(х*; у*) и приближения к нему k = 0,1,2,....
Будем считать, что уже найдено k-е приближение к решению х* и нужно получить правило перехода к (k+1)-му приближению. В сделанном предположении о гладкости функций f(x, у) и g(x, у) можно провести касательные плоскости в точке () определяемым ими поверхностям
z = f(x,y) и z = g(x,y). (3.5.3)
Эти плоскости задаются текущими векторами
и нормалями
соответственно, т.е. аналогично первому из условий (3.5.1) должно быть
иначе,
. (3.5.4)
Пересечение двух касательных плоскостей, т.е. образ, определяемый уравнениями (3.5.4), есть прямая в трехмерном пространстве, общая точка которой с координатной плоскостью Оху является ньютоновским приближением к решению х* сиcтемы. Наша цель - построить третью плоскость, пересечение которой с упомянутой прямой (линией пересечения касательных плоскостей) давало бы точку в пространстве R3 такую, проекция которой на плоскость Оху могла бы оказаться ближе к х*, чем .
Чтобы осуществить поставленную цель, зафиксируем в R3 две несовпадающие между собой и с точки - полюсы и . Через указанные три точки можно провести единственную плоскость (которая здесь играет роль прямой, проходящей через полюс и точку (хк; 0) в одномерной ситуации). Взяв текущую точку М(х; у; z) и образовав текущий вектор этой третьей плоскости, можно задать ее условием компланарности трех векторов- и (что служит аналогом второго из условий (3.5.1)).
Запишем совокупность всех трех описанных средствами векторной алгебры плоскостей в координатной форме. Имеем:
Первые две координаты вектора (x;y;z), служащего решением полученной системы уравнений, считаем искомым приближением ().Введя поправки
, (3.5.5)
эту систему превращаем в систему уравнений относительно неизвестных и z:
(3.5.6)
Для исключения вспомогательной переменной z из линейной системы (3.5.6) выразим ее из третьего уравнения. Обозначив
, , (3.5.7)
раскрываем фигурирующий в (3.5.6) определитель по элементам первой строки:
Отсюда находим выражение
(3.5.8)
подставляя которое в первые два уравнения системы (3.5.6), приходим к двумерной линейной системе
(3.5.9)
Фактически эта система вместе с обозначениями (3.5.7) и определяет двумерный полюсный метод Ньютона для нелинейной системы. Надя их нее поправки , в соответствии с равенствами (3.5.5) получаем очередное приближение :
, .
Дельнейшее преобразование полюсного метода Ньютона, т. е. переход от размерности 2 к произвольной размерности, совершаем формально на основе предыдущего построения.
Пусть задана нелинейная система, функции (образующими вектор ) в точке , можно описать матрично-векторным уравнением
, (3.5.10)
где - n-мерный вектор, каждой компонентой которого служит вспомогательная переменная , входящая в уравнения гиперповерхностей .
Зададим n полюсов (i=1,2,…,n) так, чтобы они не принадлежали одной гиперплоскости пространства . Через все эти полюсы и точку (), определяемую известным приближением к решению системы, проводим гиперплоскость, уравнение которой аналогично двумерному случаю задаем условием равенство нулю определителя (n+1) порядка:
. (3.5.11)
Векторно-матричное уравнение (3.5.10) и скалярное уравнение (3.5.11), в принципе, уже определяют векторный n-полюсный метод Ньютона для построения приближенной к решению системы. Чтобы записать соответствующую линейную систему относительно поправок
(3.5.12)
(аналогичную схеме (3.5.9) двумерного случая), введем следующие обозначения. Положим
, ,
и образуем квадратную (n+1)-мерную матрицу следующей структуры:
.
Тогда на основе (3.5.10), (3.5.11) имеем (n+1)-мерную систему уравнений относительно неизвестных :
(3.5.13)
Как и в двумерном случае, из второго уравнения этой системы выражаем вспомогательную неизвестную :
(3.5.14)
где , а есть алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы (что через соответствующие миноры этой матрицы можно представить так: , ).
Заменив в (3.5.13) все компоненты вектора z найденным их значением (3.5.14), приходим к следующему линейному векторно матричному уравнению относительно вектора-поправки :
, (3.5.15)
Где
. (3.5.16)
Уравнение (3.5.15) вместе со связью (3.5.12), согласно которой
, (3.5.17)
является неявной формой п -полюсного метода Ньютона для уравнения (2.1а).
Совокупности формул (3.5.15)-(3.5.17) можно придать другой вид:
, (3.5.18)
который удобно трактовать как явный метод Ньютона со своеобразной коррекцией матриц Якоби путем прибавления к ним формирующихся по заданному правилу матриц . Как и в одномерном случае, для ускорения сходимости последовательности приближений полюсы целесообразно изменять в такт с изменением значений функций, и в самом простом случае есть смысл фиксировать матрицу С, а вектор брать равным или -
4. Численный пример
Начальное приближение:
Вектор-функция:
Матрица Якоби вектор-функции:
Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью :
k00 -1-0.841 0-1.06 0.54 0 -2-0.944 -0.255 0 -0.5-0.794 -10.794>1-0.794 -10.295 0.63-1.821 -0.221 -1.588 -2-0.608 0.067 0.482 -0.553-0.657 -0.7940.